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,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,首 页,上 页,下 页,退 出,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第四章 机械振动,4.1,简谐振动动力学特征,4.2,简谐振动运动学,4.3,简谐振动能量,4.4,简谐振动合成,*,振动频谱分析,4.5,阻尼振动 受迫振动 共振,*,4.6,非线性振动介绍,第1页,振动是自然界中最普遍一个运动形式。物体在平衡位置附近做往复周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性改变，称为电磁振动或电磁振荡。,普通地说，任何一个物理量值不停地经过极大值和极小值而改变现象，称为振动。,即使各种振动详细物理机制可能不一样，不过作为振动这种运动形式，它们却含有共同特征。,本章主要讨论简谐振动和振动合成，并简明介绍阻尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。,第2页,简谐振动：,一个作往复运动物体，假如其偏离平衡位置位移,x,（,或角位移,）随时间,t,按余弦（或正弦）规律改变振动。,简谐振动运动学定义,x,能够是位移、电流、场强、温度,4.1,简谐振动动力学特征,第3页,一、弹簧振子模型,弹簧振子：,弹簧,物体系统,平衡位置：,弹簧处于自然状态稳定位置,轻,弹簧,质量忽略不计，形变满足胡克定律,物体,可看作质点,简谐振动判据,受力,微分方程,令,第4页,单摆,结论：,单摆小角度摆动振动是简谐振动。,当 时,二、微振动简谐近似,摆球对,C,点力矩,令,角频率，振动周期分别为：,第5页,复摆：,绕不过质心水平固定轴转动刚体,结论：,复摆小角度摆动振动是简谐振动。,当 时,令,角频率，振动周期分别为：,例,4.1,证实竖直弹簧振子振动是简谐振动（自学）,第6页,其通解为：,一、简谐振动运动学方程,简谐振动微分方程,简谐振动运动学方程,令,4.2,简谐振动运动学,第7页,二、,描述简谐振动特征量,1、振幅,A,简谐振动物体离开平衡位置最大位移（或角位移）绝对值。,若已知初始条件,由初始条件和系统本身情况决定,第8页,频率,：,单位时间内振动次数。,2、,周期,、,频率、圆频率,对弹簧振子,角频率,固有周期、固有频率、固有角频率,周期,T：,物体完成一次全振动所需时间。,第9页,2、,周期,、,频率、圆频率,对弹簧振子,固有周期、固有频率、固有角频率,单摆,复摆,第10页,0,是,t,=0,时刻位相,初位相,3、,位相和初位相,位相，,决定谐振动物体运动状态,由初始条件和系统本身情况决定,第11页,位相差,两振动位相之差。,当,=2,k,k,=,0,1,2,两振动步调相同,称,同相,当,=,(2,k,+1),k,=0,1,2,.,两振动步调相反,称,反相,2,超前于,1,或,1,滞后于,2,位相差反应了两个振动不一样程度参差错落,第12页,三、简谐振动,旋转矢量表示法,0,t=0,x,t+,0,t=t,o,x,第13页,旋转矢量,确,定,和研究振动合成很方便,x,v,0,0,0,x,0,A/,2,比如，已知,x,参考圆,(circle of reference),0,A,A,0,t+,o,x,t,t=,0,x,=A,cos(,t+,),则由左图给出,第14页,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,第15页,谐振动位移、速度、加速度之间位相关系,t,o,T,a,v,x,T/4,T/4,第16页,由图可见：,x,t+,o,第17页,例：,如图,m=,210,-2,kg,，弹簧静止形变为,l=,9.8,cm,，取平衡位置为坐标原点。,t,=0,时，,x,0,=,-,9.8,cm,v,0,=,0,（,1,）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；,（2）若取,x,0,=,0，,v,0,0,为计时零点，写出振动方程并计算频率。,x,O,m,x,解：,平衡位置处,作谐振动 设振动方程为,在坐标为,x,处,受力为,第18页,例：,如图,m=,210,-2,kg,，弹簧静止形变为,l=,9.8,cm,，取平衡位置为坐标原点。