资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点是中边的中点，于，以为直径的经过，连接，有下列结论：①;②;③;④是的切线.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放篮球比赛 B．守株待兔
C．明天是晴天 D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球.
3．如图，在中，，，．点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
7．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（ ）
A．（，），（，） B．（，），（，）
C．（，），（，） D．（，），（，）
8．在一个不透明的箱子中有3张红卡和若干张绿卡，它们除了颜色外其他完全相同，通过多次抽卡试验后发现，抽到绿卡的概率稳定在75%附近，则箱中卡的总张数可能是（ ）
A．1张 B．4张 C．9张 D．12张
9．二次函数（b＞0）与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦. 若∠BAD=24°， 则的度数为（ ）
A．24° B．56° C．66° D．76°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，点D在CE上，且∠A＝120°，B，C，G三点在同一直线上，则BD与CF的位置关系是_____；△BDF的面积是_____．
12．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长为__________________．
13．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是_____．
14．如图，是的边上一点，且点的横坐标为3，，则______．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，2），C（1，2），以坐标原点O为位似中心，将▱OABC放大3倍，得到▱ODEF，则点E的坐标是_____．
16．二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围__________
17．像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+2＝x2，解得x1＝2，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝2时，＝2满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝2．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____．
18．如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是_______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼两次锻炼后数据如下表，与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为．注：步数平均步长距离．
项目
第一次锻炼
第二次锻炼
步数（步）
①_______
平均步长（米/步）
②_______
距离（米）
（1）根据题意完成表格；
（2）求．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的长．
21．（6分）有六张完全相同的卡片，分两组，每组三张，在组的卡片上分别画上“√，×，√”，组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图①所示．
（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率（请用“树形图法”或“列表法”求解）．
（2）若把两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图②所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CH⊥AB于H，∠CAB＝30°.
(1)如图1，求证：AH＝3BH.
(2)如图2，点D为AB下方⊙O上一点，点E为AD上一点，若∠BOE＝∠CAD，连接BD，求证：OE＝BD．
(3)如图3，在(2)的条件下，连接CE，若CE⊥AD，OA＝14，求BD的长.
23．（8分）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．
24．（8分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A(3，0)，B(4，2)，函数（k≠0）的图象经过点C．
（1）求反比例的函数表达式：
（2）请判断平行四边形OABC对角线的交点是否在函数（k≠0）的图象上．
25．（10分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，她在地面上竖直立一根2米长的标杆CD，某一时刻测得其影长DE＝1.2米，此时旗杆AB在阳光下的投影BF＝4.8米，AB⊥BD，CD⊥BD．请你根据相关信息，求旗杆AB的高．
26．（10分）如图1,在矩形ABCD中AB=4, BC=8,点E、F是BC、AD上的点，且BE=DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形.
(2)如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长.
(3)如图2,在(2)的条件下，取AB、CD的中点G、H,连接DG、BH, DG分别交AE、CF于点M、Q, BH分别交AE、CF于点N、P,求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积。
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB的中点，得出AO为AB 的一半，故AO为AC的一半,选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得出OD与DE垂直，，选项④正确；由切线性质可判断②正确.
【详解】解：∵AB是圆的直径，∴，∴，选项①正确；
连接OD,如图，
∵D为BC的中点，O为AB的中点，∴DO为的中位线，
∴，
又∵，∴,∴,∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB=OD,
∴，
∵AB为圆的直径，∴
∵
∴
∴，选项②正确；
∴AD垂直平方BC，
∵AC=AB，2OA=AB
∴，选项③正确
故答案为：D.
本题考查的知识点主要是圆的切线的判定及其性质，圆周角定理及其推论，充分理解各知识点并能熟练运用是解题的关键.
2、D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，不符合题意；
守株待兔是随机事件，不符合题意；
明天是晴天是随机事件，不符合题意
在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件，D符合题意.
故选：D．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3、B
【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：，，，
，
，
，又，
，
，
，
，
，
，即，
解得，，
，
故选B．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4、D
【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S□ABCD=×b=1．
故选D．
5、D
【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.
【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，
∵A的坐标为(4,3)
∴OB=4，AB=3，
在Rt△AOB中，
∴
故选：D．
本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．
6、C
【解析】根据判别式的意义得△=12﹣1k≥0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得△=12﹣1k≥0，
解得k≤1．
故选C．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣1ac有如
下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程无实数根．
7、C
【分析】如过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、根据△AOF∽△CAE，△AOF≌△BCN，△ACE≌△BOM解决问题．
【详解】解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、
∵点A坐标（-2，1），点C纵坐标为4，
∴AF=1，FO=2，AE=3，
∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，
∴∠EAC=∠AOF，
∵∠E=∠AFO=90°，
∴△AEC∽△OFA，
，
∴点C坐标，
∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，
∴CN=2，BN=1，BM=MN-BN=3，BM=AE=3，，
∴点B坐标，
故选C．
本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质，添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
8、D
【分析】设箱中卡的总张数可能是x张，则绿卡有(x-3)张，根据抽到绿卡的概率稳定在75%附近，利用概率公式列方程求出x的值即可得答案.
