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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第十五章 机械振动,基本内容：,谐振动特征,谐振动描述,谐振动合成,机械振动：,物体在一定位置附最近回往复运动。其轨迹能够是直线，也能够是平面曲线或空间曲线。,机械振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简单机械振动是周期性直线振动简谐振动。,任何复杂振动都可认为是由若干个简谐振动合成。,第1页,15.1 简谐振动特点,A,位置A：小球所受协力为零位置，称为,振动系统平衡位置,。,将小球推离平衡位置并释放，小球往返振动，假如摩擦阻力小，小球振动次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力，振动将永久连续下去，这种理想化振动是,简谐振动,。,一、,谐振动中理想模型,弹簧振子,第2页,假如振动物体可表示为一质点，而与之相连接全部弹簧等效为一轻弹簧，忽略全部摩擦，可用弹簧振子描述简谐振动。,m,k,X,0,以平衡位置为坐标原点，水平向右为正，则小球所受弹性力,F,与小球离开平衡位置位移,x,有以下关系：,二、谐振动特点：,1、动力学特征：,第3页,从,动力学观点,，若物体仅受线性回复力作用，它就作简谐振动。,动力学特征：质点所受得力大小与位移成正比，方向相反。,K是弹簧弹性系数，负号表示力和位移方向相反。,回复力,2、运动学特征：,令,第4页,积分得：,从,运动学观点,，若物体离开平衡位置位移随时间改变规律是正弦或余弦函数，它就作简谐振动。,运动学特征：物体离开平衡位置位移随时间改变规律是正弦或余弦函数。,3、能量特征：,其中,第5页,能量特征：,谐振动机械能等于x为A时弹性势能，或速度最大时（平衡位置）动能。振动过程中动能和势能相互转换，,机械能守恒。,一个周期内平均动能与平均势能：,第6页,例6.谐振子在相位为 ,其动能为 ,求其机械能。,解：,第7页,1、方程中各参量物理意义,x,:表示,t 时刻质点离开平衡位置位移。,A,:质点离开平衡位置位移最大值绝对值振幅。,15.2 简谐振动描述,一、谐振动代数描述法,：,又,第8页,比较知,称为圆频率,仅决定于振动系统力学性质。,t+,:,称位相或相位或周相，是表示任意 t 时刻振动物体动状态参量。,:,称为初位相，是表示 t=0 时刻振动物体状态参量。,2、位移、速度 加速度,v,位相超前,x,/2,第9页,其中,是加速度幅值,a,与,x,位相相反,a,t,v,x,a,x,v,0,第10页,问题：,是描述t=0时刻振动物体状态，当给定计时时刻振动物体状态（t=0 时位置及速度：x,0,v,0,)，怎样求解相对应？,（1）、已知 t=0 振动物体状态x(0),v(0),求,可得：,A与,由系统初始条件,x(0),v(0),决定,第11页,（2）已知 t=0 振动物体状态x(0)及,A时求,最终确定初位相,值,第12页,m,k,X,0,例1：如图所表示，将小球拉至A释放，小球作谐振动。假如已知,k,，以小球运动至A/2处，且向x负方向运动作为计时起点，求小球振动方程。,解：问题归结于求,t=0 小球向 x 负方向运动，因而 v,0 =+60,0,第13页,例2 如图所表示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统振动方程。,m,1,k,X,0,v,m,2,解：,t=0,x(0)=0,v(0)=v,第14页,例,3,垂直悬挂弹簧下端系一质量为,m,小球，弹簧伸长量为,b,。求证：放手后小球作简谐振动，并写出,振动方程。,b,自然长度,mg,平衡位置,F,取平衡位置为坐标原点，静平衡受力分析如图,kb-mg=0,证实：,则有：,x,任意位置时小球所受到合外力为：,F=mg,-,k,(,b+x,),=,-,kx,小球作谐振动,第15页,=,k,m,g,b,=,A=b,=,由,mg-kb,=0,得：,由题知：,t=0时，,x,0,=-,b,，,v,0,=0,则可得：,所以运动方程为：,第16页,二、谐振动图线描述法,t,x,0,t,1,A,两类问题：,1、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线,2、