,t,=0,时，,x,0,=,-,9.8,cm,v,0,=,0,（,1,）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；,（2）若取,x,0,=,0，,v,0,0,为计时零点，写出振动方程并计算频率。,x,O,m,x,由初条件得,由,x,0,=Acos,0,=,-,0.098,0,cos,0,0,x,0,=Acos,0,=,0,cos,0,=,0,，,0,=,/2,3,/2,v,0,=,-,A,sin,0,sin,0,0,取,0,=3,/2,对同一谐振动取不一样计时起点,0,不一样，但,、,A,不变,固有频率,第20页,例：,如图所表示，振动系统由一倔强系数为,k,轻弹簧、二分之一径为,R,、,转动惯量为,I,定滑轮和一质量为,m,物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期,T,.,m,m,解：取位移轴,ox,，,m,在平衡位置时，设弹簧伸长量为,l,，,则,第21页,m,m,当,m,有位移,x,时,联立得,物体作简谐振动,第22页,例：,已知某简谐振动,速度与时间关系曲线,如图所表示，试求其振动方程。,解：设振动方程为,第23页,故振动方程为,第24页,以弹簧振子为例,谐振动系统能量=系统,动能,E,k,+,系统,势能,E,p,某一时刻，谐振子速度为,v,，,位移为,x,谐振动动能和势能是时间周期性函数,4.3,简谐振动能量,第25页,动能,势能,情况同动能,机械能,简谐振动系统机械能守恒,第26页,由起始能量求振幅,x,t,T,E,o,E,t,E,k,(1/2),kA,2,E,p,第27页,实际振动系统,系统沿,x,轴振动，势能函数为,E,p,(,x,),，势能曲线存在极小值，该位置就是系统稳定平衡位置。,在该位置（取,x,=0）,附近将势能函数作级数展开,微振动系统普通能够看成谐振动处理,第28页,一、同方向、同频率谐振动合成,合振动是简谐振动，其频率仍为,合振动:,4.4,简谐振动合成,*,振动频谱分析,第29页,用旋转矢量法讨论,第30页,如,A,1,=,A,2,则,A,=0,两分振动相互加强,两分振动相互减弱,讨论,若两分振动同相：,若两分振动反相:,第31页,合振动不是简谐振动,式中,随,t,缓变,随,t,快变,合振动可看作振幅缓变准简谐振动,二,、同方向不一样频率简谐振动合成,分振动,合振动,当,2,1,时,第32页,拍,合振动忽强忽弱现象,拍频,单位时间内强弱改变次数,x,t,x,2,t,x,1,t,第33页,*三、振动频谱分析,振动分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。,谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。,若周期振动频率为,:,0,则各分振动频率为,:,0,、2,0,、3,0,(基频,二次谐频,三次谐频,),按傅里叶级数展开,第34页,方波分解,x,0,t,0,t,x,1,t,0,x,3,t,0,x,5,t,0,x,1,+,x,3,+,x,5,+,x,0,第35页,x,o,t,锯齿波,A,0,3,0,5,0,锯齿波频谱图,一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续改变简谐振动。,x,o,t,阻尼振动曲线,阻尼振动频谱图,o,A,第36页,*四、两个相互垂直同频率简谐振动合成,质点合振动,轨迹方程：,分振动,第37页,合振动轨迹为经过原点且在第一、第三象限内直线,质点离开平衡位置位移,讨论,第38页,合振动轨迹为经过原点且在第二、第四象限内直线,质点离开平衡位置位移,第39页,合振动轨迹为以,x,轴和,y,轴为轴线椭圆,质点沿椭圆运动方向是顺时针。,第40页,合振动轨迹为以,x,轴和,y,轴为轴线椭圆,质点沿椭圆运动方向是逆时针。,第41页,=5,/4,=3,/2,=7,/4,=0,=,=,/2,=3,/4,Q,=,/4,P,.,时，逆时针方向转动。,时，顺时针方向转动。,第42页,*五、,垂直方向不一样频率,可看作两频率相等而,随,t,迟缓改变，合运动轨迹将按上页图依次迟缓改变。