资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若 +10x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的值应为（ ）
A．m="2" B．m= C．m= D．无法确定
2．二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（ ）
A．直线y=x上 B．直线y=﹣x上 C．x轴上 D．y轴上
3．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( )
A．2x2－6x＋1＝0 B．3x2－x－5＝0 C．x2＋x＝0 D．x2－4x＋4＝0
5．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
6．某闭合并联电路中，各支路电流与电阻成反比例，如图表示该电路与电阻的函数关系图象，若该电路中某导体电阻为，则导体内通过的电流为( )
A． B． C． D．
7．在一个有 10 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中有 120 人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
8．设，则代数式的值为（ ）
A．－6 B．－5 C． D．
9．如图，点是矩形的边，上的点，过点作于点，交矩形的边于点，连接．若，，则的长的最小值为( )
A． B． C． D．
10． “割圆术”是我国古代的一位伟大的数学家刘徽首创的，该割圆术，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求出圆周率的一种方法，某同学在学习“割圆术”的过程中，画了一个如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）．
A．1 B．3 C．3.1 D．3.14
11．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（ ）
A．（2，-3） B．（-3,3） C．（2,3） D．（-4,6）
12．如图，在ABCD中，∠DAB＝10°，AB＝8，AD＝1．⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O好落在DE上．现将⊙O沿AB方向滚动到与BC边相切（点O在ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（ ）
A．2 B．4 C．5﹣ D．8﹣2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝30m，在教学楼AC的底部C点测实验楼顶部B点的仰角为α，且sinα＝，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，则教学楼AC的高度是_____m（结果保留根号）．
14．如图，⊙O的半径为2，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C．若PC=2，则BC的长为______．
15．在一个布袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”、“丽”、“罗”、“山”的文字．先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是含有“美”“丽”二字的概率为_____．
16．小明练习射击，共射击次，其中有次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为__________．
17．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On均与直线l相切，设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30时，且r1=1时，r2017=_______.
18．若m是关于x的方程x2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m2+2的值是______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）阅读材料：
材料2 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x2，x2则x2+x2＝﹣，x2x2＝．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，且m≠n，求的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个不相等的实数根，根据材料2得m+n＝2，mn＝﹣2，所以＝﹣2．
根据上述材料解决以下问题：
（2）材料理解：一元二次方程5x2+20x﹣2＝0的两个根为x2，x2，则x2+x2＝ ，x2x2＝ ．
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣2＝0，7n2﹣7n﹣2＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（2）思维拓展：已知实数s、t分别满足29s2+99s+2＝0，t2+99t+29＝0，且st≠2．求的值．
20．（8分）某食品代理商向超市供货，原定供货价为元/件，超市售价为元/件.为打开市场超市决定在第一季度对产品打八折促销，第二季度再回升个百分点，为保证超市利润，代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返多少个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平?
21．（8分）如图， 相交于点，连结．
(1)求证: ；
(2)直接回答与是不是位似图形?
(3)若，求的长．
22．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.
（1）求的值；
（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，请在图中画出旋转后的图形△A′B′C，点B′的坐标为________；
（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路径的长（结果保留π）．
24．（10分）如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．
25．（12分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AE，交CD于点F，求证：AB：CE＝BE：CF．
26．如图1，抛物线y=－x2＋bx＋c的顶点为Q，与x轴交于A（－1，0）、B(5，0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
(2)在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小，请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；
(3)如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D－E－O的长度最长”，这个同学的说法正确吗？请说明理由．
②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义进行解得2m﹣1=2，解得 m=．
故选C．
考点：一元二次方程的定义
2、B
【解析】试题分析：根据函数解析式可得：函数的顶点坐标为（-k，k），则顶点在直线y=-x上.
考点：二次函数的顶点
3、C
【分析】首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】列表得：
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
∴一共有36种等可能的结果，两个骰子的点数相同的有6种情况，
∴两个骰子的点数相同的概率为：
故选：C
此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
4、D
【解析】试题分析：选项A，△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×1=28＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项B△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）=61＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项C，△=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项D，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0，即可得该方程有两个相等的实数根．故选D．
考点：根的判别式．
5、C
【分析】利用配方法即可将二次函数转化为顶点式．
【详解】
故选：C．
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键．
6、B
【分析】电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，可设I=，根基图象得到图象经过点（5，2），代入解析式就得到k的值，从而能求出解析式．
【详解】解：可设，
根据题意得：，
解得k=10，
∴．
当R=4Ω时，
（A）．
故选B．
本题主要考查的是反比例函数的应用，利用待定系数法是求解析式时常用的方法．
7、C
【解析】试题解析：由题意知：1000人中有120人看中央电视台的早间新闻，
∴在该镇随便问一人，他看早间新闻的概率大约是．
故选C．
【点睛】本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8、A
【分析】把a2+2a-12变形为a2+2a+1-13，根据完全平方公式得出（a+1）2-13，代入求出即可.