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程,第17页,三、简谐振动旋转矢量表示法,1、旋转矢量,A,M,x,0,P,（,t+,）,x,旋转矢量长度,：,振幅,A,旋转矢量旋转角速度,：,旋转矢量旋转方向为逆时针方向,旋转矢量与参考方向,x,夹角,：,振动周相,圆频率,M,点在,x,轴上投影,P,点运动,规律为,振动方程,：,第18页,M,P,x,A,注意：旋转矢量在第1象限速度,v,0,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,注意：旋转矢量在第2象限速度,v,0,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,注意：旋转矢量在第4象限速度,v,0,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,第19页,则称振动,2,超前,振动,1，,振动,1,滞后,振动,2,若周相差,=,2,-,1,0,A,1,A,2,0,A,2,A,1,0,A,A,2,2,1,1,0,x,2、用旋转矢量分析位相与振动关系,若周相差,=,0，则称两振动,同时,若周相差,=,，则称两振动,反相,第20页,A,2,x,x,A,A,2,1.0,0,t,t,=1,时,x,1,=0,d,1,0,v,=,d,x,t,例4 一谐振动振动曲线如图所表示，,求、以及振动方程,。,x,A,3,t,=,0,时,0,x,=,A,2,0,0,v,=,3,1,=,2,解：,1,=,t,1,+,=,5,6,第21页,x,=,A,cos(,5,6,t,3,),本题,另一个求法:,3,x,A,t=0,2,A,t=1,2,+,3,2,=,T,1,T,=,12,5,=,5,6,第22页,15.3 简谐振动合成,一、同方向、同频率两个谐振动合成,1、利用三角函数公式合成,第23页,令,则可得：,其中：,第24页,2、利用旋转矢量合成,x,A,1,A,2,A,结论：同方向同频率两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率与分振动频率相同。,第25页,讨论：合振动加强与减弱,1,2,A,A,合振动加强,1,合振动减弱,A,A,2,相位相反,1,2,=,A,A,A,、,+,（1）若,=,2k,1,2,(,k,=0,1,2,.,、,+,),1,2,=,A,A,A,+,相位相同,、,+,(,k,=0,1,2,.,、,+,),（2）若,(2k+1),1,2,=,普通情形：二分振动既不一样相位也不反相位，合振动振幅在A,1,+A,2,与|A,1,-A,2,|,之间。,第26页,二、同方向、不一样频率两个谐振动合成,普通情况下合成后振动是一个复杂运动。,一个特殊情况,拍现象,1,2,拍频,=,1,2,2,1,x,x,=,=,A,A,cos,cos,2,t,t,2,x,=,x,x,+,1,2,2,2,1,1,1,1,1,2,2,=,2,A,cos,2,(,(,),),2,cos,t,t,2,+,2,第27页,t,t,t,x,x,1,2,x,=,2,0.25s,0.75s,0.50s,=,=,2,16,18,1,第28页,利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）,三、相互垂直同频率两个谐振动合成,例5已知,求：合振动振幅及初相位，并写出合振动表示式。,解：,第29页,例6一物体沿x,轴作简谐振动，振幅为0.12m,周期为2s，当t=0时位移为0.06m，且向x轴正方向运动，求（1）振动表示式；,（2）t=0.5s时，物体位置、速度和加速度；,（3）从x=-0.06m且向x轴负方向运动到返回平衡位置所需时间,解:（1）,因为物体此时向x正向运动，,故,（2）,第30页,（3）注意相位与状态相对应。,质点沿x轴负向运动，,设 时，x=-0.06m.,故,质点返回平衡位置相位为 ，设该时刻为,。,所以,第31页,第十六章 波动学基础,波动是振动传输过程，也是动量和能量传输过程。,机械波：机械振动在媒质中传输过程。,电磁波：交变电磁场在空间传输过程。,基本内容：,机械波产生与传输,机械波几个特征量,波动方程,波叠加原理,（特例）波干涉。,各类波本质不一样，但都伴有能量传输，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，且有相同数学描述。