资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
3．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在中，，，以为斜边向上作，.连接，若，则的长度为（ ）
A．或 B．3或4 C．或 D．2或4
5．按如图所示的运算程序，输入的 的值为，那么输出的 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
7．在Rt△ABC中，cosA= ，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
8．对于方程，下列说法正确的是（ ）
A．一次项系数为3 B．一次项系数为-3
C．常数项是3 D．方程的解为
9．如图，内接于⊙，是⊙的直径，，点是弧上一点，连接，则的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
10．的值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是____.
12．如图1，点M，N，P，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，我们称四边形MNPQ是矩形ABCD的内接四边形．已知矩形ABCD，AB＝2BC＝6，若它的内接四边形MNPQ也是矩形，且相邻两边的比为3：1，则AM＝_____．
13．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为 ．
14．计算：_______．
15．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___．
16．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，则四边形的面积为______．
17．已知是关于的方程的一个根，则______.
18．如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90°，扇形的半径为6cm，则圆锥底面圆的半径是______cm．
三、解答题(共66分)
19．（10分）4张相同的卡片分别写有数字﹣1、﹣3、4、6，将这些卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是______；
（2）从中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的a，再从余下的卡片中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的b，利用树状图或表格的方法，求出这个二次函数图象的对称轴在y轴右侧的概率．
20．（6分）一元二次方程的一个根为，求的值及方程另一根．
21．（6分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为。
(1)计算由、确定的点在函数的图象上的概率；
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若、满足＞6则小明胜，若、满足＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由.若不公平，请写出公平的游戏规则.
22．（8分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求B、D两点的坐标；
（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，设F为y轴一动点，当线段PM长度最大时，求PH+HF+CF的最小值；
（3）在第（2）问中，当PH+HF+CF取得最小值时，将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′，过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．
24．（8分）如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．
（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；
（2）求证：OA2＝OE•DC：
（3）求tan∠ACD的值．
25．（10分）计算：；
26．（10分）已知在平面直角坐标中，点A(m，n)在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A，
（1）当点B的坐标为(4，0)时（如图1），求这个反比例函数的解析式；
（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】利用二次函数的图象和性质逐一对选项进行分析即可．
【详解】①因为其图象的开口向上，故正确；
②其图象的对称轴为直线，故错误；
③其图象顶点坐标为，故错误；
④因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧，即当时，随的增大而减小，故正确．
所以正确的有2个
故选：B．
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2、D
【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm），故选D．
3、C
【详解】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴S△ABC=4，
∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=1．
故选C
考点：相似三角形的判定与性质.
4、A
【分析】利用A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出，再作，设AE=DE=x，最后利用勾股定理求解即可.
【详解】解：如图所示，
∵△ABC、△ABD都是直角三角形，
∴A,B,C,D四点共圆，
∵AC=BC，
∴，
∴，
作于点E,
∴△AED是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则，
∵CD=7,CE=7-x,
∵，
∴AC=BC=5，
在Rt△AEC中，，
∴
解得，x=3或x=4，
∴或.
故答案为：A.
本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.
5、D
【分析】把代入程序中计算，知道满足条件，即可确定输出的结果.
【详解】把代入程序，
∵是分数，
∴
不满足输出条件，进行下一轮计算；
把代入程序，
∵不是分数
∴
满足输出条件，输出结果y=4，
故选D.
本题考查程序运算，解题的关键是读懂程序的运算规则.
6、B
【解析】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=1．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，1）时，∠ECD=90°，CD=1，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选B．
7、B
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【详解】：∵Rt△ABC中，cosA= ，
∴sinA= =，
故选B．
本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．
8、B
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再求出其一次项系数、二次项系数及常数项即可．
【详解】∵原方程可化为2x2−3x＝0，
∴一次项系数为−3，二次项系数为2，常数项为0，方程的解为x=0或x=，
故选：B．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项是解答此题的关键．
9、A
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ABC=90°，计算出∠BAC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠D的度数．
【详解】解：∵是⊙的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵，
∴∠BAC=90°-40°=50°，
又∵∠BAC与所对的弧相等，
∴∠D=∠BAC=50°，
故答案为A．
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．
10、D
【解析】根据特殊角的三角函数值及负指数幂的定义求解即可.
