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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,1/38,1,第二节 解析函数充要条件,用函数解析定义判断函数解析性,往往比较困难；要判别一个函数在某,个区域内,是否解析,，关键在于判别函,数在此区域内,是否可导,。不过，要判,别一个函数可不可导，而且求出导数，,只依据导数定义，这往往是很困难,.所以，需要寻找一个简单方法.,2/38,2,函数可导充要条件,定理,设,f,(,z,),=u,(,x,y,),+,i,v,(,x,y,)在区域,D,内有定,义，则,f,(,z,)在,D,内一点,z=x+,i,y,可导充,要条件是:,u,(,x,y,)与,v,(,x,y,)在点(,x,y,)可微，,且满足柯西黎曼方程(CR方程).,3/38,3,证实,必要性,设,f,(,z,)在,D,内一点,z=x+,i,y,可导，则,其中,(,z,)0(,z,0).变形得,4/38,4,5/38,5,6/38,6,7/38,7,由二元函数可微定义知,u,(,x,y,)与,v,(,x,y,),在点(,x,y,)可微，且满足方程,即满足柯西黎曼方程.,充分性,因为,u,(,x,y,)与,v,(,x,y,)在点(,x,y,)可微,8/38,8,其中,1,2,3,4,当,x,0,y,0,时趋于零.,9/38,9,将,C,R,方程代入上式,上式两边同除,z,得,10/38,10,因为,z,0,时，上式最终两项趋于零.,推论,若,u,(,x,y,)与,v,(,x,y,)在点(,x,y,)偏导,数连续且满足CR方程，则,f,(,z,)可导.,11/38,11,函数解析充要条件,定理,函数,f,(,z,),=u,(,x,y,),+,i,v,(,x,y,)在区域,D,内解析充要条件是:,u,(,x,y,)与,v,(,x,y,),在,D,内可微，且满足CR方程,依据函数在区域内解析定义和函数可,导定理，可得判断函数在区域,D,内解析,一个充要条件.,12/38,12,若,f,(,z,)在区域,D,内不满足CR方程，则,f,(,z,)在区域,D,内不解析；,若,f,(,z,)在区域,D,内满足CR方程，而且,u,与,v,含有一阶连续偏导数(因而,u,与,v,在区,域,D,内可微)，则,f,(,z,)在区域,D,内解析.,例题,例,判别以下函数解析性.,13/38,13,即使它们均为连续函数,但不满足CR,方程，所以,在复平面内处处不可,导，处处不解析.,解,(1),则,u,(,x,y,)=,x,v,(,x,y,)=,y,14/38,14,因为上面四个偏导数都是连续，但仅,当,x,=,y,=0时满足CR方程，所以函数仅,在,z,=0 处可导，在复平面处处不解析.,15/38,15,因为上面四个偏导数连续，所以在复平,面内处处可导，处处解析，其导数:,16/38,16,例,求,a,b,c,d,使,f,(,z,)在复平面内处处解析.,解,因为,17/38,17,例,18/38,18,小结,f,(,z,)=,u,+i,v,在区域,D,内解析判定,求出,u,与,v,一阶偏导数,判别它们在,D,内是否连续且满足CR方程;若是,则,f,(,z,)在,D,内是解析函数.,若,f,(,z,)除变量外,形式上与实函数相同,(不含复数专用记号),能够直接求导.,若在,D,内导数处处存在，则在,D,内解析.,19/38,19,第三节 初等函数,本节将把实变函数中一些惯用初等,函数推广到复变量初等函数，研究这,些初等函数性质和它们解析性,.,指数函数,设复数,z=x+,i,y,，则定义指数函数为,20/38,20,指数函数有以下性质：,w,=e,z,在整个复平面上解析,且(e,z,),=,e,z,.,模与辐角,乘法,w,=,e,z,是以2,k,i,为周期函数.,21/38,21,对数函数,对数函数是指数函数反函数.