,第32页,16.1 机械波产生与传输,1、,波源,2、,弹性媒质,横波：,质点振动方向和波传输方向垂直,纵波：,质点振动方向和波传输方向平行,二、机械波分类,一、产生机械波条件,特点：含有波峰和波谷,（如绳子上波）,特点：含有疏密相间区域,（如声波）,第33页,横波波动,波传输方向,x,y,振,动,方,向,特点：含有波峰和波谷,第34页,纵波波动,波传输方向,质点振动方向,疏,密,疏,密,疏,特点：含有疏密相间区域,第35页,三、波形成和传输（以横波为例）,1、过程分析：因为媒质内各质点间存在相互作用力，故当一个质点振动后，在媒质内部弹性力作用下，将带动其周围其它质点也相继振动起来如此依次带动，振动状态由近及远地传输开去,形成机械波。,（静止）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,（振动状态传至4）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,（振动状态传至7）,第36页,（振动状态传至10),（振动状态传至13）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,2.结论,（1）各质点仅在自己平衡位置附近振动，并不,随波前进。,（2）,振动状态,以一定速度传输波速。（注意,波速不是质点振动速度）,第37页,（3）波周期与质点振动周期相同。,沿波传输方向，各质点相位依次落后。,（4）波形在空间移动行波。,四、波几何描述,同相面（波面）：,由振动周相相同点所组成面。,波阵面（波前)：,某时刻波动所抵达点所组成面。,波线（波法线）：,表示波传输方向线。在各向同性介,质中与波面法线相同。,在各向同性媒质中波线和波阵面垂直,第38页,平面波,波,线,波,阵,面,球面波,波阵,面,波,线,平面波：,球面波：,波阵面为一球面。,波阵面为一平面。,第39页,横波波速,s,F,F,G,切变弹性模量,密度（单位体积质量）,波长,在同一条波线上,周相差为2,两,质点间距离。,周期,传输一个波长距离所用时间。,频率,在单位时间内经过某一观察点完整波数目。,波速,波在单位时间内所传输距离。,16.2 机械波几个特征量,频率,和,周期,只决定于波源，和媒质无关。,第40页,纵波波速,流体（气体、液体）,固体,Y:,杨氏弹性模量,V,V,P,P,B:,容变弹性模量,波速是与媒质相关一个物理量,第41页,任意点（,B,点）振动方程为：,参考点,O,点振动方程为：,u,y,x,x,o,B,y表示在波线上任意一点（距原点为,x,处）质点在任意时刻位移,也就是平面简谐波波动方程。,16.3 波动方程,一、平面简谐波波动方程,第42页,质点振动速度：,平面简谐波波动方程为:,其中减号表示波向x轴正向传输，加号表示波向x轴负向传输,第43页,表示在t,1,时刻波形,y,t,o,3,、,t,与,x,都发生改变,t,=,t,1,时,y,x,o,表示x,1,处质点振动方程,二、波动方程物理意义,1、,x,=,x,1,（常数）,2、,t,=,t,1,（常数）,t,=,t,1,+t时,第44页,y,y,1,x,ut,x,y,t,x,表示在,t,1,时刻,x,处位移,y,1,，,在经过,t,时间后，一样位移发生在,x,处，波向前传输了,ut,距离，即某一固定周相传输了,ut,距离。,y,1,=,令,y,x,x,=,+,u,t,得：,第45页,能够证实三维波动方程为：,其中为,质点位移,从上两式可得波动方程：,三、波动方程普通形式,第46页,例1,、,已知波源在原点平面简谐波方程为,式中A、B、C为正值恒量。,试求：,（1）波振幅、波速、频率、周期与波长；,（3）任何时刻，在波传输方向上相距为D两点周相差。,（2）写出传输方向上距离波源,l,处一点振动方程；,解：（1）波动方程标准形式,第47页,波振幅为A,波速,频率,波长,（2）,（3）,第48页,例,2,以,P,点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。,y,x,P,o,u,d,解：,p,=,2,y,p,=,A,A,A,cos,cos,cos,d,d,t,t,t,),),),(,(,(,2,2,2,y,=,=,o,+,+,u,u,y,x,u,第49页,例,3,波速,u,=400m/s,t,=0 s,时刻波形如图所表示。写出波动方程。