资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知a、b、c、d是比例线段．a=2、b=3、d=1．那么c等于（ ）
A．9 B．4 C．1 D．12
2．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于( )
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：
则该函数的对称轴为（ ）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝
4．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．如图，二次函数的图象与轴交于点（4，0），若关于的方程 在的范围内有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．25人中至少有3人的出生月份相同
B．任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上
C．天气预报说明天降雨的概率为10%，则明天一定是晴天
D．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是
7．某次数学纠错比赛共有道题目，每道题都答对得分，答错或不答得分，全班名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：
成绩（分）
人数
则全班名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．，70 D．，
8．如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（ ）
A．AD：DB＝AE：EC B．DE：BC＝AD：AB
C．BD：AB＝CE：AC D．AB：AC＝AD：AE
9．袋子中有4个黑球和3个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，摸到白球的概率为( )
A． B． C． D．
10．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知三点A（0，0），B（5，12），C（14，0），则△ABC内心的坐标为____．
12．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为_____．
13．一元二次方程的根的判别式的值为____.
14．如图，已知，，，若，，则四边形的面积为______．
15．已知，且，则的值为__________．
16．如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．
17．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1000
2000
5000
发芽种子粒数
85
298
652
793
1604
4005
发芽频率
0.850
0.745
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___（精确到0.1）．
18．如图，已知中，，D是线段AC上一点（不与A,C重合）,连接BD，将沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若是直角三角形，则AF的长为_________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡比DE:EC=1：，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）．
20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
21．（6分）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．
22．（8分）如图，在正方形ABCD中， ，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求AC的长；
（2）求证矩形DEFG是正方形；
（3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC．
24．（8分）已知抛物线y＝ax2+2x﹣（a≠0）与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B．
（1）①请直接写出点A的坐标 ；
②当抛物线的对称轴为直线x＝﹣4时，请直接写出a＝ ；
（2）若点B为（3，0），当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣，求m的值；
（3）已知点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），若抛物线与线段CD有两个不同的交点，求a的取值范围．
25．（10分）（1）2y2+4y＝y+2（用因式分解法）
（2）x2﹣7x﹣18＝0（用公式法）
（3）4x2﹣8x﹣3＝0（用配方法）
26．（10分）如图，在中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）试猜想直线DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=AH，EF=4，求DF的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据比例线段的定义得到a：b=c：d，即2：3=c：1，然后利用比例性质求解即可．
【详解】∵a、b、c、d是比例线段，
∴a：b=c：d，即2：3=c：1，
∴3c=12，解得：c=2．
故选：B．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，得到BC=3CE，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE的长，即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BC=3CE，
∵BC+CE=BE，
∴3CE+CE=10，
∴CE=．
故选C．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
3、B
【分析】根据表格中的数据可以写出该函数的对称轴，本题得以解决．
【详解】解：由表格可得，
该函数的对称轴是：直线x＝，
故选：B．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
4、A
【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于1，则正六边形的边长是1．故选A．
考点：正多边形和圆．
5、B
【分析】将点 (1，0)代入函数解析式求出b=1，即要使在的范围内有实根，即要使在的范围内有实根，即要使二次函数与一次函数y=t在的范围内有交点，求出时，二次函数值的范围，写出t的范围即可．
【详解】将x=1代入函数解析式可得：0=－16+1b，
解得b=1，
二次函数解析式为：，
要使在的范围内有实根，
即要使二次函数与一次函数y=t在的范围内有交点，
二次函数对称轴为x=2，且当x=2时，函数最大值y=1，
x=1或x=3时，y=3，
3<y≤1．
3<t≤1．
故选：B．
本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，数形结合，将方程有实根的问题转化为函数的交点问题是解题关键．
6、A
【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；
B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这个选项不符合题意；
C、天气预报说明天的降水概率为10%，则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；
D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3有2种可能，故概率是，原说法错误，故这个选项不符合题意；
故选：A．
本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
7、A
【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
【详解】把这组数据从小到大排列，最中间2个数的平均数是(70+80)÷2=75；
则中位数是75；
70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；
故选：A．
本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
8、B
【解析】由AD：DB＝AE：EC , DE：BC＝AD：AB 与BD：AB＝CE：AC AB：AC＝AD：AE ,根据平行线分线段成比例定理,均可判定,然后利用排除法即可求得答案.