,y,x,A,1,A,2,o,-,A,2,-,A,1,两分振动频率相差很小,为整数比,合成轨迹为稳定闭合曲线,李萨如图,比如右图：,第43页,x,y,2 1,3 1,3 2,x,=0,：,y,=0,y,x,0,第44页,一、阻尼振动,阻尼振动,能量随时间减小振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼：,系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力作用，系统动能转化为热能。,辐射阻尼：,振动以波形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。,4.5,阻尼振动 受迫振动 共振,第45页,阻尼振动振动方程,（系统受到弱介质阻力而衰减）,振子动力学方程,振子受阻力,系统固有角频率,阻尼系数,弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体阻力仅与速度一次方成正比,阻力系数,其解分三种情形,第46页,弱阻尼,1,、弱阻尼,每一周期内损失能量越小，振幅衰减越慢，周期越靠近于谐振动。,阻尼振动振幅按指数衰减,阻尼振动准周期,第47页,2,、临界阻尼,临界阻尼,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来,过阻尼,3,、过阻尼,系统不作往复运动，而是非常迟缓地回到平衡位置,第48页,二、受迫振动,受迫振动,振动系统在周期性外力作用下振动,弱阻尼谐振子系统在策动力作用下受迫振动方程,令,周期性外力策动力,该方程解为,第49页,稳定解,(1),频率:等于策动力频率,(2),振幅:,(3),初相:,特点：,稳态时受迫振动按简谐振动规律改变,阻尼振动,简谐振动,第50页,三、,共振,在一定条件下,振幅出现极大值,振动猛烈现象。,1,、位移共振,(1),共振频率:,(2),共振振幅:,第51页,2,、速度共振,一定条件下,速度振幅极大现象。,速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入能量最大。,第52页,不能用线性微分方程描述振动称为非线性振动。,1,、内在非线性原因,发生非线性振动原因：,振动系统内部出现非线性回复力,振动系统参量不能保持常数，,如漏摆、荡秋千。,一、非线性振动概述,单摆（或复摆）回复力矩,自激振动,*,4.6,非线性振动介绍,第53页,2,、外在非线性影响,非线性阻尼影响,策动力为位移或速度非线性函数,如,如,线性振动与非线性振动最大区分：,线性振动满足叠加原理,非线性振动不满足叠加原理,第54页,近似简化、图解、计算机处理,研究方法：,微扰法,二、非线性振动研究方法及意义,相平面法,第55页,7.4,非谐振动傅氏分解 频谱,任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列 谐振动叠加,比如,:,方波：,（基频为,v,0,）,由傅里叶理论，有,x,(,t,),结论：,1.,方波可分解为,v,0,，,3,v,0,，,5,v,0,等,谐振动叠加。,2.,谐频次数越高项振幅越小。,A,v,v,0,3,v,0,5,v,0,方波频谱图,7,v,0,O,O,第56页,方波分解图,v,0,3,v,0,5,v,0,（基频为,v,0,）,x,1,+x,3,+,x,5,方 波,O,O,O,O,O,第57页,北京大钟寺内巨钟频谱图,0,100,200,300,400,500,v,(,Hz),第58页,7.5,两个自由度系统自由振动介绍,一,.,多自由度振动系统,(,三自由度振动系统,),二,.,两自由度振动系统,两摆运动微分方程为,其特解为,（,1,）,（,2,）,(,二自由度振动系统,),第59页,由,(1),、,(2),两式决定特解表示两摆以相同频率,作简谐振动情况，振幅分别为,A,1,、,A,2,。,将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率：,1,、,2,分别为第一和第二简正,频率,第60页,结论：,(1),当两摆以相同频率,1,振动时，振幅相等、相位相同，如图所表示。,(2),当两摆以相同频率,2,振动时，振幅相等、相位相反，如图所表示。,(3),普通情况下耦合摆运动是两简谐振动叠加，即,第61页,
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