资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，成中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形内接于，连接．则的度数是( )
A． B． C． D．
4．已知二次函数，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且满足，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某超市花费1140元购进苹果100千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为多少元/千克？设售价为元/千克，根据题意所列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．根的情况无法判断
10．已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为（ ）
A．3∶2 B．3∶5 C．5∶2 D．5∶3
11．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．在，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
14．如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为___________．
15．如图，、、均为⊙的切线，分别是切点，，则的周长为____．
16．如果是一元二次方程的一个根，那么的值是__________.
17．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为米，旗杆的影长为米，若小青的身高为米，则旗杆的高度为__________米.
18．已知关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1，x2，且，则 a的值为 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）x2+2x﹣3＝0
（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
21．（8分）附加题,已知：矩形，，动点从点开始向点运动，动点速度为每秒1个单位，以为对称轴，把折叠，所得与矩形重叠部分面积为，运动时间为秒.
（1）当运动到第几秒时点恰好落在上；
（2）求关于的关系式，以及的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形面积的；
（4）连接，以为对称轴，将作轴对称变换，得到，当为何值时，点在同一直线上？
22．（10分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？
23．（10分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
24．（10分）如图，是的弦，过的中点作，垂足为，过点作直线交的延长线于点，使得.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的边上的高.
（3）在（2）的条件下，求的面积.
25．（12分）如图：△ABC与△DEF中，边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BF＝CE，求证：AC＝DF．
26．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝交于点C，D．作CE⊥x轴，垂足为E，CF⊥y轴，垂足为F．点B为OF的中点，四边形OECF的面积为16，点D的坐标为（4，﹣b）．
（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；
（2）求出点C坐标，并根据图象直接写出不等式kx+b≤的解集．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
2、B
【解析】根据中心对称图形的概念求解.
【详解】A. 不是中心对称图形；
B. 是中心对称图形；
C. 不是中心对称图形；
D. 不是中心对称图形.
故答案选：B.
本题考查了中心对称图形，解题的关键是寻找对称中心，旋转180°后与原图重合.
3、C
【解析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD= =120°，BC=CD，
∴∠CBD =30°，
故选：C．
本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
4、A
【分析】根据，求得m＝3或−1，根据当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，从而判断m＝-1符合题意，然后把x＝0代入解析式求得y的值．
【详解】解：∵，
∴m＝3或−1，
∵二次函数的对称轴为x＝m，且二次函数图象开口向下，
又∵当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，
∴−1≤m≤0
∴m＝-1符合题意，
∴二次函数为，
当x＝0时，y＝1．
故选：A
本题考查了二次函数的性质，根据题意确定m＝-1是解题的关键．
5、B
【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得，，
在数轴上表示为：
故选：B．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6、A
【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
110°•（n-2）=3×360°
解得n=1．
故选A．
点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
7、B
【分析】得出总的情况数和失败的情况数，根据概率公式计算出失败率，从而得出中奖率．
【详解】共有4×4=16种情况，失败的情况占3+2+1=6种，失败率为，中奖率为．
故选：B．
本题考查了利用概率公式求概率．正确得出失败情况的总数是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8、A
【分析】根据“为避免亏本”可知，总售价≥总成本，列出不等式即可.
【详解】解：由题意可知：
故选：A.
此题考查的是一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的不等关系是解决此题的关键.
9、A
【解析】若△＞0，则方程有两个不等式实数根，若△=0，则方程有两个相等的实数根，若△＜0，则方程没有实数根.求出△与零的大小，结果就出来了.
【详解】解：∵△= ，∴方程有两个不相等的实数根
本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是关键.
10、D
【分析】根据比例的合比性质直接求解即可．
【详解】解：由题意AP∶PB=2∶3，
AB∶PB=（AP+PB）∶PB=（2+3）∶3=5∶3；
故选择：D.
本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的合比性质解答．
11、C
【分析】根据，利用反比例函数系数的几何意义即可求出值，再根据函数在第一象限可确定的符号.
【详解】解：由轴于点，，得到
又因图象过第一象限, ，解得
故选C
本题考查了反比例函数系数的几何意义.
12、B
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90，
∴∠A+∠B=90，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
∵sinB=，
∴sinA==.
故选B.
本题考查互余两角三角函数的关系.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【详解】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,
∴k=-0.6,
∴y=-0.6x+21.2.
把y=6.2代入得，
-0.6x+21.2=6.2，
∴x=25,
∴F(25,6.2).
设抛物线解析式为：y=ax2+bx+1.2,
把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入得，
，解之得：，
∴y=-0.04x2+1.2x+1.2，
设向上平移0.4m，向左后退了hm, 恰好把水喷到F处进行灭火由题意得
y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,
把F(25,6.2)代入得，
6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，整理得：h2+20h-10=0,
解之得： ,（舍去）.
∴向后退了m
故答案是：
本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F的坐标.把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入y=ax2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm，表示出平移后的解析式，把点F的坐标代入可求出k的值.
14、
【分析】根据从反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段和坐标轴所围成的矩形的面积是，且保持不变，进行解答即可．
【详解】由题意得，
∵反比例函数图象在第二象限
∴
∴反比例函数的解析式为y＝－．
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数k的几何意义，即可完成.
15、1
【分析】根据切线长定理得：EC=FC，BF=BD，AD=AE，再由△ABC的周长代入可求得结论．
【详解】解：∵AD，AE、CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，
∴EC=FC，BF=BD，AD=AE，
∵△ABC的周长=AC+BC+AB=AC+CF+BF+AB，
∴△ABC的周长=AC+EC+BD+AB=AE+AD=2AD，
∵AD=5，
∴△ABC的周长为1．
故答案为：1
本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
16、6
【分析】根据是一元二次方程的一个根可得m2-3m=2，把变形后，把m2-3m=2代入即可得答案.
