微分方程稳定性省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,微分方程稳定性理论,1.,一阶方程平衡点及稳定性,自治方程,：方程右端不显含自变量。例,平衡点,：方程右端函数 实根 ，或称为奇点，它也是自治方程解。,若存在某邻域，使得自治方程解,x,（,t,）从这个邻域内某,x(0),出发满足,则称平衡点 是,稳定,；不然称为,不稳定,。,稳定点判断方法：,直接法和间接法,。,间接法：,定义,第1页,例,7,本章第,2,节中,Logistic,模型,共有两个平衡点：,N,=0,和,N,=,K,，分别对应微分方程两两个特殊解。前者为,N,o,=0,时解而后者为,N,o,=,K,时解。,当,N,o,K,时，则位于,N,=,K,上方。从图,3,-,17,中不难看出，若,N,o,0,，积分曲线在,N,轴上投影曲线（称为轨线）将趋于,K,。这说明，平衡点,N,=0,和,N,=,K,有着极大区分。,图,3-17,定义,1,自治系统 相空间是指以（,x,1,x,n,）为坐标,空间,R,n,。,尤其，当,n,=2,时，称相空间为相平面。,空间,R,n,点集,(,x,1,x,n,)|,x,i,=,x,i,(,t,),满足,(3.28),，,i,=1,n,称为系统轨线，全部轨线在相空间分布图称为相图。,第2页,直接法：,考虑近似线性方程,则 也是上述方程平衡点。且关于稳定性有以下结论：,若,则 对于方程（,1,）和（,4,）都是稳定。,若,则 对于方程（,1,）和（,4,）都是不稳定。,Note:,方程（,4,）解为,2,.,二阶方程平衡点和稳定性,考虑,第3页,方程组,解：为自治方程（,6,）平衡点，记作：。,稳定性定义同一阶方程。下先用直接法讨论线性方程组：,记系数矩阵为,第4页,方程（,9,）惟一平衡点为,假定,A,行列式不为零，则,稳定性由（,9,）特征方程,特征根,决定，深入可将特征方程写为：,将特征根记为 则,于是方程（,9,）解为,第5页,结论：,1.,不可能为零。,2.,当 为负数或有负实部时 稳定。,3.,当 有一个为正数或有正实部时 不稳定。,p,q,平衡点类型,稳定性,120,q0,p24q,稳定结点,稳定,120,p0,p24q,不稳定结点,不稳定,102,q0,鞍点,不稳定,1=20,q0,p2=4q,稳定退化结点,稳定,1=20,p0,p2=4q,不稳定退化结点,不稳定,1,2=a,bi,a0,q0,p20,p0,p20,中心,不稳定,由特征方程决定平衡点类型和稳定性,第6页,判断准则：,1.,若,则平衡点稳定；若,则平衡点不稳定。,第7页,对于普通方程（,6,），将,f,g,在 处作,Taylor,展开，得近似方程：,系数矩阵为,特征方程系数为,稳定性由上表或准则给出。,第8页,结论：,若方程（,17,）特征根不为零或者实部不为零，则方程（,6,）稳定性与方程（,17,）稳定型相同，由准则判定。,Note:,1.,平衡点及稳定性概念只对自治方程有意义。,2.,在非临界状态下（,a,p,q,非零），线性方程与非线性方程稳定性一致，在临界状态下不一定。,3.,以上讨论为局部稳定性（在某邻域内），在线性方程中，局部与全局稳定性等价，非线性方程不等价。,第9页,