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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Dept.Math.&Sys.Sci.,应用数学教研室,高等数学分级教学A2班教学课件,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Dept.Math.&Sys.Sci.,应用数学教研室,高等数学分级教学A2班教学课件,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第十章 多元函数导数及其应用,10.1 多元函数极限与连续,10.2 偏导数与全微分,10.3 多元复合函数与隐函数偏导数,10.4 方向导数、梯度及泰勒公式,10.5 多元函数极值与条件极值,第1页,10.4 方向导数与梯度及泰勒公式,10.4.1 方向导数与梯度,内容小结与作业,10.4.2 方向导数与梯度性质及应用,10.4.3 黑塞矩阵与泰勒公式,第2页,10.4.1 方向导数与梯度,1.方向导数概念,偏导数反应是多元函数沿坐标轴方向改变率,.,对于二元函数 有,在几何上，它们分别表示平面曲线 及,在点 处切线斜率.,第3页,(,x,0,y,0,)处沿某指定方向改变率,.,下面我们来考虑二元函数 在点,定义,若函数,在点,处,沿方向,u,(方向角为,存在以下极限,:,记作,则称,为函数在点,P,处沿方向,u,方向导数,.,第4页,方向导数几何意义,表示曲线,C,在 点处切线斜率,.,尤其:,当,u,与,x,轴同向,当,u,与,x,轴反向,第5页,那么函数在该点沿任意方向向量,u,方向导数都存在，,设函数 在点 处可微，,定理10.4.1,且有,其中 为向量,u,方向余弦.,因函数 在点 处可微，则,证实,2.方向导数计算,第6页,这就证实了方向导数存在，且,普通地，当函数 可微时，有,且 所以,当自变量从点 沿,u,方向移动时，,第7页,三元函数 在点 沿方向,u,(方向角为 )方向导数定义为,定理10.4.1逆命题不成立.,f,(,x,y,)在原点沿任意方向方向导数存在,但不可微.,第8页,方向导数性质,第9页,例1.,求函数 在点 沿方向,方向导数.,解：,又 方向余弦为,故,第10页,例2.,设,是曲面,在点,P,(1,1,1)处,指向外侧法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,方向导数,.,在点,P,处沿,求函数,故,第11页,3.梯度向量定义,因为,新向量,G,第12页,一样可定义二元函数,在点,处梯度,说明:,函数方向导数为梯度在该方向上投影,.,称为函数,f,(,P,)在点,P,处梯度,(gradient),向量,记作,grad,f,或,f,即,nabla,第13页,例3.,求函数 在点 处梯度以及,函数在该点处沿方向 方向导数,.,解：,故,又,故,第14页,假如采取向量记号，我们轻易给出普通,n,元函数,方向导数与梯度定义.,设,f,(,x,)是,n,元函数(通常我们只考虑二元函数和三元,u,是,n,元向量,u,0,是,u,对应单位向量,函数情况)，,则,f,(,x,)在点,x,处沿,u,方向导数和梯度分别定义为,第15页,10.4.2 方向导数与梯度性质及应用,1.,函数最速上升方向与最速下降方向,定义10.4.1,设,f,(,x,)是,上连续函数，,d,是,n,维非零向量，假如存在,，使得对于一切,，恒有,则称,d,为函数,f,在,x,0,处,上升方向,;,恒有,假如对于,则称,d,为函数,f,在,x,0,处,下降方向,.,第16页,定理10.4.2,设,f,(,x,)在点,x,0,处可微,u,是一个,n,维非,零向量，假如,个上升方向；,一个下降方向,则,u,是,f,(,x,)在点,x,0,处一,假如,则,u,是,f,(,x,)在点,x,0,处,定理说明:方向导数符号决定函数升降.,第17页,结论1,梯度方向是函数值上升最快方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快方向(最速下降方向),沿梯度方向,方向导数到达最大值,问题：函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？