【详解】
A、AD：DB＝AE：EC , ∴DE∥BC，故本选项能判定DE∥BC;
B、由DE：BC＝AD：AB, 不能判定DE∥BC,故本选项不能判定DE∥BC.
C、BD：AB＝CE：AC, ∴DE∥BC , 故本选项能判定DE∥BC;
D、 AB：AC＝AD：AE , ,∴DE∥BC，,故本选项能判定DE∥BC.
所以选B.
此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度不大,解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用.
9、A
【分析】根据题意，让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：根据题意，袋子中有4个黑球和3个白球，
∴摸到白球的概率为：；
故选：A.
本题考查了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数．
10、C
【解析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【详解】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（6，4）．
【分析】作BQ⊥AC于点Q，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC、AB的长，继而利用三角形面积，可得△OAB内切圆半径，过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，由BF=BE可得13-x=1+x，解之求出x的值，从而得出点P的坐标，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，
则AQ=5，BQ=12，
∴AB=，CQ=AC-AQ=9，
∴BC=
设⊙P的半径为r，根据三角形的面积可得：r=
过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，
设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，
∴BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，
由BF=BE可得13-x=1+x，
解得：x=6，
∴点P的坐标为（6，4），
故答案为：（6，4）．
本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P的坐标是解题的关键．
12、1
【分析】先运用勾股定理求出另一条边，再运用矩形面积公式求出它的面积．
【详解】∵对角线长为13，一边长为5，
∴另一条边长＝＝12，
∴S矩形＝12×5＝1；
故答案为：1．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，本题关键是运用勾股定理求出另一条边．
13、1.
【解析】直接利用根的判别式△=b2-4ac求出答案．
【详解】一元二次方程x2+3x=0根的判别式的值是：△=32-4×1×0=1．
故答案为1．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
14、1
【分析】过点D作DE⊥AC于E，利用AAS证出ABC≌DAE，从而得出BC=AE，AC=DE，∠BAC=∠ADE，根据锐角三角函数可得，设BC=AE=x，则AC=DE=4x，从而求出CE，利用勾股定理列出方程即可求出x的值，从而求出BC、AC和DE，再根据四边形的面积=即可求出结论．
【详解】解：过点D作DE⊥AC于E
∴∠EAD＋∠ADE=90°
∵
∴∠BAC＋∠EAD=90°
∴∠BAC=∠ADE
∵∠BCA=∠AED=90°，
∴ABC≌DAE
∴BC=AE，AC=DE，∠BAC=∠ADE
∴
∴
设BC=AE=x，则AC=DE=4x
∴EC=AC－AE=3x
在RtCDE中，CE2＋DE2=CD2
即（3x）2＋（4x）2=52
解得：x=1或-1（不符合题意舍去）
∴BC=1，AC=DE=4
∴四边形的面积=
=BC·AC＋AC·DE
=×1×4＋×4×4
=1
故答案为：1．
此题考查的是全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解题关键．
15、1
【解析】分析：直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
详解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
16、3
【解析】试题解析: 由旋转的性质可得：AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=4，BC=7，
∴CD=BC−BD=7−4=3.
故答案为3.
17、0.1
【分析】6批次种子粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.101，所以估计种子发芽的概率为0.101，再精确到0.1，即可得出答案．
【详解】根据题干知：当种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.101，
故可以估计种子发芽的概率为0.101，精确到0.1，即为0.1，故本题答案为：0.1．
本题比较容易，考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
18、或
【分析】分别讨论∠E=90°，∠EBF=90°两种情况：①当∠E=90°时，由折叠性质和等腰三角形的性质可推出△BDC为等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，进而得到∠F=45°，推出△ADF为等腰直角三角形即可求出斜边AF的长度；②当∠EBF=90°时，先证△ABD∽△ACB，利用对应边成比例求出AD和CD的长，再证△ADF∽△CDB，利用对应边成比例求出AF.
