微分方程6-7-8省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,一、概念引入,解,受力分析,第六节 高阶线性微分方程,第1页,物体自由振动微分方程,强迫振动方程,串联电路振荡方程,第2页,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n,阶线性微分方程,第3页,二、线性微分方程解结构,1.二阶齐次方程解结构:,问题:,第4页,比如,线性无关,线性相关,第5页,尤其地:,比如,第6页,2.二阶非齐次线性方程解结构:,第7页,解叠加原理,第8页,第七节二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,特点,未知函数与其各阶导数线性组合等于0,即函数和其各阶导数只相差常数因子,猜测,有特解,第9页,有两个不相等实根,特征根为,两个线性无关特解,得齐次方程通解为,第10页,有两个相等实根,特征根为,一特解为,得齐次方程通解为,第11页,有一对共轭复根,特征根为,重新组合,得齐次方程通解为,第12页,由常系数齐次线性方程特征方程根确定其通解方法称为,特征方程法,.,方法步骤,写出特征方程,求出特征根,按特征根三种不一样情况依下表写出齐通解,特征根,齐通解,第13页,例1,求通解,解,特征方程为,特征根为,齐通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,第14页,例3,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例4,设圆柱形浮筒，直径为0.5 米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动周期为2 秒，求浮筒质量,第15页,解,设浮筒质量为,m,平衡时,圆柱浸入水中深度为,l,浮力,重力,设,t,时刻浮筒上升了,x,米,此时,浮力,重力,由Newton第二定律,第16页,记,第17页,三、,n,阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征方程根,通解中对应项,第18页,注意,n,次代数方程有,n,个根,而特征方程每一个根都对应着通解中一项,且每一项各含一个任意常数.,实重根,复单根,复重根,实单根,几个情况,每个根对应通解中一项,其写法与二阶方程情形完全类似,详细分为,第19页,例5,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例6,解,特征方程为,第20页,特征根为,故所求通解为,第21页,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点,：,怎样求特解？,方法,：,待定系数法.,自由项为,二阶常系数非齐次线性微分方程,第22页,一、型,设非齐方程特解为,代入原方程,第23页,综上讨论,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程（,k,是重根次数）.,第24页,尤其地,第25页,例1,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程,得,原方程通解为,第26页,求通解,解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例2,第27页,分别是,实部和虚部,可设,辅助方程,第28页,由分解定理,分别是以,为自由项非齐次线性微分方程特解,第29页,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程,例3,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,（取虚部）,原方程通解为,这种方法称为复数法,第30页,例4,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,第31页,所求非齐方程特解为,（取实部）,原方程通解为,注意,第32页,例6,求通解,解,对应齐方程,特征方程,齐通解,先求,特解,设,代入方程,再求,特解,第33页,考虑辅助方程,可设,代入方程得,取实部得,原方程特解,所求通解为,第34页,一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子8米，另一端离钉子12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需时间,下段重为,解,设时刻,t,链条下落了,x,米,另设链条单位长重为,则上段重为,由Newton第二定律,例8,第35页,特征方程,特征根,齐通解,特解,故,代入初始条件,解得,第36页,