微积分基础参考资料1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上海交通大学继续教育学院,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,1,微 积 分 基 础,使用教材：高等数学,(,经管类,),上册,21,世纪高职高专规划教材,主讲教师：王培康,e-mail:wangpeikang718,第1页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,2,第一章,函数极限与连续,第2页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,3,经济数学是以微积分作为关键内容。微积分是人,类二千多年来智力奋斗结晶，有着广泛而深刻应用，又是其它课程基础。,微积分起源主要来自两方面问题：,一是物理,学一些新问题，已知旅程对时间关系求速度及已,知速度对时间关系求旅程，二是几何学一些相当,老问题，作曲线切线和确定面积和体积等问题。,这些在古代就研究过，在,17,世纪早期开普勒、卡瓦列,里和许多其它数学家也研究过，不过这两类问题之间,显著关系发觉，处理这些问题普通方法形成，要归功于牛顿,(,Newton,，英,),和莱布尼兹,(,Leibniz,，德,),。,第3页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,4,牛顿和莱布尼兹超越前人功劳在于，他们能够站在更高角度，对于以往分散努力加以综合，将自古希腊以来求解无穷小问题各种技巧统一为两类普遍算法,微分和积分，而且确定了两类运算互逆关系，从而完成了微积分创造中最终、也是最关键一步，在,17,世纪后半叶建立了微积分。微积分发觉在科学史上含有决定性意义。,微积分是以变量与变量之间关系,(,即函数,),为研究对象，所用主要工具是极限。,本章先对以前学过相关函数内容作些复,习和小结，为以后各章学习作些必要准备。,第4页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,5,1.1,函 数,一、集合,把一定而且彼此能够明确识别事物,（这种事物能够是直观对象，也能够是思,维对象）放在一起，称为一个,集合,。,乔治,康托,（德国数学家、集合论创始人）,第5页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,6,两种惯用实数集合：区间与邻域,第6页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,7,.,。,区间用,不等式,表示：,x,-1,1,0,区间用,集合,表示：,x,0,第7页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,8,此区间称为,点,a,邻域,称为,点,a,去心邻域,称为,邻域半径,。,a,称为,邻域中心,若此邻域中不包含点,a,即,记为,记为,。,。,x,a,第8页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,9,二、,绝对值,第9页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,10,第10页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,11,x,-,自变量,y,-,因变量,定义,D,-,定义域,三、函数概念,-,值域,。,第11页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,12,例,:,x,y,函数图象,:,由,定平面点集,.(,普通为平面曲线,),所确,o,x,y,第12页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,13,函数定义域就是使得函数表示式有意义,组成函数基本要素：,定义域,及,对应法则,.,自变量一切可能取值组成集合,.,只要定义域及对应法则确定,则函数就唯一确定,至于自变量与因变量各用什么字母是不主要,.,第13页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,14,函数相等,：,例,1,：,判断以下函数是否为相等函数：,必须定义域及对应法则都相同。,(1),(,常值函数,),(2),(3),定义域不一样,对应关系不一样,三组函数均为不一样函数,第14页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,15,例,2,：,求以下函数定义域：,(2),(1),第15页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,16,函数表示法,:,公式法,图示法,表格法,.,公式法中,当自变量在定义域内不一样范围取值,时用不一样式子所表示函数,称为,分段函数,.,如,：,0,x,y,1,2,又如,:,某商店对某商品售价要求以下,:,购置量,不超出,5,千克时,每千克,0.8,元,购置量大于,5,千克,时,超出,5,千克部分优惠价每千克,0.6,元,.,若以,x,表示购置量,y,表示购置,x,千克费用,则,第16页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,17,解,:,第17页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,18,1.,有界性,不然称,无界,。,设,f,(,x,),定义域为,D,使对任一,则称,f,(,x,),在,D,上,有界,如：,=,M,为,D,上有界函数,。,无界。,有界。,o,x,y,1,2,若存在正数,M,四、函数几个特征,第18页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,19,第19页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,20,第20页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,21,2.,单调性,二者统称为,严格单调函数,I,为,严格单调区间,。,设,f,(,x,),定义域为,D,区间,对,I,上任二点,x,1,x,2,当,x,1,0,使对一切,第60页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,61,3.,数列极限,考查数列,.,1,.,0,.,.,.,.,.,.,.,.,当,n,无限增大时,x,n,与,0(,原点,),距离,无限变小,要多小就能多小,!,数,0,称为数列,第61页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,62,定义,:,第62页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,63,例：考查以下数列收敛是否,;,若收敛,求其极限,.,1,2,3,n,发散,收敛,发散,收敛,第63页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,64,4.,收敛数列性质,定理,1.,若数列,x,n,收敛,则其极限值唯一。