资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）
A．经过任意两点画一条直线 B．任意画一个五边形，其外角和为360°
C．过平面内任意三个点画一个圆 D．任意画一个平行四边形，是中心对称图形
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2－5x+3 B．2x2－y+1=0 C．x2=0 D．+ x=2
3．如图，是的直径，是的弦，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．能说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A． B． C． D．
5．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）
A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81
6．已知抛物线y=x2－8x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ）
A．16 B．-4 C．4 D．8
7．⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内
8．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“”或，如，，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“”数的槪率为（ ）
A． B． C． D．
9．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的一元二次方程的两根是，则的值为( )
A． B． C． D．
11．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）
12．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机模出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有80次摸到红球，则口袋中红球的个数大约有（ ）
A．8个 B．7个 C．3个 D．2个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝_____．
14．若实数a、b满足a+b2=2，则a2+5b2的最小值为_____．
15．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA=∠C，若AD=2cm，AB=4cm，那么CD的长等于________cm．
16．在函数y＝+（x﹣5）﹣1中，自变量x的取值范围是_____．
17．如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90°，扇形的半径为6cm，则圆锥底面圆的半径是______cm．
18．如图，直线AB与CD相交于点O，OA=4cm，∠AOC=30°，且点A也在半径为1cm的⊙P上，点P在直线AB上，⊙P以1cm/s的速度从点A出发向点B的方向运动_________s时与直线CD相切．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为7m．
（1）若生物园的面积为9m2，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？
（2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？
20．（8分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？
21．（8分）如图，抛物线（）与双曲线相交于点、，已知点坐标，点在第三象限内，且的面积为3（为坐标原点）.
（1）求实数、、的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在请求出所有的点的坐标，若不存在请说明理由.
（3）在坐标系内有一个点，恰使得，现要求在轴上找出点使得的周长最小，请求出的坐标和周长的最小值.
22．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0
（2）计算：
23．（10分）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”
大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位)
24．（10分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2 .
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．（12分）将一元二次方程化为一般形式，并求出根的判别式的值．
26．已知二次函数y＝ax2+bx+4经过点（2，0）和（﹣2，12）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）写出它的图象的开口方向 、顶点坐标 、对称轴 ；
（3）画出函数的大致图象．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】直接利用多边形的性质以及直线的性质、中心对称图形的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、经过任意两点画一条直线，是必然事件，故此选项错误；
B、任意画一个五边形，其外角和为360°，是必然事件，故此选项错误；
C、过平面内任意三个点画一个圆，是随机事件，故此选项错误；
D、任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项错误；
故选：C．
此题主要考查了随机事件的定义，有可能发生有可能不发生的时间叫做随机时间，正确掌握相关性质是解题关键．
2、C
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是1；（1）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、不是方程，故本选项错误；
B、方程含有两个未知数，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、不是整式方程，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
3、C
【分析】根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】∵，
∴．
故选：C．
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4、D
【分析】利用m=5使方程x2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
【详解】当m=5时，方程变形为x2-4x+m=5=0，
因为△=（-4）2-4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
故选D．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5、B
【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果.
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的周长比为：=.
故选B.
本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方.
6、A
【分析】顶点在x轴上,所以顶点的纵坐标是0.据此作答.
【详解】∵二次函数y=-8x+c的顶点的横坐标为x=- = -=4，
∵顶点在x轴上，
∴顶点的坐标是(4，0)，
把(4，0)代入y=-8x+c中，得：
16-32+c=0，
解得：c=16，
故答案为A
本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式,比较简单.
7、B
【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【详解】解：∵OP=5>3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：B．
本题主要考查了点与圆的位置关系，理解并掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解题的关键．
8、C
【分析】首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，
故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为，
故选：C．
本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
9、A
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称的定义逐一判断即可.
【详解】A选项是中心对称图形,也是轴对称图形,故A符合题意;
B选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故B不符合题意;
C选项不是中心对称图形,是轴对称图形,故C不符合题意;
D选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故D不符合题意.