【详解】∵，
∴
= a2+2a+1-13
=（a+1）2-13
=（-1+1）2-13
=7-13
=-6.
故选A.
本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，主要考查学生的计算能力．题目比较好，难度不大．
9、A
【分析】由可得∠APB=90°，根据AB是定长，由定长对定角可知P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，用DO减去圆的半径即可得出最小值．
【详解】解：∵，
∴∠APB=90°，
∵AB=6是定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，如图所示：
∵，，
∴，
由勾股定理得：DO=5，
∴，即的长的最小值为2，
故选A．
本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．
10、B
【分析】先求出，进而得出，根据这个圆的内接正十二边形的面积为进行求解．
【详解】∵是圆的内接正十二边形，
∴，
∵，
∴，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选B．
本题考查正十二边形的面积计算，先求出是解题的关键．
11、A
【分析】设反比例函数y=（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断．
【详解】设反比例函数y=（k为常数，k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（-2，3），
∴k=-2×3=-6，
而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，
∴点（2，-3）在反比例函数y=- 的图象上．
故选A．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
12、B
【分析】如图所示，⊙O滚过的路程即线段EN的长度. EN=AB-AE-BN，所以只需求AE、BN的长度即可.分别根据AE和BN所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可.
【详解】解：连接OE，OA、BO．
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥AD，
∴∠OAE＝∠OAD＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝1，∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝3，
∴OE＝AE＝，
∵AD∥BC，∠DAB＝10°，
∴∠ABC＝120°．
设当运动停止时，⊙O′与BC，AB分别相切于点M，N，连接O′N，O′M．
同理可得，∠BO′N为30°，且O′N为，
∴BN＝O′N•tan30°＝1cm，
EN＝AB﹣AE﹣BN＝8﹣3﹣1＝2．
∴⊙O滚过的路程为2．
故选：B．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质及解直角三角形等知识. 关键是计算出AE和BN的长度.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、（10+1）
【分析】首先分析图形，解直角三角形△BEC得出CE，再解直角三角形△ABE得出AE，进而即可求出答案．
【详解】解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝α，BE＝CD＝30；
可得CE＝BE×tanα，
∵sinα＝，
∴tanα＝，
∴CE＝30×＝1．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝30，
可得AE＝BE×tan30°＝10．
故教学楼AC的高度是AC＝（10+1）m．
故答案为：（10+1）m．
本题考查了解直角三角形-俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
14、2
【分析】连接OC，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB是等边三角形，从而得结论．
【详解】连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵PC=2，OC=2，
∴OP===4，
∴∠OPC=30°，
∴∠COP=60°，
∵OC=OB=2，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OB=2，
故答案为2
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15、
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）用1、2、3、4别表示美、丽、罗、山，画树形图如下：
由树形图可知，所有等可能的情况有16种，其中“1，2”出现的情况有2种，
∴P（美丽）．
故答案为：．
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16、0.9
【分析】根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案．
【详解】∵共射击300次，其中有270次击中靶子，
∴射中靶子的频率为=0.9，
∴小明射击一次击中靶子的概率约为0.9，
故答案为：0.9
本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17、
【详解】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切，
∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，
∵∠AOO1=30°，
∴OO1=2O1A=2r1=2，
在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，
∴r2=3，
在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，
∴r3=9=32，
同理可得r4=27=33，
所以r2017=1．
故答案为1．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了从特殊到一般的方法解决规律型问题．
18、-1
【分析】先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．
【详解】解：∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的解，
∴m2-2m-3=0，
∴m2-2m=3，
∴1m-2m2+2
= -2（m2-2m）+2
= -2×3+2
= -1．
故答案为：-1．
本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（2）-2，-；（2）﹣；（2）﹣．
【分析】（2）直接利用根与系数的关系求解；
（2）把m、n可看作方程7x2﹣7x﹣2＝0，利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn＝﹣，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2＝mn（m+n），然后利用整体的方法计算；
（2）先把t2+99t+29＝0变形为29•（）2+99•+2＝0，则把实数s和可看作方程29x2+99x+2＝0的两根，利用根与系数的关系得到s+＝﹣，s•＝，然后变形为s+4•+，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（2）x2+x2＝﹣＝﹣2，x2x2＝﹣；
故答案为﹣2；﹣；
（2）∵7m2﹣7m﹣2＝0，7n2﹣7n﹣2＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣2＝0，
∴m+n＝2，mn＝﹣，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×2＝﹣；
（2）把t2+99t+29＝0变形为29•（）2+99•+2＝0，
实数s和可看作方程29x2+99x+2＝0的两根，
∴s+＝﹣，s•＝，
∴＝s+4•+＝﹣+4×＝﹣．
本题考查了根与系数的关系：若x2，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x2+x2＝﹣，x2x2＝．也考查了解一元二次方程．
20、代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
【分析】设代理商平均每个季度向超市返个百分点，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案.
