资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据，说法正确的是（ ）
A．甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
2．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡上的点出发，走了13米到达处，此时他在铅直方向升高了5米．则该斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线如图所示，给出以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，已知菱形OABC，OC在x轴上，AB交y轴于点D，点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，且OD=2，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ）
A．-3 B．0 C．3 D．9
6．点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是( )
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
7．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．一个学习兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中任选出一人担当组长，则女生当组长的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
10．能说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算：=________．
12．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点、在三角板上所对应的刻度分别是、，重叠阴影部分的量角器弧所对的扇形圆心角，若用该扇形围成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则该圆锥的底面半径为______．
13．从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是偶数的概率是_____．
14．如图，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为____．
15．若，则化简得_______．
16．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__________cm2.
17．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题快闪活动，他们准备从报名参加的3男2女共5名同学中，随机选出2名同学进行领唱，选出的这2名同学刚好是一男一女的概率是：_________．
18．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为（6,4），（4,0），（2,0）.
（1）在轴左侧，以为位似中心，画出，使它与的相似比为1:2；
（2）根据（1）的作图，= .
20．（6分）如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为.
①用含的代数式表示线段的长；
②连接，，求的面积最大时点的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
21．（6分）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上方在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上方在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成一数对.
（1）请写出.所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽依次卡片，卡片上述资质和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由.
22．（8分）解分式方程：
（1）．
（2）．
23．（8分）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
24．（8分）指出“垃圾分类工作就是新时尚”．某小区为响应垃圾分类处理，改善生态环境，将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．
（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，画树状图求垃圾投放正确的概率；
（2）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区某天三类垃圾箱中总共10吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
A
B
C
a
3
0.8
1.2
b
0.26
2.44
0.3
c
0.32
0.28
1.4
该小区所在的城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算该城市生活垃圾中的“厨余垃圾”每月（按30天）有多少吨没有按要求投放．
25．（10分）某校为了了解本校七年级学生课外阅读的喜好，随机抽取该校七年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．下图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角等于 度；
（3）补全条形统计图；
（4）若该年级有600名学生，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是 ．
26．（10分）先阅读，再填空解题：
（1）方程：的根是：________，________，则________，________．
（2）方程的根是：________，________，则________，________．
（3）方程的根是：________，________，则________，________．
（4）如果关于的一元二次方程（且、、为常数）的两根为，，
根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：，与系数、、有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.
【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，
排序后最中间的数是7，所以中位数是7，
，
=4.4，
乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，
排序后最中间的数是4，所以中位数是4，
，
=6.4，
所以只有D选项正确，
故选D.
本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.
2、A
【分析】如图，过点M做水平线，过点N做直线垂直于水平线垂足为点A，则△MAN为直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据坡度定义解答即可．
【详解】解：如图，过点M做水平线，过点N做垂直于水平线交于点A．
在Rt△MNA中，，
∴坡度5:12=1:2.1．
故选：A
本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题．
3、D
【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，再根据与x轴的交点坐标代入分析即可得到结果；
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴ab＜0，故①②正确；
当x=-1时，，故③正确；
当x=1时，根据图象可得，故④正确；
根据函数图像与x轴有两个交点可得，故⑤正确；
故答案选D．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析每一个数据是解题的关键．
4、B
【分析】由OD=，则点A、B的纵坐标为，得到A（，），B（，），求得AB=AO=，AD=，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形OABC是菱形，
∴AB∥OC，AB=AO，
∵OD=，
∴点A、B的纵坐标为，
∴A（，），B（，），
∴AB=，AD=，
∴AO=，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
，
∴，
解得：；
故选：B．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
5、D
【解析】解：，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即，符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为1．故选D．
6、D
【分析】根据点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,然后解方程即可求解.
【详解】因为点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:
,
,
解得:,
故选D.
本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.
7、A
【解析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少．
【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为秒，每分钟内黄灯亮的概率为，故抬头看是黄灯的概率为.
故选A.
本题主要考查求随机事件概率的方法，熟悉掌握随机事件A的概率公式是关键.
8、C
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一个学习兴趣小组有2名女生，3名男生，
∴女生当组长的概率是：．
故选：C．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9、D
【分析】根据解析式即可依次判断正确与否.
【详解】∵a=-2
∴开口向下，A选项错误；
∵，
∴对称轴为直线x=-1，故B错误；
∵，
∴顶点坐标为（-1，-4），故C错误；
∵对称轴为直线x=-1，开口向下，
∴当时，随的增大而增大，故D正确.
故选：D.
此题考查二次函数的性质，掌握不同函数解析式的特点，各字母代表的含义，并熟练运用解题是关键.
10、D
【分析】利用m=5使方程x2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
【详解】当m=5时，方程变形为x2-4x+m=5=0，
因为△=（-4）2-4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
故选D．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1
【分析】根据零指数幂及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】解：原式=1-4×=-1，
故答案为：-1.
本题考查了实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练每部分的运算法则．
12、1
【分析】先利用弧长公式求出弧长，再利用弧长等于圆锥的底面周长求半径即可．
【详解】根据题意有扇形的半径为6cm，圆心角
∴
设圆锥底面半径为r
∴
故答案为：1．
本题主要考查圆锥底面半径，掌握弧长公式是解题的关键．
13、
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机抽取两个数相乘，积是偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，随机抽取两个数相乘，积是偶数的有4种情况，
∴随机抽取两个数相乘，积是偶数的概率是；
故答案为：．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14、
【分析】利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，再利用勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵半径为的圆形
∴底面圆的半径为
∴底面圆的周长为
∴扇形的弧长为
∴，即圆锥的母线长为
∴圆锥的高为．
故答案是：
此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出母线长是解决问题的关键．
15、
【分析】根据二次根式的性质得出，再运用绝对值的意义去掉绝对值号，化简后即可得出答案．
【详解】解：∵，∴．
∴．
故答案为：1．
此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是掌握性质并能根据字母的取值范围确定正负，准确去掉绝对值号．
16、
【解析】圆锥侧面积=×4×2π×6= cm2.
