微积分学-数列极限收敛准则专题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,高等院校非数学类本科数学课程,一元微积分学,大 学 数 学,（,一,）,第四讲 数列极限收敛准则、,无穷小量、极限运算,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第1页,第二章 数列极限与常数项级数,本章学习要求：,第2页,第二章 数列极限与常数项级数,第二节,数列极限收敛准则,第三节 数列极限运算,一、数列极限收敛准则,二、无穷小量与无穷大量,三、极限运算,四、施笃兹定理及其应用,第3页,1.单调收敛准则,单调降低有下界数列必有极限.,单调增加有上界数列必有极限.,一、数列极限收敛准则,通常说成：单调有界数列必有极限.,第4页,证,由中学牛顿二项式展开公式,例,1,第5页,类似地,有,第6页,第7页,又,等比数列求和,放大不等式,每个括号小于 1.,第8页,总而言之,数列,x,n,是单调增加且有上,界,由极限存在准则可知,该数列极限,存在,通常将它纪为,e,即,e,称为欧拉常数.,第9页,第10页,欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士,巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年,生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741,1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。,欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。,他寓所和财产曾被烈火烧尽1771年），与,他共同生活40年结发之妻先他10年逝世。,欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（17381772年）,曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理,数学会、巴黎科学院等科学团体组员。,第11页,欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未,出版论著。仅仅双目失明后 17 年间，还口述了几本书,和约400篇论文。欧拉是当前已知结果最多数学家。,欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学,士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲愿望，学,了一段时期神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研,究工作。,欧拉含有超人计算能力。法国天文学家、物理学家阿,拉哥D.F.J.Arago，17861853）说：“欧拉计算一点也不,费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风翱翔一样。”,第12页,有一次，欧拉两个学生计算一个复杂收敛级数,和，加到第17 项时两人发觉在第 50 位数字相差一个单位。,为了确定终究谁对，欧拉专心算进行了全部运算，准确地,找出了错误。尤其是在他双目失明后，利专心算处理了使,牛顿头疼月球运动复杂分析运算。,欧拉创用,a,，,b,，,c,表示三角形三条边，用,A，B，C,表示对应三个角(1748)；创用,表示求和符号(1755)；,提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用,e,表示自然对数,底；还用,y,表示差分等等。,十八世纪四十年代，欧拉一些著作就已传到中国，,如他在1748年出版无穷分析引论。,第13页,2.数列极限夹逼定理,设数列,x,n,y,n,z,n,满足以下关系:,(2),则,(1),y,n,x,n,z,n,n,Z,+,(,或从某一项开始,);,想想：怎样证实夹逼定理?,第14页,第15页,解,因为,例,2,想得通吧？,第16页,解,例,3,第17页,夹逼定理,例,4,解,第18页,例,5,解,夹逼定理,请自己做!,第19页,有界数列主要性质,由任何有界数列必能选出收敛子数列.,定理,第20页,左端点组成单调增加数列,右端点组成单调降低数列,第21页,第22页,上面所用到方法归结起来称为“区间套定理”.,(区间套定理),定理,第23页,3.柯西收敛准则,满足此条件数列,称为“柯西列”.,柯西准则可写为:,第24页,证,由柯西收敛准则可知,该数列是发散.,例,6,第25页,证,由柯西收敛准则可知,该数列是收敛.,例,7,第26页,柯 西,A.L.Cauchy,(17891857),业绩永存,数学大师,第27页,柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通,古典文学律师，与当初法国大数学家拉格朗日和拉,普拉斯交往亲密。少年时代柯西数学才华就颇受这两,位大数学赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗,日提议下，其父亲加强了对柯西文学素质培养，使,得以后柯西在诗歌方面也表现出很高才华。