,（,数列极限唯一性,）,定理,2.,若数列,x,n,收敛,则数列,x,n,有界,。,（,收敛数列有界性,）,注 意,此定理逆定理不成立,即,有界数列不一定收敛。,如,：,x,n,=(,1),n,+1,发散,但,有界,。,定理,3.,单调有界数列必收敛。,第64页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,65,？,？,(1),(2),二、函数极限,(1),(2),(1),(2),第65页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,66,考查函数,o,x,y,第66页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,67,定义,第67页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,68,对反正切函数,第68页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,69,指数函数,o,x,y,第69页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,70,正弦函数,第70页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,71,主要结论,第71页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,72,0,x,y,-1,1,2,4,当,x,无限趋近,1,时,f,(,x,),无限趋近于,4,即,x,与,1,距离,无限缩小时,f,(,x,),与,4,距离,也无限缩小,。,。,第72页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,73,定义,第73页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,74,显然,f,(,x,),在,x,=,x,0,处有没有定义与,f,(,x,),当,x,x,0,时有,无极限无关,.,第74页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,75,左极限与右极限统称为,单侧极限,。,主要结论,能够证实,还可证实,第75页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,76,例,：,解：,0,x,y,1,。,第76页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,77,例,：,0,x,y,1,。,第77页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,78,三、函数极限性质,1.,唯一性,2.(,局部,),有界性,3.(,局部,),保号性,且,A,0,第78页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,79,4.,迫敛性,假如,第79页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,80,1,、无穷小,四、无穷小与无穷大,定义：,若函数,f,(,x,),在自变量,x,某个改变过程,中以零为极限,则称在该改变过程中,f,(,x,),为,简称,无穷小,。,无穷小量,。,如,第80页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,81,说明：,(1),无穷小不是一个数,(,或一个很小数,),在自变量某一改变过程中,以零为极限,如,：,(2),0,是无穷小中唯一数,。,(3),讲到无穷小一定要和自变量改变过,程联络,在一起。不然会发生错误。,而是,变量,。,第81页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,82,推论,1.,有限个无穷小乘积是无穷小,.,无穷小性质,:,定理,1.,有限个无穷小和还是无穷小,.,注意,:,无限个无穷小之和不一定是无穷小,!,定理,2.,有界函数与无穷小乘积是无穷小,.,推论,2.,无穷小与有极限变量乘积是无穷小,.,第82页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,83,例,第83页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,84,无穷小与函数极限关系,定理,.,反之亦成立,.,注：,实际上在,时上述结论也成立,.,第84页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,85,无穷小比较,x,x,2,sin,x,当,x,0,时都为无穷小,两个无穷小之比极限各种不一样情况,反应了不一样无穷小趋向于零,“,快慢,”,程度,不一样,.,第85页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,86,定义：,高阶,无穷小,；,同阶,无穷小,；,等价,无穷小,。,第86页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,87,第87页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,88,定理,.(,等价无穷小代换定理）,同理,有,第88页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,89,一些主要等价无穷小：,第89页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,90,求以下函数极限：,第90页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,91,2,、无穷大,无穷大,(,量,),.,第91页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,92,(2),在,如,f,(,x,),为无穷大,则,是不存在,但为了方便,起见,称其极限为无穷大,记为,(3),说明：,(1),无穷大不是一个数,也是一个变量,是表,示变量一个越来越大趋势,.,第92页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,93,(4),当说,f,(,x,),是无穷大时,必须同时指出自变,量,x,改变过程,.,比如,第93页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,94,无穷大与无穷小关系,定理,2.,在自变量同一改变过程中,若,f,(,x,),为无穷大,若,f,(,x,),不为零且为无穷小,第94页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,95,1.3,极限四则运算法则与两个主要极限,第95页