【详解】∵是一元二次方程的一个根，
∴m2-3m=2，
∴=2(m2-3m)+2=2×2+2=6，
故答案为：6
本题考查一元二次方程的解的定义，熟练掌握定义并正确变形是解题关键.
17、1
【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴，
解得OA=1．
故答案为1．
18、1．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0 的两个实根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，x1x2=-a，
∴
∴a=1．
三、解答题（共78分）
19、（1）x＝﹣3或x＝1;（2）x＝1或x＝4.
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再用因式分解法求解即可.
【详解】解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，
∴(x+3)(x﹣1)＝0，
∴x＝﹣3或x＝1；
（2）∵(x﹣1)2＝3(x﹣1)，
∴(x﹣1)[(x﹣1)﹣3]＝0，
∴(x﹣1)(x﹣4)＝0，
∴x＝1或x＝4；
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
20、（1）详见解析；（2）1.
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵BA＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝1．
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
21、（1）第2秒时；（2）；（3）第4秒时；（4）=1或4
【分析】（1）先画出符合题意的图形如图1，根据题意和轴对称的性质可判定四边形为正方形，可得BP的长，进而可得答案；
（2）分两种情况：①当时，如图2，根据折叠的性质可得：，进而可得y与t的关系式；②当时，如图3，由折叠的性质和矩形的性质可推出，设，然后在直角△中利用勾股定理即可求得x与t的关系，进一步利用三角形的面积公式即可求出y与t的关系式；
（3）在（2）题的基础上，分两种情况列出方程，解方程即得结果；
（4）如图4，当点在同一直线上，根据折叠的性质可得，进一步可得，进而可推出，然后利用相似三角形的性质可得关于t的方程，解方程即可求出结果.
【详解】解：（1）当点恰好落在上时，如图1，由折叠的性质可得：，
∵四边形为矩形，∴，
∴四边形为正方形，∴，
∵动点速度为每秒1个单位，∴，
即当运动到第2秒时点恰好落在上；
（2）分两种情况：
①当时，如图2，，由折叠得：，
∴；
②当时，如图3，由折叠得：，
∵，∴，∴，∴，
设，则，
在直角△中，由勾股定理得：，解得：，
∴，
综上所述：；
（3）①当时，，则（舍去），
②当时，，解得：（舍去），，
综上所述：在第4秒时，重叠部分面积是矩形面积的；
（4）如图4，点在同一直线上，由折叠得：，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，解得：，
∴当=1或4时，点在同一直线上.
本题是矩形综合题，主要考查了矩形与折叠问题、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，考查的知识点多、综合性强，属于试卷的压轴题，正确画出图形、灵活应用数形结合和分类思想、熟练掌握上述知识是解答的关键.
22、；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
【分析】（1）根据按每千克元的市场价收购了这种苹果千克，此后每天每千克苹果价格会上涨元，进而得出天后每千克苹果的价格为元与的函数关系；
（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；
（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.
【详解】根据题意知，；
．
当时，最大利润12500元，
答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系是解题关键.
23、（1）；（2）
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：（1）因为有，，种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，
24、（1）见解析；（2）4.5；（3）27
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，结合切线的判定方法可得结论；
（2）过点作于点，连接，结合中点及等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可得DF的长；
（3）根据两组对应角分别相等的两个三角形相似可得，利用相似三角形对应线段成比例可求得EO长，由三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是圆的半径，
∴是的切线；
（2）如图，过点作于点，连接，
∵点是的中点，，
∴，，
又∵，，，，
∴，
∴，
（3）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得
即，得，
∴的面积是：.
本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，明确题意，确定所求问题的条件是解题的关键.
25、见解析.
【分析】先根据BF＝CE，得出BC＝EF，再利用平行线的性质可得出两组对应角相等，再加上BC＝EF，利用ASA即可证明△ABC≌△DEF，则结论可证.
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥DF
∴∠ACB＝∠EFD，
∵BF＝CE
∴BC＝EF，且∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴AC＝DF
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
26、（1）y＝﹣2x+1；（2）﹣2≤x＜0或x≥1．
【分析】（1）由矩形的面积求得m＝﹣16，得到反比例函数的解析式，把D（1，﹣b）代入求得的解析式得到D（1，﹣1），求得b＝1，把D（1，﹣1）代入y＝kx+1，即可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得B的坐标为（0，1），根据题意OF＝8，C点的纵坐标为8，代入反比例函数的解析式求得横坐标，得到C的坐标，根据C、D的坐标结合图象即可求得不等式kx+b≤的解集．
【详解】解：（1）∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∵四边形OECF的面积为16，
∴|m|＝16，
∵双曲线位于二、四象限，
∴m＝﹣16，
∴反比例函数表达式为y＝，
将x＝1代入y＝得：y＝﹣1，
∴D（1，﹣1），
∴b＝1
将D（1，﹣1）代入y＝kx+1，得k＝﹣2
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+1；
（2）∵y＝﹣2x+1，
∴B（0，1），
∴OF＝8，
将y＝8代入y＝﹣2x+1得x＝﹣2，
∴C（﹣2，8），
∴不等式kx+b≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥1．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到的知识点是待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，这里体现了数形结合的思想，关键是根据反比例函数与一次函数的交点求出不等式的解集．
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