【详解】
故选：D
本题考查了特殊角的三角函数值及负指数幂的定义，比较简单，掌握定义仔细计算即可.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x≤1
【解析】试题解析：二次函数的对称轴为：
随增大而增大时，的取值范围是
故答案为
12、
【分析】证明△AMQ∽△DQP，△PCN∽△NBM，设MA＝x，则DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，PC＝9x﹣3，NB＝27x﹣9，表示出NC，由BC长为3，可得方程，解方程即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形MNPQ为矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，∠DQP＝∠QMA，
∴△AMQ∽△DQP，
同理△PCM∽△NBM，
设MA＝x，∵PQ：QM＝3：1，
∴DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，
PC＝6﹣（9﹣9x）＝9x﹣3，NB＝3PC＝27x﹣9，
BM＝6﹣x，
∴NC＝，
∴＝3，
解得x＝．
即AM＝．
故答案为：．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法．
13、2m
【解析】试题分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x）（20-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
试题解析：
解：设道路宽为x米
（32-x）(20-x)=540
解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）
∴x=2
答：设道路宽为2米
考点：1、一元二次方程的应用；2、数形结合的思想．
14、
【分析】原式把变形为，然后逆运用积的乘方进行运算即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=
=
=．
故答案为：．
此题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方运算法则是解答此题的关键．
15、2020.
【分析】把x=m代入方程计算即可求解．
【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为2020.
本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16、3
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可分别求得△OBD、△OAC、矩形PDOC的面积，据此可求出四边形PAOB的面积.
【详解】解：如图，
∵A、B是反比函数上的点，
∴S△OBD=S△OAC= ，
∵P是反比例函数上的点，
∴S矩形PDOC=4，
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC-S△ODB--S△OAC=4--=3，
故答案是：3.
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
17、9
【分析】根据一元二次方程根的定义得，整体代入计算即可.
【详解】∵是关于的方程的一个根，
∴，即，
∴
故答案为：．
考查了一元二次方程的解的定义以及整体思想的运用．
18、
【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr＝，
解得：r＝cm，
故答案为．
本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次函数的性质，找出a、b异号的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）∵共由4种可能，抽到的数字大于0的有2种，
∴从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是，
故答案为：
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中a、b异号有8种结果，
∴这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率为＝．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比，熟练掌握a、b异号时，对称轴在y轴右侧是解题关键．
20、，
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．
【详解】解：由题意得：，解得，
当时，方程为，解得：，，
∴方程的另一根．
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
21、 (1)；(2)不公平，规则见解析.
【解析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再得出得点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）首先分别求得x、y满足xy>6则小明胜，x、y满足xy<6则小红胜的概率，比较概率大小，即可得这个游戏是否公平；公平的游戏规则：只要概率相等即可．
【详解】(1)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果,其中在函数y=−x+5的图象上的有4种：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，
∴点(x,y)在函数y=−x+5的图象上的概率为：
(3)这个游戏不公平.
理由：∵x、y满足xy>6有：(2,4),(3,4),(4,2),(4,3)共4种情况,x、y满足xy<6有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)共6种情况.
∴P(小明胜)=,P(小红胜)=,
∴这个游戏不公平。
公平的游戏规则为：若x、y满足则小明胜，若x、y满足xy<6则小红胜.
考查游戏公平性，一次函数图象上点的坐标特征，列表法与树状图法，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.