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,96,定理,1,若,lim,f,(,x,)=,A,lim,g,(,x,)=,B,存在,则,(1)lim,f,(,x,),g,(,x,),=lim,f,(,x,)lim,g,(,x,)=,A,B,.,(2)lim,f,(,x,),g,(,x,)=lim,f,(,x,)lim,g,(,x,)=,AB.,(,C,:,常数,),一、极限四则运算法则,第96页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,97,例,1.,解,第97页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,98,普通地,设多项式,同理,设有理分式函数,P,(,x,),Q,(,x,),均为多项式,第98页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,99,例,2.,当,Q,(,x,0,)=0,时,则需详细问题详细讨论,.,第99页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,100,例,3,.,第100页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,101,例,4,.,第101页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,102,用此性质可证实两个主要极限之一,2,、两个主要极限,函数极限迫敛性,假如,第102页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,103,主要极限,(1),证,作单位圆如图,AOD,=,x,x,显然,：,O,A,B,C,D,第103页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,104,主要极限,(1),x,O,A,B,C,D,证毕,第104页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,105,主要极限（,1,）,注意：,2.,主要极限,(,1),普通形式,第105页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,106,求以下极限：,=1.,=5.,第106页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,107,第107页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,108,数列极限性质,单调有界数列必有极限,.,用此性质能够证实以下主要极限,：,主要极限,(,2,),更普通,有以下主要极限,2,：,几个变形,：,1.,2.,第108页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,109,求以下极限：,第109页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,110,1,.,4,函数连续性与间断点,一、函数连续性,增量概念：,设变量,u,从它一个初值,u,1,变到,终值,u,2,则,u,2,u,1,叫做变量,u,增量,.,记作,u,.,即,u=u,2,u,1,注意：增量,u,可正可负也可为零,。,第110页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,111,设,y,=,f,(,x,),在,x,0,某个邻域内有定义,假如当自变量,x,在,x,0,处取得增量,x,变为,f,(,x,0,+,x,),则对应函数值从,f,(,x,0,),变为,x,0,+,x,时,称,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),为对应,即,y,=f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,).,函数增量,记为,y,第111页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,112,设,y,=,f,(,x,),在,x,0,某个邻域内有定义,定义,假如当自变量,x,在,x,0,增量,x,趋于零时,对应函数增量,y,=f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),也趋于零,那么就称,y,=,f,(,x,),在,x,0,点连续,.,点,x,0,称为,y,=,f,(,x,),连续点,.,即若,则,y,=,f,(,x,),在,x,0,点连续,.,第112页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,113,连续等,价定义,假如,y,=,f,(,x,),满足,(1),在点,x,0,某个邻域内有定义,则,y,=,f,(,x,),在,x,0,点连续,.,函数在一点连续三要素,第113页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,114,称,f,(,x,),在点,x,0,处,左连续,;,称,f,(,x,),在点,x,0,处,右连续,。,主要结论：,f,(,x,),在,x,0,点连续充要条件是,f,(,x,),在,x,0,点,既是左连续又是右连续,.,第114页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,115,如,f,(,x,),在,(,a,b,),内每一点都连续,则称,f,(,x,),为,(,a,b,),内连续函数,或称,f,(,x,),在,(,a,b,),内连续,.,如,f,(,x,),在,(,a,b,),内连续,且在,a,点右连续,在,b,点左连续,则称,f,(,x,),为,a,b,上连续函数,或称,f,(,x,),在,a,b,上连续,.,连续函数图形是一条连续而不间断曲线,.,易证有理整函数、有理分式函数在其定义域,内每一点都是连续,.,第115页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,116,哥尼斯堡七桥问题,普瑞格尔河从古城哥尼斯堡市中心流过，河中有,小岛两座，筑有七座古桥，如图。哥尼斯堡市人杰地,灵，市民普遍兴趣数学。,1736,年，该市一位市民向大,数学家欧拉提出以下问题：从家里出发，七座桥恰通,过一次，再回到家里，是否可能？,第116页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,117,x,y,0,例,1,：,在,x,=0,处,均为连续函数,；,=,f,(0),证,第117页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,118,讨论 在,x,=1,处,例,2:,解,=,f,(1),所以,f,(,x,),在,x,=1,处不是右连续,而只在,x,=1,处左连续。,。,使函数不连续点称为,间断点,。,左右连续性。