,18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以,第一名成绩被巴黎桥梁公路学院录用，毕业时获该校,会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大,奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被,任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。,第28页,因为身体欠佳，接收拉格朗日和拉普拉斯劝说，放,弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上最大,贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立,了逻辑清楚分析体系。这是微积分发展史上一个重大,事件，也是柯西对人类科学发展所作巨大贡献。1821年,柯西提出了极限定义,方法，把极限过程用不等式刻划,出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说极限定义或,定义。当今全部微积分教科书都还（最少在,本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对,定积分作了系统开创性工作。他把定积分定义为和,极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分存在,性。,第29页,他首先利用中值定理证实了微积分基本定理。经过柯,西以及以后维尔斯特拉斯艰辛工作，使数学分析基本,概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想,上混乱局面，并使微积分发展为当代数学最基础、最庞,大数学学科。,数学分析严谨化工作一开始就产生了很大影响。,在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普,拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和,未发表与级数相关论文和著作全部检验一遍，确认无,误为止。,第30页,柯西一生撰写数学论著有800各种。他是19 个科学院,或著名学术团体组员。1838年他还被授予男爵封号。他在,学术上贡献包括到分析学、复变函数论、弹性力学、微分,方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几,何、光学、天体力学等学科或学科分支。,柯西一生最大错误是“失落”了才华出众年轻数学家,伽罗华与阿贝尔开创性论文手稿，致使群论晚问世近半,个世纪。,1857年5月23日柯西病逝于巴黎。他临终遗言：,“,人总是要死，但他们业绩永存。,”,第31页,二、无穷小量与无穷大量,1.无穷小量,对数列极限描述,实际上,就是对整序变量,极限描述.,第32页,(1)无穷小量定义,简言之：,以零为极限量,为该极限过程中无穷小量.,无穷小量描述是变量改变趋势,不是指一个很小数.,第33页,无穷小量描述是变量改变趋势,不是指一个很小数.,例,8,第34页,(2)无穷小量运算性质,两个无穷小量商情况比较复杂,以后会专门,讨论.,(,推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,),第35页,证,其它性质可仿此进行证实.,第36页,几个问题,结 论,第37页,2.无穷大量,首先要注意到是,无穷大量与无穷小量一样,无穷大量不是指一个很大数,也是描述变量,改变趋势.,第38页,(1)无穷大量定义,定义无穷大量时,用是绝对值,去掉绝对值符号,则能够定义正无穷大量和负无穷大量.,去掉绝对值符号,会怎么样？,第39页,第40页,无穷大量描述是变量改变趋势,不是指一个很大数.,例,9,第41页,由无穷大量与无界量定义是否可得出:,无穷大量一定是无界量,反之,无界量一定是无穷大量?,无穷大量一定是无界量.,无界量不一定是无穷大量.,几个问题,考查例题,结 论,第42页,(2)无穷小量与无穷大量关系,无穷小量与无穷大量互为倒数关系？,分母不能为零,第43页,第44页,利用无穷小量与无穷大量关系,能够将一些无穷大量运算归结为相,应无穷小量运算,并可得到相关无,穷大量运算性质.,第45页,几个问题,结 论,第46页,考查例题,利用这里提供数列能够得出上面结论.,第47页,(3)无穷大量运算性质,请同学自己证实.,第48页,(1)无穷小量与极限关系,上述过程显然能够反推过去,于是就可得出,下面主要定理：,三、极限运算,定理怎么写？,第49页,定理,或写为,第50页,(2)数列(整序变量)极限运算,第51页,证,由无穷小量运算性质,可得到,其余证实由学生自己完成,第52页,解,因为两个无穷大量差不一定是无穷大,所以,进行变形处理：,例,10,第53页,部分分式法,例,11,解,第54页,几何平均值极限公式,例,12,解,第55页,例,13,解,第56页,类似该例做法,还能够得到以下结果:,第57页,例,14,解,除最大一个外,其余均取为零.,第58页,例,15,解,第59页,例,16,证,第60页,例,17,证,第61页,四、施笃兹(O.Stolz)定理及其应用,利用施笃兹定理计算数列极限,往往会使问题变得十分简单.,施笃兹定理:,第62页,解,由施笃兹定理,令,则,例,18,算术平均值,由此,利用对数函数可得出例12几何平均极限.,第63页,例,19,证,展开后得,第64页,算数平均值,算数平均值,第65页,剩下问题请同学自己处理。,第66页,