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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,高等院校非数学类本科数学课程,一元微积分学,大 学 数 学,（,一,）,第四讲 数列极限收敛准则、,无穷小量、极限运算,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第1页,第二章 数列极限与常数项级数,本章学习要求：,第2页,第二章 数列极限与常数项级数,第二节,数列极限收敛准则,第三节 数列极限运算,一、数列极限收敛准则,二、无穷小量与无穷大量,三、极限运算,四、施笃兹定理及其应用,第3页,1.单调收敛准则,单调降低有下界数列必有极限.,单调增加有上界数列必有极限.,一、数列极限收敛准则,通常说成：单调有界数列必有极限.,第4页,证,由中学牛顿二项式展开公式,例,1,第5页,类似地,有,第6页,第7页,又,等比数列求和,放大不等式,每个括号小于 1.,第8页,总而言之,数列,x,n,是单调增加且有上,界,由极限存在准则可知,该数列极限,存在,通常将它纪为,e,即,e,称为欧拉常数.,第9页,第10页,欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士,巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年,生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741,1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。,欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。,他寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与,他共同生活40年结发之妻先他10年逝世。,欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（17381772年）,曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理,数学会、巴黎科学院等科学团体组员。,第11页,欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未,出版论著。仅仅双目失明后 17 年间，还口述了几本书,和约400篇论文。欧拉是当前已知结果最多数学家。,欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学,士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲愿望，学,了一段时期神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研,究工作。,欧拉含有超人计算能力。法国天文学家、物理学家阿,拉哥（D.F.J.Arago，17861853）说：“欧拉计算一点也不,费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风翱翔一样。”,第12页,有一次，欧拉两个学生计算一个复杂收敛级数,和，加到第17 项时两人发觉在第 50 位数字相差一个单位。,为了确定终究谁对，欧拉专心算进行了全部运算，准确地,找出了错误。尤其是在他双目失明后，利专心算处理了使,牛顿头疼月球运动复杂分析运算。,欧拉创用,a,，,b,，,c,表示三角形三条边，用,A，B，C,表示对应三个角(1748)；创用,表示求和符号(1755)；,提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用,e,表示自然对数,底；还用,y,表示差分等等。,十八世纪四十年代，欧拉一些著作就已传到中国，,如他在1748年出版无穷分析引论。,第13页,2.数列极限夹逼定理,设数列,x,n,y,n,z,n,满足以下关系:,(2),则,(1),y,n,x,n,z,n,n,Z,+,(,或从某一项开始,);,想想：怎样证实夹逼定理?,第14页,第15页,解,因为,例,2,想得通吧？,第16页,解,例,3,第17页,夹逼定理,例,4,解,第18页,例,5,解,夹逼定理,请自己做!,第19页,有界数列主要性质,由任何有界数列必能选出收敛子数列.,定理,第20页,左端点组成单调增加数列,右端点组成单调降低数列,第21页,第22页,上面所用到方法归结起来称为“区间套定理”.,(区间套定理),定理,第23页,3.柯西收敛准则,满足此条件数列,称为“柯西列”.,柯西准则可写为:,第24页,证,由柯西收敛准则可知,该数列是发散.,例,6,第25页,证,由柯西收敛准则可知,该数列是收敛.,例,7,第26页,柯 西,A.L.Cauchy,(17891857),业绩永存,数学大师,第27页,柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通,古典文学律师，与当初法国大数学家拉格朗日和拉,普拉斯交往亲密。少年时代柯西数学才华就颇受这两,位大数学赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗,日提议下，其父亲加强了对柯西文学素质培养，使,得以后柯西在诗歌方面也表现出很高才华。