【详解】①当∠E=90°时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90°，如图所示，
在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°
∴∠ABC=∠BAC==67.5°
∵∠BDC=90°，∠C=45°
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴CD=BC=，∠DBC=45°
∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°
∴∠EBF=45°
∴∠F=90°-45°=45°
∴△ADF为等腰直角三角形
∴AF=
②当∠EBF=90°时，如图所示，
由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45°，
∵∠BAD=∠CAB
∴△ABD∽△ACB
∴
由情况①中的AD=，BD=，
可得AB=
∴AD=
∴CD=
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°
∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°
∴∠F=22.5°=∠DBC
∴EF∥BC
∴△ADF∽△CDB
∴
∴
∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD
∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°
∴∠F不可能为直角
综上所述，AF的长为或.
故答案为：或.
本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应角相等，分类讨论利用相似三角形的性质求边长是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）斜坡CD的高度DE是5米；（2）大楼AB的高度是34米．
【解析】试题分析：（1）根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，高为DE，可以求得DE的高度；
（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度．
试题解析：（1）∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，
∴，
设DE=5x米，则EC=12x米，
∴（5x）2+（12x）2=132，
解得：x=1，
∴5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为H，设DH的长为x，
由题意可知∠BDH=45°，
∴BH=DH=x，DE=5，
在直角三角形CDE中，根据勾股定理可求CE=12，AB=x+5，AC=x-12，
∵tan64°=，
∴2=，
解得，x=29，AB=x+5=34，
即大楼AB的高度是34米．
20、（1）见解析（2）2：1
【分析】（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
【详解】解：（1）证明：连接DO，
∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO．
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS）．
∴∠CDO=∠CBO=90°.
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.
（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB．
∵DE=2BC，∴ED=2CD．
∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．
∴AD：OC=DE：CE=2：1．
21、 (1) ;(2) 见解析.
【分析】（1） 根据顶点公式求出D坐标(利用a，b，c表示)，得到OC,DH（利用a，b，c表示）值，因为S△ABD：S△ACB＝9：16，所以得到DH:OC=9:16,得到c=4a，利用交点式得出A,B即可.
（2） 由题意可以得到，求出DH,EH(利用a表示),因为 △DBH与△BEH相似，得到，即可求出a（注意舍弃正值），得到解析式.
【详解】解：（1） ∴
∵C(0，c) ∴OC=-c，DH= ∵S△ABD：S△ACB＝9∶16
∴ ∴
∴ ∴
（2）① ∵EH∥OC ∴△AEH∽△ACO ∴
∴ ∴
∵ ∵△DBH与△BEH相似
∴∠BDH=∠EBH, 又∵∠BHD=∠BHE=90°∴△DBH∽△BEH
∴ ∴
∴（舍去正值）
∴
此题主要考查了二次函数与相似三角形等知识，熟练运用待定系数法、相似三角形是解题的关键.
22、（1）2；（2）见解析；（3）是，定值为8
【分析】（1）运用勾股定理直接计算即可；
（2）过作于点，过作于点，即可得到，然后判断，得到，则有即可；
（3）同（2）的方法证出得到，得出即可．
【详解】解：（1），
∴AC的长为2；
（2）如图所示，过作于点，过作于点，
正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，，
，
，
矩形为正方形，
（3）的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
是定值．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论。
23、AB=2,BC= .
【解析】要求AB和BC，由已知∠B、∠C为特殊角，故可构造直角三角形来辅助求解.过点A作AD⊥BC于D，首先在Rt△ACD中求出CD和AD，然后在Rt△ABD中求出BD和AB，从而BC=BD+DC可求.
【详解】
解：作三角形的高AD.
在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=，
∴BD=，AB=.
