资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知二次函数和一次函数的图象如图所示，下面四个推断：
①二次函数有最大值
②二次函数的图象关于直线对称
③当时，二次函数的值大于0
④过动点且垂直于x轴的直线与的图象的交点分别为C,D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是或，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
3．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定
4．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
6．两个相邻自然数的积是1．则这两个数中，较大的数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．如图，下列四个三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是( )
A．64 B．16 C．24 D．32
9．抛物线y=x2+kx﹣1与x轴交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
10．下面哪个图形不是正方体的平面展开图（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留)
12．一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是个红珠子，个白珠子和个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续次摸出的都是红珠子的情况下，第次摸出红珠子的概率是_____．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．
14．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．
15．在一个不透明的袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是___________．
16．对于两个不相等的实数a、b，我们规定max{a、b}表示a、b中较大的数，如max{1，1}＝1．那么方程max{1x，x﹣1}＝x1﹣4的解为 ．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x．
（1）AE的长为______（用含x的代数式表示）；
（2）设EK＝2KF，则的值为______．
18．已知1是一元二次方程的一个根，则p=_______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线：沿轴翻折得到抛物线.
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当时，求抛物线和围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；
② 如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内(包括边界)恰有个整点，求m取值范围．
20．（6分）如图是某学校体育看台侧面的示意图，看台的坡比为，看台高度为米，从顶棚的处看处的仰角，距离为米，处到观众区底端处的水平距离为米．（，，结果精确到米）
（1）求的长；
（2）求的长．
21．（6分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝116°，则∠ADC的角度是_____．
22．（8分）如图，四边形 ABCD 为矩形.
(1)如图1，E为CD上一定点，在AD上找一点F，使得矩形沿着EF折叠后,点D落在 BC边上(尺规作图，保留作图痕迹);
(2)如图2，在AD和CD边上分别找点M，N，使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B' C'恰好经过点D，且满足B' C' ⊥BD(尺规作图，保留作图痕迹);
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，BC＝4，则CN＝ .
23．（8分）如图，在中，平分交于点，于点，交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，，求的长．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．
25．（10分）某校组织了一次七年级科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品，C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图①和图②两幅尚不完整的统计图中.
（1）B班参赛作品有多少件？
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个班的获奖率高？
26．（10分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成，留出2米长门供学生进出.若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【详解】解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上，
∴二次函数y1有最小值，故①错误；
观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x=-1对称，故②正确；
当x=-2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；
当x＜-3或x＞-1时，抛物线在直线的上方，
∴m的取值范围为：m＜-3或m＞-1，故④正确．
故选B．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．
2、A
【解析】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选 A.
3、C
【解析】试题解析：∵一个三角形的两个内角分别是
∴第三个内角为
又∵另一个三角形的两个内角分别是
∴这两个三角形有两个内角相等，
∴这两个三角形相似.
故选C.
点睛：两组角对应相等，两三角形相似.
4、C
【分析】直接利用相似三角形的性质周长比等于相似比，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，
∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：8：6＝4：1．
故选：C．
本题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．
5、B
【分析】直接利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，错误，不合题意
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，本选项错误，不合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形应是矩形，本选项错误，不合题意；
故选：B．
此题主要考查了命题与定理，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题关键．
6、B
【分析】设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），根据两数之积为1，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），
依题意，得：x（x﹣1）＝1，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：B．
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
7、C
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，结合各选项是否符合相似的条件即可．
【详解】由题图可知，，所以∠B=∠C=75°，
所以．根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知，与相似的是项中的三角形
故选：C．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．
8、D
【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，
则：S=AC•BD=x（16-x）=-（x-8）2+32，
当x=8时，S最大=32；
所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，
故选D．
【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
9、C
【分析】设y=0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．
【详解】解：∵抛物线y=x2+kx﹣1，
∴当y=0时，则0=x2+kx﹣1，
∴△=b2﹣4ac=k2+4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y=x2+kx﹣与x轴交点的个数为2个，
故选C．
10、A
【分析】根据正方体展开图的11种形式，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是正方体展开图，符合题意；
B、是正方体展开图，不符合题意；
C、是正方体展开图，不符合题意；
D、是正方体展开图，不符合题意．
故选：A．
本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、－1
【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O−S正方形ABCD）＝×（4π−4）＝π−1，
故答案为π−1．
本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
12、．
【分析】每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子个，其中红珠子个，可以直接应用求概率的公式．
【详解】解：因为每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子个，其中红珠子个，
所以第次摸出红珠子的概率是．
故答案是：．
本题考查概率的意义，解题的关键是熟练掌握概率公式．
13、，但
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：；
∵是一元二次方程，
∴，
∴的取值范围是，但．
故答案为：，但．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14、1.
【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这1个格点，
故答案为1．
考点：圆的有关性质.
15、
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到红球的只有4种情况，
∴两次都摸到红球的概率是：．
故答案为．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．正确的列出树状图是解决问题的关键．
16、
【分析】直接分类讨论得出x的取值范围，进而解方程得出答案．
【详解】解：当1x＞x﹣1时，
故x＞﹣1，
则1x＝x1﹣4，
故x1﹣1x﹣4＝0，
（x﹣1）1＝5，
解得：x1＝1+，x1＝1﹣；
当1x＜x﹣1时，
故x＜﹣1，
则x﹣1＝x1﹣4，
故x1﹣x﹣1＝0，
解得：x3＝1（不合题意舍去），x4＝﹣1（不合题意舍去），
综上所述：方程max{1x，x﹣1}＝x1﹣4的解为：x1＝1+，x1＝1﹣．
故答案为：x1＝1+，x1＝1﹣．
考核知识点:一元二次方程.理解规则定义是关键.