若,e,w,=,z,(,z,0),则称复数,w,为复数,z,对数函数,记为,w,=,L,n,z,对数函数,主值与分支,设,w=u+iv,把它代入 e,w,=,z=r,e,i,有,22/38,22,因为,u,=ln|,z,|,，,v,=,i Arg,z,所以,w,=Ln,z,=ln|,z,|+i Arg,z,=ln|,z,|+,i arg,z,+,2,k,i,结论,对数函数,w,=Ln,z,是一个多值函数，,而且每两个值之间相差2,i,整数倍.,若记,ln,z,=ln|,z,|+i arg,z,则有,Ln,z,=ln,z,+2,k,i,(,k,为任意整数),称 ln,z,为Ln,z,主值,.对于每一个,k,，上,式为一,单值函数,，称为Ln,z,一个分支.,当,z=x,0时，Ln,z,主值 ln,z,=ln,x.,23/38,23,例,求Ln 2，Ln(1)值及其主值.,解,Ln2=ln2+2,k,i,(,k,为整数),主值为ln2.,Ln(1)=ln|,1|+,i,Arg(,1),=,i,+,2,k,i,(,k,为整数),主值为 ln(,1)=,i,.,在实变函数中，负数没有对数，而在复,数范围内，,负数有对数,，而且正实数,对数也是无穷多值.,24/38,24,对数函数性质,不难证实，复变数对数函数保持了实变,数对数函数基本性质.,运算性质,上面两个等式应了解为两端可能取函,数值全体是相同，也就是说，对于,一端任一值，另端必有一值和它相等.,25/38,25,对数函数解析性,对数函数主值ln,z,，包含两个部分,ln,z,=ln|,z,|+i arg,z,ln|,z,|除原点外处处连续.,对于arg,z,，设,z=x+,i,y,则当,x,0时，有,所以，arg,z,在原点与负实轴上都不连续，,于是ln,z,在除去原点与负实轴复平面上,连续.,26/38,26,因为,z,=e,w,在区域,arg,z,0，有,x,a,=e,a,ln,x,.,推广到复数情形，对于复数,当,z,0,时，定义,w,=,z,=e,Ln,z,为复数,z,幂函数,.,因为Ln,z,是多值函数，所以,w,=,z,普通,来说也是多值函数.,28/38,28,当,=,n,（,n,是正整数）时，,w,=,z,n,为复,平面内单值解析函数，它就是,z n,次,乘方,幂函数几个常见形式,当,=,n,（,n,是正整数）时，,w,=,z,n,为复,平面内除原点外单值解析函数.,29/38,29,当,=0,时，,w,=,z,0,=,e,0 Ln,z,=1.,当 （,n,是正整数）时 ，,在,k,=0,1,2,n,-1时取,n,个不一样值，它就,是,z n,次根.,当,为有理数 （,p,与,q,为互质整数，,q,0）时,有,q,个互异值.,当,为无理数或复数时，,z,是无穷多值.,30/38,30,普通幂函数函数解析性,由定义,w,=,z,=e,Ln,z,(,z,0,不是整数),在除去原点及负实轴复平面上是解析，而且其导数为,31/38,31,例,求 和 i,i,值.,解,其中,k,为整数.,32/38,32,三角函数,当,y,为实数时，由欧拉公式有,定义,复变数,z,正弦函数与余弦函数为,33/38,33,正弦函数与余弦函数性质,函数sin,z,cos,z,在整个复平面上解析，,而且,sin,z,cos,z,都是以2为周期周期函数.,sin,z,是奇函数，cos,z,是偶函数.,实变数各种三角函数公式依然成立.,对任意复数,z,公式e,i,z,=cos,z,+isin,z,成立.,34/38,34,sin,z,cos,z,在复数域内是无界函数.,比如，取,z=,i,y,(,y,0),，则有,伴随,y,，|cos i,y,|,也无限增大.,其它复变数三角函数定义以下,35/38,35,反三角函数,（略）,双曲函数,36/38,36,双曲函数是单值且以虚数2,i为周期周期函数.sh,z,为奇函数,ch,z,为偶函数，而且均在复平面内解析，且,反双曲函数,（略）,37/38,37,38/38,38,
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