22、（1）B（3，0），D（1，﹣4）；（2）；（3）存在，S的坐标为（3，0）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣）
【分析】（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系数法即可求得抛物线的解析式，再配方即可得到顶点D的坐标，根据y＝0，可得点B的坐标；
（2）根据BC的解析式和抛物线的解析式，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示PM的长，根据二次函数的最值可得：当x＝时，PM的最大值，此时P（，﹣），进而确定F的位置：在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝30°，过F作FN⊥CK于N，当N、F、H三点共线时，如图2，FH+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，根据含30°角的直角三角形的性质，即可得结论；
（3）先根据旋转确定Q的位置，与点A重合，根据菱形的判定画图，分4种情况讨论：分别以DQ为边和对角线进行讨论，根据菱形的边长相等和平移的性质，可得点S的坐标．
【详解】（1）把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，
∴B（3，0）；
（2）∵B（3，0），C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），
∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PM有最大值，此时P（，﹣），
在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝30°，过F作FN⊥CK于N，
∴FN＝CF，
当N、F、H三点共线时，如图1，FH+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，
∵Rt△OCK中，∠OCK＝30°，OC＝3，
∴OK＝，
∵OH＝，
∴KH＝+，
∵Rt△KNH中，∠KHN＝30°，
∴KN＝KH＝，
∴NH＝KN＝，
∴PH+HF+CF的最小值=PH+NH＝＝；
（3）Rt△OFH中，∠OHF＝30°，OH＝，
∴OF＝OF'＝，
由旋转得：∠FOF'＝60°
∴∠QOF'＝30°，
∴在Rt△QF'O中，QF'＝OF'÷=÷＝，OQ=2QF'=2×=1，
∴Q与A重合，即Q（﹣1，0）
分4种情况：
①如图2，以QD为边时，由菱形和抛物线的对称性可得S（3，0）；
②如图3，以QD为边时，
由勾股定理得：AD＝，
∵四边形DQSR是菱形，
∴QS＝AD＝2，QS∥DR，
∴S（﹣1，﹣2）；
③如图4，同理可得：S（﹣1，2）；
④如图5，作AD的中垂线，交对称轴于R，可得菱形QSDR，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴AD的中点N的坐标为（0，﹣2），且AD＝2，
∴DN＝，
cos∠ADR＝，
∴DR＝，
∴QS= DR＝，
∴S（﹣1，﹣）；
综上，S的坐标为（3，0）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣）．
本题主要考查二次函数和几何图形的综合，添加合适的辅助线构造含30°角的直角三角形，利用菱形的判定定理，进行分类讨论，是解题的关键.
23、（1）（2） ，
【解析】（1）根据一元二次方程的定义可知k≠0，再根据方程有两个不相等的实数根，可知△>0，从而可得关于k的不等式组，解不等式组即可得；
（2）由（1）可写出满足条件的k的最大整数值，代入方程后求解即可得.
【详解】（1） 依题意，得，
解得且；
(2) ∵是小于9的最大整数，
∴
此时的方程为，
解得，.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义、解一元二次方程等，熟练一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.
24、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan∠ACD＝2﹣．
【分析】（1）根据BM为切线，BC平分∠ABM，求得∠ABC的度数，再由直径所对的圆周角为直角，即可求证；
（2）根据三角形相似的判定定理证明三角形相似，再由相似三角形对应边成比例，即可求证；
（3）由图得到∠ACD＝∠ABD，根据各个角之间的关系求出∠AFD的度数，用AD表达出其它边的边长，再代入正切公式即可求得.
【详解】（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，
∴∠ABM＝90°，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝∠ABM＝45°
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∴AC＝BC
∴△ACB是等腰直角三角形；
（2）如图，连接OD，OC
∵DE＝EO，DO＝CO
∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD
∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD
∴△EDO∽△ODC
∴
∴OD2＝DEDC
∴OA2＝DEDC＝EODC
（3）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，
∵DO＝BO
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，
∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，
∴∠ODB＝15°＝∠OBD
∵∠BAF＝∠DBA＝15°
∴AF＝BF，∠AFD＝30°
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°
∴AF＝2AD，DF＝AD
∴BD＝DF+BF＝AD+2AD
∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝＝2﹣
本题考查圆的切线、角平分线的性质，相似三角形的性质以及三角函数中正切的计算问题，属综合中档题.
25、1
【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可求解.
【详解】
此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
26、（1）y＝；（2）B(m+n，n﹣m)；（3）
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线定理，三线合一，得到点坐标，代入解析式即可得到．
（2）过点作平行于轴的直线，过点作垂直于轴的直线交于点，交轴于点，构造一线三等角全等，得到，，所以
（3）把点和点的坐标代入反比例函数解析式得到关于、的等式，两边除以，换元法解得的值是
【详解】解：（1）过作，交轴于点，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
将，代入反比例解析式得：，即，
则反比例解析式为；
（2）过作轴，过作，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
则；
（3）由与都在反比例图象上，得到，
整理得：，即，
这里，，，
△，
，
在第一象限，
，，
则．
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
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