故选：A.
此题考查的是中心对称图形的识别和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解决此题的关键.
10、A
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解.
【详解】由题意可得：
则
故选：A.
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于一般形式，设其两个实数根分别为，则方程的根与系数的关系为：.
11、A
【解析】试题分析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，2）．故选A．
考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．
12、A
【分析】根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率，即可求出红球的个数．
【详解】解：∵共摸了100次球，发现有80次摸到红球，
∴摸到红球的概率估计为0.80，
∴口袋中红球的个数大约10×0.80=8（个），
故选：A．
本题考查了利用频率估计概率的知识，属于常考题型，掌握计算的方法是关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝1x1﹣4x+4＝1（x﹣1）1+1，
∴点P的坐标为（1，1），
设点M的坐标为（a，1），则点N的坐标为（a，1a1﹣4a+4），
∴＝＝＝1，
故答案为：1．
本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P左边，设出点M、点N的坐标，表达出．
14、1
【分析】由a+b2=2得出b2=2-a，代入a2+5b2得出a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10，再利用配方法化成a2+5b2=（a-，即可求出其最小值．
【详解】∵a+b2=2，
∴b2=2-a，a≤2，
∴a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10=（a-，
当a=2时，
a2+b2可取得最小值为1．
故答案是：1．
考查了二次函数的最值，解题关键是根据题意得出a2+5b2=（a-.
15、1
【解析】由条件可证得△ABC∽△ADB，可得到=，从而可求得AC的长，最后计算CD的长．
【详解】∵∠DBA=∠C，∠A是公共角，∴△ABC∽△ADB，∴=，即=，解得：AC=8，∴CD=8﹣2=1．
故答案为：1．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．
16、x≥4且x≠1
【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量x的取值范围．
【详解】解：由题可得，，
解得，
∴x≥4且x≠1，
故答案为：x≥4且x≠1．
本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
17、
【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr＝，
解得：r＝cm，
故答案为．
本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18、1或5
【分析】分类讨论：当点P在射线OA上时，过点P作PE⊥AB于点E，根据切线的性质得到PE=1cm，利用30度角所对的直角边等于斜边一半的性质的OP=2PE=2cm，求出⊙P移动的距离为4-2-1=1cm，由此得到⊙P运动时间；当点P在射线OB上时，过点P作PF⊥AB于点F，同样方法求出运动时间.
【详解】当点P在射线OA上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，则PE=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm，
∴⊙P移动的距离为4-2-1=1cm，
∴运动时间为s；
当点P在射线OB上时，如图，过点P作PF⊥AB于点F，则PF=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PF=2cm，
∴⊙P移动的距离为4+2-1=5cm，
∴运动时间为s；
故答案为：1或5.
此题考查动圆问题，圆的切线的性质定理，含30度角的直角边等于斜边一半的性质，解题中注意运用分类讨论的思想解答问题.
三、解答题（共78分）
19、（1）3m；（1）生物园垂直于墙的一边长为1m．平行于墙的一边长为6m时，围成生物园的面积最大，且为11m1
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（11－3x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为9平方米，列出方程，解方程即可；
（1）设围成生物园的面积为y，由题意可得：y＝x（11﹣3x）且≤＜4，从而求出y的最大值即可．
【详解】设这个生物园垂直于墙的一边长为xm，
（1）由题意，得x（11﹣3x）＝9，
解得，x1＝1（不符合题意，舍去），x1＝3，
答：这个生物园垂直于墙的一边长为3m；
（1）设围成生物园的面积为ym1．
由题意，得，
∵
∴≤＜4
∴当x＝1时，y最大值＝11，11﹣3x＝6，
答：生物园垂直于墙的一边长为1m．平行于墙的一边长为6m时，围成生物园的面积最大，且为11m1．
本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是正确解读题意，根据题目给出的条件，准确列出方程和二次函数解析式．
20、；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
【分析】（1）根据按每千克元的市场价收购了这种苹果千克，此后每天每千克苹果价格会上涨元，进而得出天后每千克苹果的价格为元与的函数关系；
（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；
（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.