,第18页,若函数 在点 处取最大值，则函数 沿任何,方向都不可能上升，于是由,定理10.4.2,知,尤其地,另首先,所以,即函数在最大值点 处梯度为零向量；,同理可,得函数在最小值点处梯度向量也为零向量.,结论2,函数在最大值点或最小值点处梯度为零向量,第19页,设 在 处取最大（小）值，则,即,类似地，若三元函数 在 处取最,大（小）值，则,第20页,例4.,设一座山高度由函数 给出,如,果登山者在山坡点 处，此时登山者往何方,向攀登时坡度最陡？,解：,坡度最陡方向为高度函数改变最快方向，即,求使高度函数在点 处方向导数最大方向 .,因,为梯度与 夹角,所以,最大,即沿梯度方向函数上升最快.,又因,所以在点 处沿向量 方向攀登时坡度最陡.,第21页,例5,求函数,在点(2,1)处,函数值下降最快方向,定理10.4.3,设,f,(,x,)是,上连续函数，,d,是,n,维非零向量，假如,则,d,是,f,(,x,)在点,x,0,处一个上升方向；假如,则,d,是,f,(,x,)在点,x,0,处一个下降方向.,d,与,f,(,x,0,)成锐角,d,与,f,(,x,0,)成钝角,解：,所以函数在点 处最速下降方向为,第22页,2.,梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面法线方向向量,设,f,(,x,)是,n,元可微函数,等值面,第23页,对于,n,=2 情形:,是函数,f,(,x,y,)过点(,x,0,y,0,)等值线,在该点处,它与等值线切线垂直.,在点(,x,0,y,0,)处一个法线方向向量.,等值线,n,=2,结论:,与等值面在点,x,0,处切平面垂直，所以,是等值面,S,在点,x,0,处一个法线方向向量,.,第24页,对于,n,=3 情形:,是函数,f,(,x,y,z,)等值面,在点(,x,0,y,0,z,0,)处一个,法线方向向量.在该点处,它与等值线切平面垂直,.,等值面,第25页,10.4.3 黑赛矩阵与泰勒公式,1.,黑赛矩阵,设,n,元函数,f,(,x,)在点,x,处对于自变量各分量二阶,连续，,偏导数,二阶导数,或黑塞矩阵,第26页,例6.,解：,计算函数 梯度与黑塞,矩阵,并求 以及,因,，则,又,则,所以,第27页,例7.,解：,设 皆为,n,维行向量，,b,为常数，求,n,维线性,函数 在任意点,x,处梯度和黑塞矩阵.,设,，于是,因,所以,第28页,当 时，二维线性函数,写成向量形式是,于是,第29页,例8.,解：,设,Q,为,n,阶对称矩阵，皆为,n,维行向量，,c,为,常数，求,n,维二次函数 在任意,点 处梯度和黑塞矩阵.,设,则,于是,第30页,又因,所以,第31页,写出二维二次函数,梯度和黑塞矩阵.,第32页,2.,泰勒公式,若函数 在点 某一邻域内含有一,阶连续偏导数,且 是这邻域内一点,则有近似公式：,假如要使这个函数有更高精度,先须讨论二元函数泰勒公式.,一元函数,泰勒公式,:,第33页,记号,(设下面包括偏导数连续),:,普通地,表示,表示,第34页,定理10.4.4,某一邻域内有直,到,n,+1 阶连续偏导数,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为,f,在点(,x,0,y,0,),n,阶泰勒公式,称为其,拉格,朗日型余项,.,第35页,证:,令,则,利用多元复合函数求导法则可得,:,第36页,普通地,由,麦克劳林公式,得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式,.,第37页,说明:,(1)余项预计式.,因,f,各,n,+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界,M,则有,第38页,(2)当,n,=0 时,得二元函数拉格朗日中值公式,:,(3)若函数,在区域,D,上两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,第39页,例9.,求函数,解:,三阶泰,勒公式.,所以,第40页,其中,第41页,解：,例10,设,f,(,x,y,z,)有连续偏导数,且,f,(0,0,0)=1,时,证实在球体,内,当,由泰勒公式,其中,介于 0 与,x,0 与,y,0 与,z,之间.故有,第42页,1.方向导数概念,2.梯度向量定义,内容小结与作业,第43页,3.方向导数与梯度向量关系,4黑赛矩阵,第44页,5.泰勒公式,作业P156-158,1,3,4,5,7,8,9,11,15,其中,第45页,备用题,函数,在点,处梯度,解:,则,注意,x,y,z,含有轮换对称性,(92考研),第46页,
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