【详解】设箱中卡的总张数可能是x张，
∵箱子中有3张红卡和若干张绿卡，
∴绿卡有(x-3)张，
∵抽到绿卡的概率稳定在75%附近，
∴，
解得：x=12，
∴箱中卡的总张数可能是12张，
故选：D.
本题考查等可能情形下概率的计算，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键.
9、B
【解析】试题分析：先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而对各选项作出判断：
∵当反比例函数经过第二、四象限时， a＜0，∴抛物线（b＞0）中a＜0，b＞0，
∴抛物线开口向下. 所以A选项错误.
∵当反比例函数经过第一、三象限时， a＞0，∴抛物线（b＞0）中a＞0，b＞0，
∴抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方. 所以B选项正确，C，D选项错误.
故选B．
考点：1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系；2.数形结合思想的应用．
10、C
【分析】先求出∠B的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可.
【详解】∵AB是⊙O的直径
∴
∵ ∠BAD=24°
∴
又 ∵
∴=66°
故答案为：C.
本题考查了圆周角定理的推论:①在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等；
②直径所对圆周角等于90°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、平行
【分析】由菱形的性质易求∠DBC＝∠FCG＝30°，进而证明BD∥CF；设BF交CE于点H，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出CH，然后求出DH以及点B到CD的距离和点G到CE的距离，最后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形ECGF是菱形，
∴AB∥CE，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝∠ECG＝60°，
∴∠DBC＝∠FCG＝30°，
∴BD∥CF；
如图，设BF交CE于点H，
∵CE∥GF，
∴△BCH∽△BGF，
∴＝，即＝，
解得：CH＝1.2，
∴DH＝CD﹣CH＝2﹣1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，∠ABC＝∠ECG＝60°，
∴点B到CD的距离为2×＝，点G到CE的距离为3×＝，
∴阴影部分的面积＝．
故答案为：平行；．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，求出DH的长度以及点B到CD的距离和点G到CE的距离是解题的关键．
12、
【分析】由正方形的边长为，，，得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，根据三角函数的定义和正方形的性质，即可得到答案．
【详解】∵正方形的边长为，，，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1=，B2C2==，
同理可得：B3C3= ，
以此类推：正方形的边长为：，
∴正方形的边长为：．
故答案是：．
本题主要考查正方形的性质和三角函数的定义综合，掌握用三角函数的定义解直角三角形，是解题的关键．
13、75°
【解析】已知在△ABC中°，cosA＝，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根据三角形的内角和定理可得∠C=75°.
14、
【分析】由已知条件可得出点P的纵坐标为4，则就等于点P的纵坐标与其横坐标的比值．
【详解】解：由题意可得，
∵，
∴点P的纵坐标为4，
∴就等于点P的纵坐标与其横坐标的比值，
∴．
故答案为：．
本题考查的知识点是正弦与正切的定义，熟记定义内容是解此题的关键．
15、（12，6）或（-12，-6）
【分析】根据平行四边形的性质、位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】以坐标原点O为位似中心，将▱OABC放大3倍，得到▱ODEF
∵点B的坐标为（4，2），且点B的对应点为点E
∴点E的坐标为（4×3，2×3）或（-4×3，-2×3）
即：（12，6）或（-12，-6）
故答案为：（12，6）或（-12，-6）．
本题考查了位似和平行四边形的知识；求解的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．
16、m≤1
【分析】先确定图像的对称轴x= ，当x>1时，y随x增大而增大，则≤1，然后列不等式并解答即可．
【详解】解：∵
∴对称轴为x=
∵当x>1时，y随x增大而增大
∴≤1即m≤1
故答案为m≤1．
本题考查二次函数的增减性，正确掌握二次函数得性质和解一元一次不等式方程是解答本题的关键．
17、x＝﹣1
【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【详解】解：将x移到等号右边得到：＝1﹣x，
两边平方，得
x+5＝1﹣2x+x2，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
检验：x＝4时，4+＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解，
当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．
18、a≥﹣3.
【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
【详解】解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3.
此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键
三、解答题(共66分)
19、（1）①，②；（2）的值为．
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；
②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；
（2）根据题意第二次锻炼的总距离这一等量关系，建立方程求解进而得出答案.
【详解】解：（1）①根据题意可得第二次锻炼步数为：，
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：；
（2）由题意，得.
解得（舍去），.
答：的值为.
本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．
20、（1）见解析；（2）EF＝.
【解析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；
（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．
【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，
∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴DE＝EF
（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝4，
∵CD＝1，
∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，
∵∠ABF＝∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
∴1+（3﹣EF）2＝EF2，
∴EF＝
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．
21、（1）；（2）①；②
【分析】（1）画出树状图计算即可；
（2）①三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，然后计算即可；②正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，计算即可；
【详解】（1）解：根据题意，可画出如下树形图：
从树形图可以看出，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种，
∴（两张都是“√”）
（2）解：①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，
∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为．
②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，
∴猜对反面也是“√”的概率为．
本题主要考查了概率的计算，准确理解题意是解题的关键．
22、 (1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BD=2.