,x,y,1,1,2,第118页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,119,解,而,第119页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,120,二、初等函数连续性,定理,2,：,设,f,(,x,),g,(,x,),在点,x,0,处连续,，,则,(1),f,(,x,),g,(,x,),在点,x,0,处也连续,；,(2),f,(,x,),g,(,x,),在点,x,0,处也连续,；,在点,x,0,处也连续,。,定理,1,：,基本初等函数在其定义域内是连续。,定理,3,：,连续函数复合函数是连续。,第120页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,121,例：,解：,第121页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,122,初等函数在其,定义区间,内都是连续。,定义区间：,指包含在定义域内区间。,1.,初等函数在其定义区间内任何一点极限值,2.,初等函数定义区间就是该函数连续区间,。,就是函数在该点函数值,。,定理,4,：,第122页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,123,例：,解,所以连续区间为,：,第123页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,124,三、函数间断点及其分类,设,f,(,x,),在点,x,0,某一去心邻域内有定义,(1),f,(,x,),在点,x,0,没有定义,;,(2),f,(,x,),在点,x,0,有定义,但,(3),f,(,x,),在点,x,0,有定义,且,则称,f,(,x,),在,x,0,处,不连续,。,在以前提下,如,f,(,x,),有以下三种情形之一,：,而点,x,0,称为,f,(,x,),不连续点,或,间断点,。,第124页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,125,例,1.,所以,x,=0,为间断点,。,=1,若令,f,(0)=1,则,x,=0,为,f,(,x,),连续点,。,例,2.,所以,x,=0,为间断点,。,若令,f,(0)=1,则,x,=0,为,f,(,x,),连续点,。,上述两例中间断点称为,可去间断点,。,因为,f,(,x,),在,x,=0,处无定义,第125页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,126,例,3.,所以,x,=0,是其间断点,。,因为间断点处左、右极限存在,则称间断点,x,=0,为,跳跃间断点,。,第126页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,127,例,4.,f,(,x,),在,x,=0,处无定义,间断点,：,x,=0.,考查极限,则称间断点,x,=0,为,无穷间断点,。,x,y,0,第127页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,128,例,5.,间断点,：,x,=0.,不存在,且在,x,=0,附最近回振荡,则称间断点,x,=0,为,振荡间断点,。,x,y,第128页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,129,由以上讨论,可将间断点分为两类,:,1.,则称,x,0,为,第一类,间断点,；,2.,不是第一类间断点称为,第二类,间断点。,如,：,可去,、,跳跃,间断点,。,如,：,无穷,、,振荡,间断点,。,设,x,0,是,f,(,x,),间断点,第129页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,130,解,间断点,：,x,=1,x,=2,所以,x,=1,是第一类可去间断点,第130页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,131,解,间断点,：,x,=1,x,=2,所以,x,=2,是第二类间断点,.,第131页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,132,设,f,(,x,),在区间,I,上有定义,最大值和最小值概念,则称,是函数,f,(,x,),在区间,I,上最大值,(,最小值,),。,四、闭区间上连续函数性质,第132页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,133,（最大值最小值定理）,定理,1,：,在闭区间上连续函数在该区间上最少能,取到最大值和最小值各一次。,即,:,若,f,(,x,),在,a,b,上连续,则必最少存在两点,m,=,=,M,(,最小值,),(,最大值,),a,b,x,y,第133页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,134,说明：,闭区间,连续函数,缺一不可。,若不是闭区间,如,：,y,=,x,在,(0,1),内连续,0,1,。,。,无最小值,无最大值,若,f,(,x,),不连续,如,：,1,1,2,。,。,.,也无最大、,最小值。,定理中两条件,：,x,y,x,y,0,第134页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,135,定理,2,：,(,零点定理,),且,f,(,a,),与,f,(,b,),异号,(,即,f,(,a,),f,(,b,)0),则最少存在一点,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,a,b,f,(,a,),f,(,b,),结论又可表示为：,方程,f,(,x,)=0,在,(,a,b,),内最少有一个实根,。,x,y,0,x,y,0,a,b,第135页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,136,定理,3(,介值定理,),证,则其在,a,b,上连续,因为,C,在,A,、,B,之间,所以,(,a,),(,b,)0,由零点定理,最少存在一点,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,且,f,(,a,)=,A,f,(,b,)=,B,A,B,则对于,A,、,B,之间任一数,C,最少存在,一点,使得,第136页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,137,a,b,A,B,C,.,推论：,在闭区间上连续函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间任何值。,x,y,第137页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,138,例,:,证实方程,证,由零点定理,最少存在一点,得证。,第138页,2025年6月4日,上海交通大学继续教育学院,139,任给一张面积为,A,纸片,(,如图,),证实必可将它,趣味题,一刀剪为面积相等两片,.(,沿直线剪,),提醒,:,建立坐标系如图,.,则面积函数,因,故由介值定理可知,第139页,