17、 x
【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得＝＝x，即可得出＝x．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，
∴AM＝，
∵点N是AM的中点，
∴AN＝，
∵EF⊥AM，
∴∠ANE＝90°，
∴∠ANE＝∠ABM＝90°，
∵∠EAN＝∠MAB，
∴△AEN∽△AMB，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
故答案为：；
（2）解：如图，连接AK、MG、CK，
由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，
∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，
∵EF⊥AM，N为AM中点，
∴AK＝MK，
∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，
∴∠KAB＝∠KMC，
∵∠KMB+∠KMC＝180°，
∴∠KMB+∠KAB＝180°，
又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，
∴∠AKM＝90°，
在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，
∴KN＝AM＝AN，
∴＝，
∵△AEN∽△AMB，
∴＝＝x，
∴＝x，
故答案为：x．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边.上的中线的性质，证得KN= AN是解题的关键．
18、2
【分析】根据一元二次方程的根即方程的解的定义，将代入方程中，即可得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵1是一元二次方程的一个根
∴
∴
故答案是：
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
三、解答题(共66分)
19、（1）（-1，-1）；（2）①整点有5个．②≤．
【分析】（1）可先求抛物线的顶点坐标，然后找到该店关于x轴对称的点的坐标即为抛物线的顶点坐标.
（2）① 先求出当时，抛物线和的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数；
②结合整点的个数，确定抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围，从而代入抛物线解析式中确定m的取值范围.
【详解】（1）∵
∴的顶点坐标为
∵抛物线：沿轴翻折得到抛物线.
∴的顶点坐标为（，）
（2）①当时，，．
根据图象可知，和围成的区域内(包括边界)整点有5个．
②抛物线在和围成的区域内 (包括边界) 恰有个整点，结合函数图象，可得抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为 ≤．
将（1，）代入，得到 ，
将（2，）代入，得到 ，
结合图象可得 ≤．
本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质及整点的定义是解题的关键.
20、（1）24；（2）25.6
【分析】（1）根据坡比=垂直高度比水平距离代入求值即可．
（2）先过D做EF的垂线，形成直角三角形，再根据锐角三角函数来求．
【详解】解：（1）的坡比为，
（2）过点作交于点，
在中，
，
，
，
本题考查了坡比公式和锐角三角函数，锐角三角函数必须在直角三角形中求解．
21、58°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】∵∠AOC和∠ADC都对，
∴∠ADC=∠AOC=×116°=58°．
故答案为：58°．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
22、（1）图见解析（2）图见解析（3）
【分析】（1）以点E为圆心，以DE长为半径画弧，交BC于点D′，连接DD′，作DD′的垂直平分线交AD于点F即可；
（2）先作射线BD，然后过点D作BD的垂线与BC的延长线交于点H，作∠BHD的角平分线交CD于点N，交AD于点M，在HD上截取HC′=HC，然后在射线C′D上截取C′B′=BC，此时的M、N即为满足条件的点；
（3）在（2）的条件下，根据AB＝2，BC＝4，即可求出CN的长．
【详解】（1）如图，点F为所求；
（2）如图，折痕MN、矩形A’B’C’D’为所求；
（3）在（2）的条件下，
∵AB＝2，BC＝4，
∴BD＝2，
∵BD⊥B′C′，
∴BD⊥A′D′，
得矩形DGD′C′．
∴DG＝C′D′＝2，
∴BG＝2−2
设CN的长为x，CD′＝y．
则C′N＝x，D′N＝2−x，BD′＝4−y，
∴（4−y）2＝y2＋（2−2）2，
解得y＝−1．
（2−x）2＝x2＋（−1）2
解得x＝．
故答案为：．
本题考查了作图−复杂作图、矩形的性质、翻折变换，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
23、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，证明与平行且相等，可得四边形是平行四边形，再说明，于是得出结论；
（2）过点作于点，由菱形的性质和等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：，，
，
，
，
，
．
过点作于点，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
，
在中，，，
，
．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形和矩形的性质和判定，熟练掌握菱形的判定是关键．
24、详见解析．
【分析】先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，证出四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD．
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
本题考查了菱形的判定，能够了解菱形的几种判定方法是解答本题的关键，难度不大．
25、（1）B班参赛作品有25件；（2）补图见解析；（3）C班的获奖率高.
【分析】（1）直接利用扇形统计图中百分数，求出B班所占的百分比，进而求出B班参赛作品数；
（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%，结合C班参赛数量得出获奖数量，从而补全统计图；
（3）分别求出各班的获奖率，进行比较从而得出答案.
【详解】解：（1）B班参赛作品有；
（2）C班参赛作品获奖数量为，
补图如下：
；
（3）A班的获奖率为 ，
B班的获奖率为，
C班的获奖率为50%，
D班的获奖率为，
故C班的获奖率高.
26、若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.
【分析】设自行车车棚的宽AB为x米，则长为（38-2x）米，根据矩形的面积公式，即可列方程求解即可．
【详解】解：现有总长的铁栏围成，需留出2米长门
∴设，则；
根据题意列方程，
解得，；
当，（米），
当，（米），而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.
本题考查的是一元二次方程的应用，结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
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