资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若将抛物线y=x2平移，得到新抛物线，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
2．已知，则=（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
4．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与x轴有唯一交点
C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小
5．图中几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．斜坡坡角等于，一个人沿着斜坡由到向上走了米，下列结论
①斜坡的坡度是； ②这个人水平位移大约米；
③这个人竖直升高米； ④由看的俯角为．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，四边形的顶点坐标分别为．如果四边形与四边形位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形面积的倍，那么点的坐标可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．将二次函数化成顶点式，变形正确的是：（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，已知和，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为_____．
12．中， 如果锐角满足,则_________度
13．______．
14．有四条线段，分别为3，4，5，6，从中任取三条，能够成直角三角形的概率是
15．如图，在中，A，B，C是上三点，如果，那么的度数为________.
16．如图，在中，，以点A为圆心，2为半径的与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______．
17．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为____________.
18．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点为格点（即小正方形的顶点），与相交于点，则的长为_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
20．（6分）如图，BD、CE是的高．
（1）求证：；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
21．（6分）解方程：
（1）x2－8x＋6＝0
（2）(x -1)2 -3(x -1) =0
22．（8分）在一个不透明的布袋里装有3个标有1，2，3的小球，它们的形状，大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，然后放回袋中搅匀，王芳再从袋中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标（x，y）．
（1）用列表或画树状图（只选其中一种）的方法表示出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝x2图象上的概率．
23．（8分）（1）计算；
（2）解不等式．
24．（8分）已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；
（ ， ）
（ ， ）
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
26．（10分）如图，海中有一个小岛，它的周围海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在岛南偏西的处，往东航行海里后到达该岛南偏西的处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危险．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】先确定抛物线y=x1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【详解】解：抛物线y=x1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），
因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），
所以把抛物线y=x1向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）1．
故选：A．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2、B
【分析】由得到x=,再代入计算即可.
【详解】∵,
∴x=,
∴=.
故选B.
考查了求代数式的值，解题关键是根据得到x=，再代入计算即可.
3、D
【分析】根据三角函数的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝1．
∴AC＝，
∴sinA＝，tanA＝，cosB＝，tanB＝．
故选：D．
本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．
4、D
【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令y=0，解关于x的方程即可判断B项，进而可得答案.
【详解】解：；
A、∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，说法正确，所以本选项不符合题意；
B、令y=0，则，该方程有两个相等的实数根，所以抛物线与x轴有唯一交点，说法正确，所以本选项不符合题意；
C、抛物线的对称轴是直线，说法正确，所以本选项不符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，说法错误，应该是当时，y随x的增大而增大，所以本选项符合题意.
故选：D.
本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
5、D
【解析】本题考查了三视图的知识
找到从上面看所得到的图形即可．
从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选D．
6、C
【解析】由题意对每个结论一一分析即可得出其中正确的个数．
【详解】解：如图，
斜坡的坡度为tan30°= =1： ，正确．
②AB=20米，这个人水平位移是AC，
AC=AB•cos30°=20× ≈17.3（米），正确．
③这个人竖直升高的距离是BC，
BC=AB•sin30°=20×=10（米），正确．
④由平行线的性质可得由B看A的俯角为30°．所以由B看A的俯角为60°不正确．
所以①②③正确．
故选：C．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角-仰角俯角问题，关键是熟练掌握相关概念．
7、B
【分析】根据位似图形的面积比得出相似比，然后根据各点的坐标确定其对应点的坐标即可．
【详解】解：∵四边形OABC与四边形O′A′B′C′关于点O位似，且四边形的面积等于四边形OABC面积的，∴四边形OABC与四边形O′A′B′C′的相似比为2:3，
∵点A，B，C分别的坐标），∴点A′，B′，C′的坐标分别是（3，0），（6，6），（-3，3）或（-3，0），（-6，-6），（3，-3）.
故选：B．
本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比，注意有两种情况．
8、A
【分析】将化为顶点式，再进行判断即可．
【详解】
故答案为：A．
本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的顶点式表示形式是解题的关键．
9、B
【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠C的对边为c，∠A的对边为a，
∴sinA＝，
∴a＝c•sinA，．
故选：B．
考查了锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
10、B
【详解】∵在⊙O中，=，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；又∠A=30°，
∴∠B==75°（三角形内角和定理）．
故选B．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或1
【分析】分两种情况：①当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=1，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=110°，DE=AD=1，求出DG=CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=110°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=xcm，则GN=3-x， DN=x+1，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=1（含CE=DE这种情况）；
【详解】解：分两种情况：
①当DE＝DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝1，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B＝60°，∠A＝110°，
∴DE＝AD＝1，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝CD＝1，
∴DG＝CG＝，BG＝BC+CG＝3，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝1，
由折叠的性质得：EN＝BN，EM＝BM＝AM，∠MEN＝∠B＝60°，
在△ADM和△EDM中，
，
∴△ADM≌△EDM（SSS），
∴∠A＝∠DEM＝110°，
∴∠MEN+∠DEM＝180°，
∴D、E、N三点共线，
设BN＝EN＝x，则GN＝3﹣x，DN＝x+1，
在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3﹣x）1+（）1＝（x+1）1，
解得：x＝，
即BN＝，
②当CE＝CD时，CE＝CD＝AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图1所示：
CE＝CD＝DE＝DA，△CDE是等边三角形，BN＝BC＝1（含CE＝DE这种情况）；
综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或1；
故答案为：或1．
本题主要考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键.
