资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．用配方法将方程变形为，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，二次函数的最大值为3，一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．m≥3 B．m≥-3 C．m≤3 D．m≤-3
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．二次函数的图象如图所示，若点A和B在此函数图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，抛物线与直线交于，两点，与直线交于点，将抛物线沿着射线方向平移个单位．在整个平移过程中，点经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
7．下列几何体的左视图为长方形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，平分于.如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，4）
10．如图，空地上（空地足够大）有一段长为10m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m1．若设AD＝xm，则可列方程（ ）
A．（60﹣）x＝900 B．（60﹣x）x＝900 C．（50﹣x）x＝900 D．（40﹣x）x＝900
11．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
12．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.1．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二、填空题（每题4分，共24分）
13．方程的根是___________．
14．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是_____．
15．已知：是反比例函数，则m=__________．
16．如果等腰△ABC中，，，那么______．
17．小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，则掷中阴影部分的概率是_____．
18．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .
三、解答题（共78分）
19．（8分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；
（2）己知tanA＝，AB＝6，求AC、BC的长．
20．（8分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）探索：线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说呀理由．
21．（8分）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．
22．（10分）如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.
(1)若A，E，O三点共线，求CF的长；
(2)求△CDF的面积的最小值.
23．（10分）汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元?
24．（10分）如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．
EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若DB=9，求BM．
25．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．
26．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；
（3）若点D是y轴上的一点，且以B,C,D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标；
（4）若点E为抛物线的顶点，点F（3，a)是该抛物线上的一点，在轴、轴上分别找点M、N，使四边形EFMN的周长最小，求出点M、N的坐标．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】将方程用配方法变形，即可得出m的值.
【详解】解：，
配方得：，
即，
则m=5.
故选B.
本题考查了配方法，解题的关键是利用完全平方公式对方程进行变形.
2、C
【解析】方程ax2+bx+c-m=0有实数相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．
【详解】方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又∵图象最高点y=3，
∴二次函数最多可以向下平移三个单位，
∴m≤3，
故选：C．
本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．
3、A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4、C
【解析】根据根与系数的关系可得出两根之和为4，从而得出另一个根．
【详解】设方程的另一个根为m，则1+m=4，
∴m=3，
故选C．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的另一个根时，也可以直接利用根与系数的关系x1+x2=-解答.
5、A
【分析】由图象可知抛物线的对称轴为直线，所以设点A关于对称轴对称的点为点C，如图，此时点C坐标为（－4，y1），点B与点C都在对称轴左边，从而利用二次函数的增减性判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴设点A关于对称轴对称的点为点C，∴点C坐标为（－4，y1），
此时点A、B、C的大体位置如图所示，
∵当时，y随着x的增大而减小，，∴．
故选：A．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，属于基本题型，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
6、B
【分析】根据题意抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a个单位，则向上平移a个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+a，令x=2,y=(a-)²+,由0≤a≤4,推出y的最大值和最小值,根据点D的纵坐标的变化情形，即可解决问题．
【详解】解：由题意，抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，
∵抛物线=(x+1) ²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a个单位，则向上平移a个单位，
抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+a
令x=2,y=(3-a) ²-1+a,
∴y=(a-)²+,
∵0≤a≤4
∴y的最大值为8，最小值为，
∵a=4时，y=2，
∴8-2+2(2-)=
故选：B
本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D的移动规律．
7、C
【解析】分析：找到每个几何体从左边看所得到的图形即可得出结论．
详解：A．球的左视图是圆；
B．圆台的左视图是梯形；
C．圆柱的左视图是长方形；
D．圆锥的左视图是三角形．
故选C．
点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握每个几何体从左边看所得到的图形.
8、D
【分析】先根据直角三角形的性质和角平分线的性质可得，再根据等边对等角可得，最后在中，利用直角三角形的性质即可得.
【详解】
平分
则在中，
故选：D.
本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、直角三角形的性质：（1）两锐角互余；（2）所对的直角边等于斜边的一半；根据等腰三角形的性质得出是解题关键.
9、C
【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．
【详解】解：过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（1，），∴AE=，OE=1．
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=1OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得，即，
∴O′F=．
在Rt△O′FB中，由勾股定理可求BF=，∴OF=．
∴O′的坐标为（）．
故选C．
本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．
10、B
【分析】若AD＝xm，则AB＝（60−x）m，根据矩形面积公式列出方程．
【详解】解： AD＝xm，则AB＝（100+10）÷1−x =（60−x）m，
由题意，得（60−x）x＝2．
故选：B．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11、C
【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=×78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．
12、C
【分析】根据比例关系即可求解.
【详解】∵模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.1，
∴＝0.1，
解得：x＝99，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：＝0.612，
解得：y≈2．
故选：C．
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例关系的定义.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、，.
【解析】试题分析：，∴，∴，.故答案为，.
考点：解一元二次方程-因式分解法．
14、（0，﹣1）
【解析】将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．
15、-2
【解析】根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令m2-5=-1、m-2≠0即可．
【详解】因为y=(m−2)是反比例函数，
所以x的指数m2−5=−1，
即m2=4，解得：m=2或−2；
又m−2≠0，
所以m≠2，即m=−2.
故答案为：−2.
本题考查的知识点是反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.
16、；
【分析】过点作于点，过点作于点，由于，所以，，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出的长度．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，
，，
AB=AC=3，
BE=EC=1，BC=2，
又∵，
∴BD=,
，
∵ ，
∴，
故答案为：.