∴CB=BD+CD=+.
故答案为AB=2, BC= .
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理与特殊角的三角函数值.
24、（1）①；②；（2）；（1）a＞或a＜﹣1．
【分析】（1）①令x＝0，由抛物线的解析式求出y的值，便可得A点坐标；
②根据抛物线的对称轴公式列出a的方程，便可求出a的值；
（2）把B点坐标代入抛物线的解析式，便可求得a的值，再结合已知条件am＜0，得m的取值范围，再根据二次函数的性质结合条件当m2+2m+1≤x≤m2+2m+5时，抛物线最低点的纵坐标为,列出m的方程，求得m的值，进而得出m的准确值；
（1）用待定系数法求出CD的解析式，再求出抛物线的对称轴，进而分两种情况：当a＞0时，抛物线的顶点在y轴左边，要使抛物线与线段CD有两个不同的交点，则C、D两必须在抛物线上方，顶点在CD下方，根据这一条件列出a不等式组，进行解答；当a＜0时，抛物线的顶点在y轴的右边，要使抛物线与线段CD有两个不同的交点，则C、D两必须在抛物线下方，抛物线的顶点必须在CD上方，据此列出a的不等式组进行解答．
【详解】（1）①令x＝0，得，
∴,
故答案为：；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，
∴ ，
∴a＝，
故答案为：；
（2）∵点B为（1，0），
∴9a+6﹣＝0，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：，
∴对称轴为x＝﹣2，
∵am＜0，
∴m＞0，
∴m2+2m+1＞1＞﹣2，
∵当m2+2m+1≤x≤m2+2m+5时，y随x的增大而减小，
∵当m2+2m+1≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣，
∴ ，
整理得（m2+2m+5）2﹣4（m2+2m+5）﹣12＝0，
解得，m2+2m+5＝6，或m2+2m+5＝﹣2（△＜0，无解），
∴，
∵m＞0，
∴；
（1）设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点C（﹣5，﹣1）和点D（5，1），
∴ ，
∴，
∴CD的解析式为，
∵y＝ax2+2x﹣（a≠0）
∴对称轴为，
①当a＞0时，，则抛物线的顶点在y轴左侧，
∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，
∴，
∴；
②当a＜0时，，则抛物线的顶点在y轴左侧，
∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，
∴，
∴a＜﹣1，
综上，或a＜﹣1．
本题为二次函数综合题，难度较大，解题时需注意用待定系数法求出CD的解析式，再求出抛物线的对称轴，要分两种情况进行讨论.
25、（1）y1＝﹣2，y2＝；（2）x1＝9，x2＝﹣2；（3）x1＝1+，x2＝1﹣．
【分析】（1）先变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程；
（3）先把二次项系数化为1，再两边加上一次项系数一半的平方，配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解：（1）2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
∴（y+2）（2y﹣1）＝0，
∴y+2＝0或2y﹣1＝0，
所以y1＝﹣2，y2＝；
（2）a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，
∴△＝（﹣7）2﹣4×（﹣18）＝121，
∴x＝，
∴x1＝9，x2＝﹣2；
（3）x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝+1，
∴（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
26、（1）直线与⊙O相切，理由见解析；（2）DF=6
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，可得，即可证明OD//AC，根据平行线的性质可得∠ODH=90°，即可的答案；
（2）连接，由圆周角定理可得∠B=∠E，即可证明∠C=∠E，可得CD=DE，由AB是直径可得∠ADB=90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得HE=CH，BD=CD，可得OD是△ABC的中位线，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案.
【详解】（1）直线与⊙O相切，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴∠ODH=∠DHC=90°，
∴DH是⊙O的切线.
（2）如图，连接，
∵∠B和∠E是所对的圆周角，
∴，
∵
∴
∴DC＝DE
∵，
∴HE=CH
设AE=AH=x，则，，
∵是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∵AB=AC
∴BD＝CD
∴OD是的中位线，
，，
∴，
∴，
∵EF=4
∴DF=6
本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
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