12、
【分析】根据绝对值与偶数次幂的非负性，可得且，进而求出∠A，∠B的值，即可得到答案．
【详解】∵，
∴且，
∴且，
∴∠A=45°，∠B=30°，
∵在中， ，
∴105°．
故答案是：105°．
本题主要考查绝对值与偶数次幂的非负性，特殊三角函数以及三角形内角和定理，掌握绝对值与偶数次幂的非负性，是解题的关键．
13、
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：，
故答案为：．
本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
14、．
【解析】试题分析： 能构成三角形的情况为：3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6这四种情况．直角三角形只有3，4，5一种情况．故能够成直角三角形的概率是．故答案为．
考点：1．勾股定理的逆定理；2．概率公式．
15、37°
【分析】根据圆周角定理直接得到∠ACB=35°．
【详解】解：根据圆周角定理有∠ACB= ∠AOB= ×74°=37°；
故答案为37°．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16、
【分析】图中阴影部分的面积=S△ABC-S扇形AEF．由圆周角定理推知∠BAC=90°．
【详解】解：连接AD，
在⊙A中，因为∠EPF=45°，所以∠EAF=90°，
AD⊥BC，S△ABC=×BC×AD=×4×2=4
S扇形AFDE=，
所以S阴影=4-
故答案为：
本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
17、
【分析】根据菱形的性质求∠ACD的度数，根据圆内接四边形的性质求∠AEC的度数，由三角形的内角和求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,AD=DC,
∴∠DAC=∠ACB, ∠DAC=∠DCA
∵∠D=70°,
∴∠DAC= ,
∴∠ACB=55°,
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC+∠D=180°,
∴∠AEC=180°-70°=110°，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠ACB=180°-55°-110°=15°,
∴∠EAC=15°.
故答案为：15°
本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质和圆的性质是解答此题的关键．
18、
【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
【详解】解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，
∴△CEF≌△DBF，
∴BF=EF=BE=，
∵BF∥AD，
∴△BOF∽△AOD，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：
本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）到2020年底，全省5G基站的数量是6万座；（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为.
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G基站的数量是（万座）.
答：到2020年底，全省5G基站的数量是6万座.
（2）设年平均增长率为，由题意可得：
，
解得：，（不符合，舍去）
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为.
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）BC＝．
【分析】（1）、是的高，可得，进而可以证明；
（2）在中，，，根据勾股定理可得，结合（1），对应边成比例，进而证明，对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：（1）证明：、是的高，
，
，
；
（2）在中，，，
根据勾股定理，得
，
，
，
，
，
，
，
．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
21、（1）x1=，x2=-（2） x1=1，x2=1．
【分析】（1）根据配方法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】（1）x2－8x＋6＝0
x2－8x＋16＝10
（x-1）2＝10
x-1=±
∴x1=，x2=-
（2）(x -1)2 - 3(x -1) =0
(x -1)(x -1-3)=0
(x -1)(x-1)=0
∴x-1=0或x-1=0
解得x1=1,x2=1．
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．
22、（1）（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），见解析；（2）
【分析】（1）根据题意列出表格即可；
（2）由表格求得所有可能的结果即可．
【详解】解：（1）用列表的方法表示出点M所有可能的坐标如下；
（2）由表格可知，共有9种可能出现的结果，其中点M（x，y）在函数y＝x2图象上的的结果有1种，即（1，1），
∴P（M）＝．
本题考查了列表法与树状图法、二次函数图象上的特征等知识；利用列表法或树状图法展示所有可能的结果和从中选出符合事件的结果数目是解题的关键．
23、（1）0；（2）；
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案；（2）先把不等式①按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法求出其解集；再把不等式②按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的方法求出其解集，最后求出其公共解集即可；
【详解】解：
（1）原式＝
＝
＝0；
（2）
解不等式①得，x＞﹣4；
解不等式②得，；
∴原不等式组的解集是；
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组是解题的关键.
24、（1）详见解析；（2）相似
【分析】（1）利用坐标的变化规律得出答案；
（2）根据所画的图形，利用对应点位置得到线段的长度，即可得到结论.
【详解】解：（1）B′（ 8，6 ），C′（ 10，2 ），
如图所示：△A′B′C′即为所求；
故答案为：8，6；10，2；
（2）根据表格和所画的图形可知，
，
∴.
此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
25、（1）60°；（2）3
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后利用互余可计算出∠BAD的度数；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
26、无触礁的危险，理由见解析
【分析】作高AD，由题意可得∠ACD=60°，∠ABC=30°，进而得出∠ABC=∠BAC=30°，于是AC=BC=20海里，在Rt△ADC中，利用直角三角形的边角关系，求出AD与15海里比较即可．
【详解】解 ：过点A作ADBC，垂足为D
∵∠ ABC= ∠ ACD=
∴∠ BAC==∠ ABC
∴BC=AC=20
∴ =
AD=20=10
所以货船在航行途中无触礁的危险．
本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确作出高线是解题的关键．
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