【详解】根据题意知，；
．
当时，最大利润12500元，
答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系是解题关键.
21、（1），；（1）存在，，，，，；（3）
【分析】（1）由点A在双曲线上，可得k的值，进而得出双曲线的解析式．设()，过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M．根据=3解方程即可得出k的值，从而得出点B的坐标，把A、B的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论；
（1）抛物线对称轴为，设，则可得出；；．然后分三种情况讨论即可；
（3）设M(x，y)．由MO=MA=MB，可求出M的坐标．作B关于y轴的对称点B'．连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．用两点间的距离公式计算即可．
【详解】（1）由知：k=xy=1×4=4，
∴．
设()．
过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M，则S△AOP=S△BOQ=1．
令：，
整理得：，
解得：，．
∵m＜0，
∴m=-1，
故．
把A、B带入
解出：，
∴．
（1）
∴抛物线的对称轴为．
设，则，，．
∵△POB为等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①，即，解得：，
∴，；
②，即，解得：，
∴，；
③，即，解得：
∴；
（3）设．
∵，，，
∴，，．
∵，
∴
解得：，
∴．
作B关于y轴的对称点B'坐标为：(1，-1)．
连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．
=MB'+MB
．
本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等．第（1）问的关键是割补法；第（1）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出M的坐标．
22、（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）1
【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；
(2)原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】(1)方程整理得：x2﹣4x=3，
配方得：x2﹣4x+4=3+4，即(x﹣2)2=7，
开方得：x﹣2=±，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
(2)
=1．
本题考查了利用配方法求一元二次方程的解以及实数的混合运算，涉及了：零指数、二次根式以及特殊角的三角函数值．解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及特殊角的锐角三角函数的值．
23、由的高约为丈.
【分析】由题意得里，尺，尺，里，过点作于点，交于点，得 尺，里，里，根据相似三角形的性质即可求出.
【详解】解：由题意得里，尺，尺，里.
如图，过点作于点，交于点.
则尺，里，里，
，
∴ △ ECH∽ △ EAG，
，
丈，丈.
答：由的高约为丈.
此题主要考查了相似三角形在实际生活中的应用，能够将实际问题转化成相似三角形是解题的关键.
24、（1）， D（-2，4）．
（2）①当t=3时，W有最大值，W最大值=1．②存在．只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．
【解析】（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：
（1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时。
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．
∴D（-2，4）．
（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A（-6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3．
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，
则DM=2，OM=4．
∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM-OP=4-t．
∵S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP
=12-2t
∴W=t（12-2t）=-2（t-3）2+1
∴当t=3时，W有最大值，W最大值=1．
探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°，
∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=45度．
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=45度．
∴P1M=DM=2，
此时
又因为∠AOC=∠P1DA=90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1=OM-P1M=4-2=2，
∴P1（0，2）．
∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，
此时P1点的坐标为（0，2）
②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°，
∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．
③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径
圆心O1到y轴的距离d=4．
∵d＞r，
∴⊙O1与y轴相离．
不存在点P3，使∠AP3D=90度．
∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．
25、，-8
【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得．
【详解】解：将方程化为一般形式为:
∴a=3,b=－2,c=1
∴ 根的判别式的值为．
本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根．
26、（1）；（2）向上，（1，﹣），直线x＝1；（1）详见解析．
【分析】（1）直接利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
（2）根据二次函数的性质求解；
（1）利用描点法画函数图象．
【详解】（1）由题意得：
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）∵(x﹣1)2，
∴图象的开口方向向上，顶点为，对称轴为直线 x=1．
故答案为：向上，(1，)，直线x=1；
（1）如图；
．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．
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