两类易混淆的函数问题对称性与周期性.doc

两类易混淆的函数问题：对称性与周期性

一、  函数自身的对称性探究（自对称）
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是：f (x) + f (2a－x) = 2b
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)  
推论1：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
推论2：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线的对称。
 二、不同函数对称性的探究（互对称）
定理3. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
定理4. 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线y = x 成轴对称。
三、 三角函数图像的对称性列表 
函  数
对称中心坐标
对称轴方程
y = sin x
( kπ, 0 )
x = kπ+π/2
y = cos x
( kπ+π/2 ,0 )
x = kπ
y = tan x
(kπ/2 ,0 )
无

四、周期性
 定理5：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+a）= f（x－a），那么y= f（x）是以2a为周期的周期函数。
 定理6：如果函数y= f（x）（x∈R）满足，那么y= f（x）是以为周期的周期函数。
五、对称与周期的综合
定理6 ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
六、应用举例
例1. 若函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t均有f（3+t）= f（1－t），那么（   ）
A. f（2）< f（1）< f（4）                B. f（1）< f（2）< f（4） 
C.f（2）< f（4）< f（1）                 D. f（4）< f（2）< f（1） 

例2、设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为 （ ）      A. 18      B. 12       C. 9        D. 0

 例3、 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）=－ f（x），给出下列四个结论：
①f（2）=0； ②f（x）是以4为周期的函数；
③f（x）的图像关于直线x=2对称；④f（x+2）=f（－ x）
其中所有正确命题的序号是___________。

例4、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（   ）
(A)是偶函数，也是周期函数        (B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数        (D)是奇函数，但不是周期函数

巩固练习
1、定义在实数集上的奇函数 恒满足 ，且 时, ,则 ________。
2、已知函数 满足 ，则 图象关于__________对称。
3、函数 与函数 的图象关于关于__________对称。
4、设函数 的定义域为R，且满足 ，则 的图象关于__________对称。
5、设函数 的定义域为R，且满足 ，则 的图象关于__________对称。 图象关于__________对称。
6、设 的定义域为R，且对任意 ，有 ，则 图象关于__________对称， 关于__________对称。
7、已知函数 对一切实数x满足 ，且方程 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）
A、5 B、10 C、15 D、18
8、设函数 的定义域为R，则下列命题中，①若 是偶函数，则 图象关于y轴对称；②若 是偶函数，则 图象关于直线 对称；③若 ，则函数 图象关于直线 对称；④ 与 图象关于直线 对称，其中正确命题序号为_______。
9、函数 定义域为R，且恒满足 和 ，当 时， ，求 解析式。
10、已知偶函数 定义域为R，且恒满足 ，若方程 在 上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间 中的根．
附参考答案：
： ： ： ：y轴即 ：①y轴②
：① ② ：C ：②④
：

：方程的根为 共9个根．

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