故本题答案为：.
17、
【分析】先画出树状图求出所有可能出现的结果数，再找出选出的2名同学刚好是一男一女的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：设报名的3名男生分别为A、B、C，2名女生分别为M、N，则所有可能出现的结果如图所示：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选出的2名同学刚好是一男一女的结果有12种，
所以选出的2名同学刚好是一男一女的概率=．
故答案为：．
本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．
18、1
【分析】根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：设△DEF的周长别为x，
△ABC的三边长分别为4、5、6，
∴△ABC的周长＝4＋5＋6＝15，
∵△ABC∽△DEF，
∴，
解得，x＝1，
故答案为1．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）-2
【分析】（1）连接AO并延长至，使，同理作出点B，C的对应点，再顺次连接即可；
（2）先根据图象找出三点的坐标，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】（1）如图；
（2）根据题意可得出，，，
设与x轴的夹角为，
∴．
本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形，掌握位似图形的关于概念是解此题的关键．
20、（1）y＝x2﹣4x+1；（2）①用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+1m；②△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）；（1）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．点M的坐标为M1（2，1），M2（2，1﹣2），M1（2，1+2）．
【分析】（1）根据已知抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）经过点A（1，0）和点B（1，0）代入即可求解；
（2）①先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解；
②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；
（1）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标．
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）经过点A（1，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1；
（2）①设P（m，m2﹣4m+1），
将点B（1，0）、C（0，1）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+1．
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+1），
∴PD＝（﹣m+1）﹣（m2﹣4m+1）＝﹣m2+1m．
答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+1m．
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB•PD＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+．
∴当m＝时，S有最大值．
当m＝时，m2﹣4m+1＝﹣．
∴P（，﹣）．
答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．
（1）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2）
当EM=EF=2时，M（2，1）
∴点M的坐标为M1（2，1），M2（2，1﹣2），M1（2，1+2）．
本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
21、（1）见解析；（2）不公平，理由见解析
【解析】（1）利用枚举法解决问题即可；
（2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断．
【详解】（1）由题设可知，所有可能出现的结果如下：，，，，，，，，共9种；
（2）两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数有4种可能，所以（甲赢）；
卡片上数字之和为偶数有5种可能，所以（乙赢）.
∵，
∴乙赢的可能性大一些，故这个游戏不公平.
本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22、（1）；（2）无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：时，，
是原方程的解；
（2）两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
检验：时，，
是原方程的增根，
故原方程无解．
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23、 (1) 共有9种等可能的结果；(2) .
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）∵出现平局的有3种情况，
∴出现平局的概率为：．
考点：列表法与树状图法．
24、（1）垃圾投放正确的概率为；（2）该城市生活垃圾中的“厨余垃圾”每月（按30天）没有按要求投放的数量为3000（吨）．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率．
（2）用样本中投放不正确的数量除以厨余垃圾的总质量，再乘以每月的厨余垃圾的总吨数即可得．
【详解】解：（1）列表如下：
a
b
c
A
（a，A）
（b，A）
（c，A）
B
（a，B）
（b，B）
（c，B）
C
（a，C）
（b，C）
（c，C）
所有等可能的情况数有9种，其中垃圾投放正确的有（a，A）；（b，B）；（c，C）3种，
∴垃圾投放正确的概率为＝；
（2）该城市生活垃圾中的“厨余垃圾”每月（按30天）没有按要求投放的数量为500×30××＝3000（吨）．
考核知识点：概率.运用列举法求概率是关键.
25、（1）200；（2）36；（3）补图见解析；（4）180名.
【分析】（1）根据条形图可知喜欢阅读“小说”的有80人，根据在扇形图中所占比例得出调查学生总数；
（2）根据条形图可知阅读“其他”的有20人，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；
（3）求出第3组人数画出图形即可；
（4）根据喜欢阅读“科普常识”的学生所占比例，即可估计该年级喜欢阅读“科普常识”的人数．
【详解】解：（1）80÷40%=200（人），
故这次活动一共调查了200名学生.
（2）20÷200×360°=36°，
故在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角等于36°.
（3）200－80－40－20＝60（人），
即喜欢阅读“科普常识”的学生有60人，
补全条形统计图如图所示：
（4）60÷200×100%＝30%，
600×30%＝180（人），
故估计该年级喜欢阅读“科普常识”的人数为180.
26、（1）-2，1，-1，2；（2）3，，，；（3）5，-1，4，-5；（4），，理由见解析
【分析】（1）利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；
（2）利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；
（3）利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；
（4）利用公式法求出方程的解，即可得到答案.
【详解】（1）∵，
∴（x+2）（x-1）=0，
∴，，
∴，；
故答案为：-2，1，-1，2；
（2）∵，
∴（x-3）（2x-1）=0，
∴，，
∴，，
故答案为：3，，，；
（3）∵，
∴（x-5）（x+1）=0，
∴，，
∴，，
故答案为：5，-1，4，-5；
（4），与系数、、的关系是：，，
理由是有两根为
，，
∴，．
此题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的特点选择适合的解法是解题的关键.
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