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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第七节 傅里叶级数,二、函数展开成傅里叶级数,三,、,正弦级数或余弦级数,一、三角级数,三角函数系正交性,第1页,一.三角级数 三角函数系正交性,在高等数学学习当中，接触两类,基函数,：,函数在,一点,性质,周期函数,(整体性质),Fourier级数,三角级数 表示周期函数,第2页,谐波分析,称为三角级数.,简单周期运动,:,复杂周期运动,:,得级数,(一)三角级数 表示周期函数,第3页,1757年,法国数学家,克莱罗,在研究太阳引发摄动时,大胆地采取了三角级数表示函数:,1759年,拉格朗日,在对声学研究中使用了三角级数.,1777年,欧拉,在天文学研究中,用三角函数正交性,得到了将函数表示成三角函数时系数.,也就是现今教科书中傅立叶级数系数,.,第4页,在历史上,三角级数,出现和发展与求解微分方程,1753,年.丹,贝努利,首先提出将弦振动方程解表示为,是分不开.,三角级数形式,这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它发展.,1822年,傅立叶,在 热解析理论 一书中,对于欧拉和贝努利等人就一些孤立,特殊情形,采取三角级数方法进行加工处理,发展成普通理论,.,傅立叶,指出:,能够展开成级数,第5页,其中,第6页,证:,同理可证:,正交,上积分等于 0.,即其中,任意两个不一样,函数之积在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二)、三角函数系正交性,第7页,上积分不等于 0.,且有,不过在三角函数系中两个,相同,函数乘积在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,二、函数展开成傅里叶级数,问题:,2.,展开条件是什么?,且能展开成三角级数,第9页,(利用正交性),第10页,(利用正交性),第11页,傅里叶系数,第12页,代入傅里叶系数三角级数称为,傅里叶级数,问题:,在什么条件下函数能够展开成傅里叶级数?,狄利克雷,于1829年第一次对于傅立叶级数收敛性,给出了严格证实.,得到了现今教科书中所谓狄利克雷判定准则,.,第13页,定理,(收敛定理,展开定理),设,f,(,x,)是周期为2,周期函数,并满足,狄利克雷,(Dirichlet),条件,:,1),在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2),在一个周期内只有有限个极值点,则,f,(,x,)傅,里,叶级数收敛,且有,x,为间断点,其中,(,证实略,),为,f,(,x,),傅,里,叶系数,.,x,为连续点,注意:,函数展成傅,里,叶级数条件比展成幂级数条件低得多.,介绍 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,则有,则有,有,既,第15页,例1.,设,f,(,x,)是,周期为 2,周期函数,它在,上表示式为,解:,先求傅,里,叶系数,将,f,(,x,)展成傅,里,叶级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,1),依据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数部分和迫近,说明,:,f,(,x,)情况见右图.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,不一样频率,正弦波,逐一叠加成,方波,物理意义,第19页,第20页,第21页,第22页,第23页,第24页,傅里叶级数展开式意义函数整体迫近.,第25页,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,例2,第26页,第27页,第28页,非周期函数展开成傅里叶级数,而且满足收敛定理条件，,可利用周期,延拓,展开成傅里叶级数，,第29页,周期延拓,傅,里,叶展开,上傅,里,叶级数,定义在,上函数,f,(,x,)傅氏级数展开法,其它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第30页,例3.,将函数,级数,.,则,解:,将,f,(,x,)延拓成以,展成傅,里,叶,2,为,周期,函数,F(x,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第32页,物理意义,不一样频率,余弦波,逐一叠加成,锯齿波,第33页,利用此傅氏展开式求,几个,特殊级数和,第34页,第35页,例4,.,将函数,展成傅里叶级数,其,中,E,为正常数.,解:,延拓成以2,为周期,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第36页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第37页,例5,解,第38页,三、正弦级数或余弦级数1.,奇函数与偶函数傅里叶级数,第39页,证,奇函数,同理可证,(2),偶函数,证毕,第40页,定义,第41页,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,例,第42页,和函数图象,第43页,第44页,观察两函数图形,第45页,2.在0,上函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓,F,(,x,),f,(,x,)在 0,上展成,周期延拓,F,(,x,),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f,(,x,)在 0,上展成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第46页,例1.,将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,解:,先求正弦级数.,去掉端点,将,f,(,x,)作,奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第47页,注意:,在端点,x,=0,级数和为0,与给定函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以得,f,(,x,)=,x,+1 值不一样.,第48页,第49页,再求余弦级数.,将,则有,作,偶周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第50页,说明:,令,x,=0,可得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第51页,第52页,内容小结,1.周期为 2,函数傅,里,叶级数及收敛定理,其中,注意:,若,为间断点,则级数收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第53页,2.周期为 2,奇、偶函数傅,里,叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3.在 0,上函数傅,里,叶展开法,作奇周期延拓,展开为正弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,1.,在 0,上函数傅,里,叶展开法唯一吗?,答:,不唯一,延拓方式不一样级数就不一样.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思索与练习,第54页,傅里叶,(1768 1830),法国数学家.,他著作热解析,理论(1822)是数学史上一部经典性,书中系统利用了三角级数和,三角积分,他学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分,.,最卓越工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来,文件,他深信数学是处理实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术发展,都产生了深远影响.,第55页,狄利克雷,(18 05 1859),德国数学家.,对数论,数学分析和,数学物理有突出贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法数学家.,函数,f,(,x,)傅里叶级数收敛第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项次序不影响级数和,举例说明条件收敛级数不含有这么性质.,他主要,创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集(1889,一,1897)中.,1829年他得到了给定,证实,第56页,
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