本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．
17、．
【分析】分别计算出阴影部分面积和非阴影面积，即可求出掷中阴影部分的概率．
【详解】∵大圆半径为3，小圆半径为2，
∴S大圆(m2)，S小圆(m2)，
S圆环=9π﹣4π=5π(m2)，
∴掷中阴影部分的概率是．
故答案为：．
本题考查了几何概率的求法，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
18、2
【解析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.
【详解】由题意得：+2=0，=2，
∴=-2，=4，
∴=-2+4=2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）AB＝4，AC＝2；（2）BC＝2，AC＝1．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝6，
∴＝，
∴设BC＝k，AC＝4k，
∴AB＝＝3k＝6，
∴k＝2，
∴BC＝k＝2，AC＝4k＝1．
本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
20、（1）；（2）；（3）存在，，.
【解析】（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．
（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．
【详解】解：（1）∵，∴，．∴，
解得，∴二次函数的解析式为；
（2），
设直线的解析式为，则有解得
∴直线的解析式为
∵轴，，∴点的坐标为
；
（3）线段上存在点， 使为等腰三角形．设点坐标为则：
，，
①当时，解得，（舍去）
此时
②当时，，
解得，（舍去），此时
③当时，
解得，此时．
本题考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．
21、（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．
【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长．从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1），从而得出结论．
【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴，
同理在△ACQ和△APE中，，
∴；
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC
∴AD：AB=1：3，
∴AD=，DE=，
∵DE边上的高为，MN：GF=：，
∴MN：=：，
∴MN=．
故答案为：．
②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF2=CF•BG，
由（1）得，
∴，
∴，
∵GF2=CF•BG，
∴MN2=DM•EN．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．
22、 (1)CF=3；(2).
【分析】（1）由正方形的性质可得AB=BC=AD=CD=2，根据勾股定理可求AO=5，即AE=3，由旋转的性质可得DE=DF，∠EDF=90°，根据“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE=CF=3；
（2）由△ADE≌△CDF，可得S△ADE=S△CDF，当OE⊥AD时，S△ADE的值最小，即可求△CDF的面积的最小值．
【详解】(1)由旋转得：，，
∵是边的中点，
∴，
在中，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
过点作于点，
∵，
∴，
当，，三点共线，最小，，
∴.
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，证明△ADE≌△CDF是本题的关键．
23、2008年盈利3600万元．
【分析】设该公司从2007年到2009年，每年盈利的年增长率是x，根据题意列出方程进行求解即可求出年增长率；然后根据2007年的盈利，即可算出2008年的盈利．
【详解】解：设每年盈利的年增长率为x，由题意得：
3000(1+x)2=4320，
解得：，（不合题意，舍去），
∴年增长率20%，
∴3000×(1+20%)=3600，
答：该公司2008年盈利3600万元．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是求出从2007年到2009年，每年盈利的年增长率．
24、（1）证明见解析（2）3
【解析】试题分析：（1）要证明△EDM∽△FBM成立，只需要证DE∥BC即可，而根据已知条件可证明四边形BCDE是平行四边形，从而可证明相似；
（2）根据相似三角形的性质得对应边成比例，然后代入数值计算即可求得线段的长．
试题解析：（1）证明：∵AB="2CD" , E是AB的中点，∴BE=CD，又∵AB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴BC∥DE, BC=DE，∴△EDM∽△FBM；
（2）∵BC=DE， F为BC的中点，∴BF=DE，∵△EDM∽△FBM，∴，∴BM=DB，又∵DB=9，∴BM=3.
考点：1. 梯形的性质；2. 平行四边形的判定与性质；3. 相似三角形的判定与性质.
25、（1）相切，理由见解析；（2）DE=．
【分析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；
（2）根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）相切，
理由如下：
连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴CD=BD=BC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．
（2）由（1）知∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得,
AD==1．
∵SACD=AD•CD=AC•DE，
∴×1×3=×5DE．
∴DE=．
本题主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、勾股定理等知识.正确大气层造辅助线是解题的关键．
26、（1）；（2）△BPC面积的最大值为 ；（3）D的坐标为（0，-1）或（0，-）；（4）M（，0），N（0，）
【分析】（1）抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-5）=a（x2-4x-5），即-5a=5，解得：a=-1，即可求解；
（2）利用S△BPC=×PH×OB=（-x2+4x+5+x-5）=（x-）2+，即可求解；
（3）B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，分别求解即可；
（4）作点E关于y轴的对称点E′（-2，9），作点F（2，9）关于x轴的对称点F′（3，-8），连接E′、F′分别交x、y轴于点M、N，此时，四边形EFMN的周长最小，即可求解．
【详解】解：（1）把，分别代入得：
∴
∴抛物线的表达式为：．
（2）如图，过点P作PH⊥OB交BC于点H
令x=0，得y=5
∴C（0，5），而B（5，0）
∴设直线BC的表达式为：
∴
∴
∴
设，则
∴
∴
∴
∴△BPC面积的最大值为．
（3）如图，∵ C（0，5），B（5，0）
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴AB=6，BC=
要使△BCD与△ABC相似
则有或
①当时
∴
则
∴D（0，）
② 当时，
CD=AB=6，
∴D（0，-1）
即：D的坐标为（0，-1）或（0，-）
（4）∵
∵E为抛物线的顶点，
∴E（2，9）
如图，作点E关于y轴的对称点E'（﹣2，9），
∵F（3，a）在抛物线上，
∴F（3，8），
∴作点F关于x轴的对称点F'（3，-8），
则直线E' F'与x轴、y轴的交点即为点M、N
设直线E' F'的解析式为：
则
∴
∴直线E' F'的解析式为：
∴，0），N（0，）．
本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、对称点性质等知识点，其中（4），利用对称点性质求解是此类题目的一般解法，需要掌握．
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