,18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以,第一名成绩被巴黎桥梁公路学院录用，毕业时获该校,会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大,奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被,任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。,第28页,因为身体欠佳，接收拉格朗日和拉普拉斯劝说，放,弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上最大,贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立,了逻辑清楚分析体系。这是微积分发展史上一个重大,事件，也是柯西对人类科学发展所作巨大贡献。1821年,柯西提出了极限定义,方法，把极限过程用不等式刻划,出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说极限,定义或,定义。当今全部微积分教科书都还（最少在,本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对,定积分作了系统开创性工作。他把定积分定义为和,极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分存在,性。,第29页,他首先利用中值定理证实了微积分基本定理。经过柯,西以及以后维尔斯特拉斯艰辛工作，使数学分析基本,概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想,上混乱局面，并使微积分发展为当代数学最基础、最庞,大数学学科。,数学分析严谨化工作一开始就产生了很大影响。,在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普,拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和,未发表与级数相关论文和著作全部检验一遍，确认无,误为止。,第30页,柯西一生撰写数学论著有800各种。他是19 个科学院,或著名学术团体组员。1838年他还被授予男爵封号。他在,学术上贡献包括到分析学、复变函数论、弹性力学、微分,方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几,何、光学、天体力学等学科或学科分支。,柯西一生最大错误是“失落”了才华出众年轻数学家,伽罗华与阿贝尔开创性论文手稿，致使群论晚问世近半,个世纪。,1857年5月23日柯西病逝于巴黎。他临终遗言：,“,人总是要死，但他们业绩永存。,”,第31页,二、无穷小量与无穷大量,1.无穷小量,对数列极限描述,实际上,就是对整序变量,极限描述.,第32页,(1)无穷小量定义,简言之：,以零为极限量,为该极限过程中无穷小量.,无穷小量描述是变量改变趋势,不是指一个很小数.,第33页,无穷小量描述是变量改变趋势,不是指一个很小数.,例,8,第34页,(2)无穷小量运算性质,两个无穷小量商情况比较复杂,以后会专门,讨论.,(,推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,),第35页,证,其它性质可仿此进行证实.,第36页,几个问题,结 论,第37页,2.无穷大量,首先要注意到是,无穷大量与无穷小量一样,无穷大量不是指一个很大数,也是描述变量,改变趋势.,第38页,(1)无穷大量定义,定义无穷大量时,用是绝对值,去掉绝对值符号,则能够定义正无穷大量和负无穷大量.,去掉绝对值符号,会怎么样？,第39页,第40页,无穷大量描述是变量改变趋势,不是指一个很大数.,例,9,第41页,由无穷大量与无界量定义是否可得出:,无穷大量一定是无界量,反之,无界量一定是无穷大量?,无穷大量一定是无界量.,无界量不一定是无穷大量.,几个问题,考查例题,结 论,第42页,(2)无穷小量与无穷大量关系,无穷小量与无穷大量互为倒数关系？,分母不能为零,第43页,第44页,利用无穷小量与无穷大量关系,能够将一些无穷大量运算归结为相,应无穷小量运算,并可得到相关无,穷大量运算性质.,第45页,几个问题,结 论,第46页,考查例题,利用这里提供数列能够得出上面结论.,第47页,(3)无穷大量运算性质,请同学自己证实.,第48页,(1)无穷小量与极限关系,上述过程显然能够反推过去,于是就可得出,下面主要定理：,三、极限运算,定理怎么写？,第49页,定理,或写为,第50页,(2)数列(整序变量)极限运算,第51页,证,由无穷小量运算性质,可得到,其余证实由学生自己完成,第52页,解,因为两个无穷大量差不一定是无穷大,所以,进行变形处理：,例,10,第53页,部分分式法,例,11,解,第54页,几何平均值极限公式,例,12,解,第55页,例,13,解,第56页,类似该例做法,还能够得到以下结果:,第57页,例,14,解,除最大一个外,其余均取为零.,第58页,例,15,解,第59页,例,16,证,第60页,例,17,证,第61页,四、施笃兹(O.Stolz)定理及其应用,利用施笃兹定理计算数列极限,往往会使问题变得十分简单.,施笃兹定理:,第62页,解,由施笃兹定理,令,则,例,18,算术平均值,由此,利用对数函数可得出例12几何平均极限.,第63页,例,19,证,展开后得,第64页,算数平均值,算数平均值,第65页,剩下问题请同学自己处理。,第66页,
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