【分析】(1)连接BC，根据直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半，可得：AB＝2BC，BC＝2 BH，可得结论；
(2)由(1)得AB＝2BC，AB＝2OA，得OA＝BC，利用ASA证明△OAE≌△BCD，可得结论；
(3) 过O作OM⊥AD于M，先证明∠OEA＝∠BAC＝30°，设OM＝x，则ME＝x，由△OAE≌△BCD，则∠DCE＝30°，设AM＝MD＝y，则AE＝y+x，DE＝y﹣x，根据AE＝2DE列等式得：y＝3x，根据勾股定理列方程可得x的值，可得：BD＝2OM＝2.
【详解】(1)证明：如图1，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，AB＝2BC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCH＝30°，
∴BC＝2BH，
∴AB＝4BH，
∴AH＝3BH，
(2)证明：连接BC、DC，
∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠BOE＝∠CAD，
∴∠BOE+∠CBD＝180°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴∠AOE＝∠CBD，
∵∠OAE，∠BCD是弧BD所对的圆周角
∴∠OAE＝∠BCD，
由(1)得AB＝2BC，AB＝2OA，
∴OA＝BC，
∴△OAE≌△BCD，
∴OE＝BD；
(3)解：过O作OM⊥AD于M，
∴AM＝MD，
∵AO＝OB，
∴BD＝2OM，
∵∠BOE＝∠CAD，∠BOE＝∠BAE+∠OEA，
∠CAD＝∠BAE+∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC＝30°，
设OM＝x，则ME＝x，
由(2)得：△OAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵∠ADC，∠ABC是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠DCE＝30°，
∴CD＝2DE，AE＝CD，
∴AE＝2DE，
设AM＝MD＝y，则AE＝y+x，DE＝y﹣x，
∴y+x＝2(y﹣x)，
y＝3x，
在Rt△OAM中，OA＝14，AM＝3x，OM＝x，
OM2+AM2＝OA2，
，
解得：x1＝，x2＝﹣(舍)，
∴OM＝，
∴BD＝2OM＝2.
本题主要考查圆的性质和三角形的性质的综合问题，添加合适的辅助线，综合应用直角三角形的性质和圆周角定理，垂径定理和圆内接四边形的性质，是解题的关键.
23、这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，
∴两次摸到卡片字母相同的概率为： ；
∴小明胜的概率为 ，小亮胜的概率为 ，
∵ ≠ ，
∴这个游戏对双方不公平.
故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.
本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.
24、（1）y＝；（2）平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝的图象上，见解析
【分析】（1）根据平行四边形性质结合点的坐标特征先求得点C的坐标，继而求得答案；
（2）根据平行四边形性质求得对角线交点的坐标，再判断.
【详解】（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），
∴CB＝OA＝3，
又CB∥x轴，B（4，2），
∴C（1，2），
∵点C（1，2）在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴k＝xy＝2，
∴反比例的函数表达式y＝；
（2）∵四边形OABC是平行四边形，
∴ 对角线的交点即为线段OB的中点，
∵O（0，0），B（4，2），
∴ 对角线的交点为（2，1），
∵21=2=k ，
∴平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝的图象上．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25、旗杆AB的高为8m．
【分析】证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AFB＝∠CED，
而∠ABF＝∠CDE＝90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，即，
∴AB＝8（m）．
答：旗杆AB的高为8m．
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
26、（1）见解析；（2）菱形AECF的边长为5；（3）距离为，面积为
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，又BE=DF，所以AF∥EC，AF=EC，从而可得四边形AECF为平行四边形；
（2）设菱形AECF的边长为x，依据菱形的性质可得AE=EC=x，BE=8－x，在Rt△ABE中运用勾股定理可求解；
（3）先由中位线的性质得出CH=2，OH=1.5，再证明△PQH∽△PCB，根据相似三角形的性质得出h的w的值，再求出四边形MNPQ的面积即可.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE=DF，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，AF=EC，
∴四边形AECF为平行四边形.
（2）解：设菱形AECF的边长为x，
∵四边形AECF为菱形，AB=4，BC=8，
∴AE=EC=x，BE=8－x，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2即x2=42+（8－x）2，
解得x=5，
∴菱形AECF的边长为5.
（3）连接GH交FC于点O，设点P到BC的距离为h，
∵G、H分别为AB、CD的中点，
∴OH是△CDF的中位线，CH=2，
∴△POH∽△PCB，
∵DF=8－5=3，
∴QH=1.5，
∴，解得h=，
由P到BC的距离可得N到BC的距离为，四边形NECP的面积为，菱形面积为5×4=20；
∴四边形MNPQ面积为=菱形AECF的面积-四边形NECP的面积×2=20-×2=
此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握对应关系是解此题的关键．
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