【详解】解：设代理商平均每个季度向超市返个百分点，
由题意得：，
解得：(舍去).
∴代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目的等量关系，列出方程.
21、（1）详见解析；（2）不是；（3）
【分析】（1）根据已知条件可知，根据对顶角相等可知，由此可证明；
（2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）
（3）由△ADP∽△BCP，可得，而∠APB与∠DPC为对顶角，则可证△APB∽△DPC，从而得，再根据即可求得AP的长．
【详解】(1)证明:∵，
∴；
(2)点A、D、P的对应点依次为点B、C、P，对应点的连线不相交于一点，故与不是位似图形；
(3)解:∵
∴
∵，
∴，
∴
∴．
本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义．熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
22、（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析.
【分析】（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；
（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；
（3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.
【详解】解：（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，∴轴，∴，
∵抛物线的对称轴是直线，∴OE=1，∴，∴
∴将点代入函数表达式得：，∴；
（2）设，
①点在轴上方时，，如图2，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵，∴，解得：或（舍），∴；
②点在轴下方时，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴点与点关于直线对称，∴；
（3）①当点为时，若存在点P，使∽，则∠PBQ=∠COA=90°，
由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在；
②当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在.
综上所述，不存在满足条件的点，使∽.
本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.
23、（1）图见解析；B′的坐标为（﹣1，3）；（2）.
【分析】（1）过点C作B′C⊥BC，根据网格特征使B′C=BC，作A′C⊥AC，使A′C=AC，连接A′B′，△A′B′C即为所求，根据B′位置得出B′坐标即可；
（2）根据旋转的性质可得∠ACA′=90°，利用勾股定理可求出AC的长，利用弧长公式求出的长即可.
【详解】（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
B′的坐标为（﹣1，3）．
（2）∵A（3，3），C（0，﹣1）．
∴AC＝＝5，
∵∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为：＝.
本题考查旋转的性质及弧长公式，正确得出旋转后的对应边和旋转角是解题关键.
24、证明见解析
【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，∠AED=∠B，等量代换得到∠AED=∠DFC，于是得到结论.
试题解析：∵ED∥BC,DF∥AB，
∴∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，
∴∠AED=∠B，
∴∠AED=∠DFC
∴△ADE∽△DCF
25、详见解析
【分析】证明△AEB∽△EFC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
【详解】∵EF⊥AE，∠B=∠C=90°，
∴∠AEB+∠FEC=∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∴△AEB∽△EFC，
∴，
即AB：CE=BE：CF
本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
26、（1）y-（x-2）2+9，Q（2，9）；（2）（2，3）；作图见解析；（3）①不正确，理由见解析；②不能，理由见解析.
【分析】（1）将A（-1，0）、B（1，0）分别代入y=-x2+bx+c中即可确定b、c的值，然后配方后即可确定其顶点坐标；
（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式，最后求得其与x=2与直线BC的交点坐标即为点P的坐标；
（3）①设D（t，-t2+4t+1），设折线D-E-O的长度为L，求得L的最大值后与当点D与Q重合时L=9+2=11＜相比较即可得到答案；
②假设四边形DCEB为平行四边形，则可得到EF=DF，CF=BF．然后根据DE∥y轴求得DF，得到DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，从而否定是平行四边形．
【详解】解:（1）将A（-1，0）、B（1，0）分别代入y=-x2+bx+c中，得
，解得
∴y=-x2+4x+1．
∵y=-x2+4x+1=-（x-2）2+9，
∴Q（2，9）．
（2）如图1，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．
∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．
∵点A关于对称轴x=2的对称点是点B（1，0），抛物线y=-x2+4x+1与y轴交点C的坐标为（0，1）．
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．
设直线BC的解析式为y=kx+1，将B（1，0）代入1k+1=0，得k=-1，
∴y=-x+1，
∴当x=2时，y=3，
∴点P的坐标为（2，3）．
（3）①这个同学的说法不正确．
∵设D（t，-t2+4t+1），设折线D-E-O的长度为L，则L=−t2+4t+1+t=−t2+1t+1=−(t−)2+，
∵a＜0，
∴当t=时，L最大值=．
而当点D与Q重合时，L=9+2=11＜，
∴该该同学的说法不正确．
②四边形DCEB不能为平行四边形．
如图2，若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y轴，
∴，即OE=BE=2.1．
当xF=2.1时，yF=-2.1+1=2.1，即EF=2.1；
当xD=2.1时，yD=−(2.1−2)2+9=8.71，即DE=8.71．
∴DF=DE-EF=8.71-2.1=6.21＞2.1．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，
∴四边形DCEB不能为平行四边形．
本题考查二次函数及四边形的综合，难度较大．
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