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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,多元函数微分学,Calculus of Functions,of Several Variables,多元微分几何应用,第1页,1,5 多元微分在几何上应用,一、空间曲线切线,(,Tangent Line,),与法平面,（,Normal Plane,）,1.,曲线参数方程,空间直线参数方程,若记,直线又可记为,第2页,2,普通地，空间曲线,为一连续映射 象：,它可表示为向量式：,第3页,3,2.,空间曲线切线和法平面,设空间曲线,在 上可导,设 为其上一点，,空间曲线,在 点处,切线,方程：,即,则在 点切向量,第4页,4,请看切向量形成,第5页,5,对称式,向量式,参数式,光滑或分段光滑空间曲线在其上任一点,些法线共面。,此平面称作曲线 在,点处,法平面,。,第6页,6,空间曲线在点 处,法平面,方程：,点法式,:,由以上可见，求空间曲线 上一点 处,切线和法平面，,关键,在确定：,一点,在 点切向量,即,第7页,7,下怎样求出切向量,曲线 为参数式：,曲线,为两柱面交面式：,问题,难点,在曲线,所给形式不一样情况,第8页,8,依据多元隐函数求导法,曲线 为普通曲面交面式：,第9页,9,例1,求曲线,在点 处切线与法平面方程。,解,为求曲线在 切向量，因,第10页,10,所以曲线在 点切向量,于是在 点切线方程为：,第11页,11,而曲线在 点法平面为：,即,1.,曲面参数方程,二、空间曲面切平面与法线,例3,圆柱面参数方程,第12页,12,所以圆柱面参数方程,或,第13页,13,例4,球面参数方程,标准球面直角坐标方程,以下来推导该球面参数方程，如图,球面上任一点 向径：,第14页,14,于是得半径为,R,球面参数方程：,第15页,15,须注意：,交线(,纬线,)，,得球面,曲线,：,而当固定,一族圆,为锥面与球面,第16页,16,得球面,曲线,：,圆是球面与射面 交线(,经线,)。,例4,正螺面参数方程。,或,一族以球心为圆心大,第17页,17,到一条,曲线,：,曲面参数方程普通形式：,成曲面,S,上,参数曲线网,，,全部这么 曲线和 曲线构,而影射 将,平面上区域,D,变成 中曲面,S,.,一样，,一条,曲线,：,第18页,18,2.,曲面切平面与法线,第19页,19,第20页,20,这说明 是个确定了方向向量,且,为曲面在该点切平面法向量。,切平面,由,第21页,21,过 点，,方向为 直线。,法线,第22页,切平面方程,(,点法式,),法线方程,(,对称式,),切平面和法线，,关键,在确定：,由以上可见，要求空间曲面,S,上一点 处,第23页,23,曲面上一点,曲面在 点法向量,问题,难点,在曲面,S,所给形式不一样情况,下怎样求出法向量,曲面,S,为参数式：,第24页,24,曲面,S,为隐函数方程：,能够视 为参数，参数式为,第25页,25,曲面,S,为显函数,：,由情况 切平面方程：,第26页,26,试比较：,全微分几何意义,第27页,27,二元函数全微分几何意义,第28页,28,例5,求正螺面,处切平面和法线方程.,解,先求出在已知点处曲面法向量,曲面点为,第29页,29,故正螺面在该点处切平面和法线方程,分别为：,例6,第30页,30,解,下面用,条件极值,法求切点(,x,y,z,),记:点到,设,Lagrange,函数为,第31页,31,代入第(4)个方程,第32页,32,(1)所求切平面有两个,即,(2)最远点,最近点,第33页,33,作业,（5月17日）,P.101,-习题5.6,(A)-N.1(3),2,3,6,10(4),11,*,;,N.1721.,选,(B)N.1,3,4,.,第34页,34,三、曲率,(,Curvature,),通常曲线参数方程表示为：,曲线参数方程还有一个以其弧长,s,为,自然参数向量表示法：,三阶导数，且,简单地讲，曲率是描述曲线上各点,弯曲程度一个数量值。,以下讨论曲线曲率，总假设,r,有连续,第35页,35,度弧 两端点处切线夹角因弯曲程度,试问以下两个圆，哪个圆弯曲程度更大？,经研究发觉，对曲线上不一样处，一样长,不一样而不一样，如对上面两个圆，有,或,第36页,36,定义(,曲率,),对以弧长,s,为自然参数空间,曲线,：,上各点处曲率,定义为,以下分析大家将了解 关系，,同时将会认识到曲线以弧长,s,为自然参数,好处。,第37页,37,命题,设,上,单位向量,值,函数,又设,则,证,因,都可视为单位向量,所以,如图,向量,第38页,38,所以对任意固定,Q,故,定理,7.1,设空间曲线,:,为自然参数,则 曲率为,第39页,39,证,设,一致,单位切向量,则由上述命题,等于,1,(命题),(,证完,),推论,第40页,40,证,因,利用,及,P.82,-,习题5.5(A).N.4,故,因而,将 结果代入上式,单位切向量,第41页,41,=0,即,其中还用到,第42页,42,对平面曲线,若以,x,为参数，对应曲率公式为,请看书,上,例7.2,至,例7.4,。,第43页,43,平面曲线,上一点P处,曲率半径,平面曲线曲率半径和曲率圆(,亲密圆,),平面曲线,上一点P处,曲率圆,圆心,Q,在,上P点处凹向一侧法线上，以曲率,半径 为半径，且过P点圆。,（见图）,圆心,Q,又称为,曲率中心,。,第44页,44,第45页,45,作业,（5月19日）,P.120,-习题5.7 N.8(,双,),N.9,第46页,46,
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