,u,y,(m),p,4,5,3,2,o,x,(m),2,3,=,=,0,p,t,=,=,=,A,y,v,0,0,0,(o,点,),2,2,0,=,y,v,0,0,t,0,(p,点,),=,0,0,得：,得：,第50页,2,p,=,0,d,0,p,=,2,d,=,=,2,2,3,5,(,),3,4(m),y,(m),2,3,=,=,0,p,u,p,4,5,3,2,o,x,(m),d,第51页,y,=,=,2,200,2,u,=,=,=,2,400,4,0,4,cos,),(,200,3,t,S,1,=,4(m),(,),例4,一横波在弦上传输，其方程是,式中x、y以米计，t与秒计。,（1）求波长、周期、波速；,（2）画出 t=0,0.0025s,0.005s时弦形状。,第52页,解：（1）方法一：,与标准方程相比较,波长,周期 T=0.01S,波速,方法二、,依各量物理意义求解,第53页,（2）方法一：依据各时刻波形方程逐一画出波形。,方法二：只画出t=0波形，然后采取移动波形方法。,0.4,0.2,y,x,o,第54页,例5、一平面简谐波在空间以速度u 传输，已知p点振,就下面四种选定坐标系，写出各自波函数。,动方程为,o,p,y,x,u,u,x,y,o,p,u,x,y,o,p,l,o,p,y,x,u,l,第55页,例6,、,沿x轴,负向,传输平面简谐波在t=2s时波形曲线如图，设波速,u,=0.5m/s求原点0振动表示式。,t=0,x,0,y,0.5,-1,1,2,t=2s,解：由图知,t=0原点0:,第56页,例7、,一平面简谐波沿x轴正向传输，其振幅和圆频率为,A、,波速为 u，设t=0时波形曲线如图。,（1）写出该波波函数；,（2）求距,0点为,（3）求距,0点为,处质点振动表示式；,处质点在t=0时振动速度。,y,x,0,u,第57页,解：（1）t=0时，0点相位，即初相位,故波函数,（2）,（3）,第58页,16.4 波能量 能流密度,一、能量密度,p,d,E,d,E,=,能够证实：,k,d,m,d,V,取体积元,d,V,，,体元内质量为,d,V,d,m,=,第59页,d,E,d,E,=,2,k,+,d,E,p,=,d,E,k,能量密度:,平均能量密度：,第60页,能流,P,:,单位时间经过某一面积波能。,P=S w u,二、能流密度,平均能流,P,:,能流在一个周期内平均值。,u,u,S,第61页,波强度,I,（能流度）:经过垂直于波传输方向单位面积平均能流。,w,1,2,2,2,u,I,=,u,=,A,总结：,波是能量传输一个形式。,波真正传输是振动、波形和能量。波形传,播是现象，振动传输是本质，能量传输是量度。,第62页,t+,t,u,t,u,t,t+,t,t,时刻波阵面,t,时刻波阵面,16.5 惠更斯原理,一、惠更斯原理,波动所抵达媒质中各点，都能够看作为发射子波波源，而后一时刻这些子波包迹便是新波阵面。,第63页,用惠更斯原了解释折射定律,sin,sin,i,r,=,CB,AB,AD,AB,=,u,u,1,1,2,2,=,u,2,u,=,=,n,n,1,n,1,2,t,t,i,u,u,t,1,2,t,r,n,n,1,2,C,B,A,D,i,r,u,t,1,2,二、惠更斯原理应用,第64页,沿相反方向传输两个脉冲波叠加,两水波叠加,16.6 波叠加原理,一、波叠加原理,1、,波独立传输原理:,有几列波同时在媒质中传输时，它们传输特征（波长、频率、波速、波形）不会因其它波存在而发生影响。,2、,波叠加原理:,在几列波相遇区域内,媒质质点同时参加这几列波所引发振动，其位移为各波单独存在时在该点所引发振动合振动。,第65页,二、波干涉,相干波源：,若有两个波源，它们振动方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为,相干波源,。,波源,cos,=,+,t,y,2,2,2,A,),(,S,t,=,y,1,1,1,A,cos,),(,+,S,1,r,*,2,s,r,1,1,y,*,2,2,s,P,y,.,P,点,r,r,=,2,2,2,1,1,(,),y,t,2,+,r,=,2,2,2,2,cos,),A,(,+,t,=,y,2,1,1,A,cos,),(,1,1,r,第66页,干涉加强(A最大)条件：,干涉减弱(A最小)条件：,=,2k,k=0,1,2,+,+,+,2k,=,(,1,),k=0,1,2,1,1,1,A,cos,cos,sin,sin,=,+,2,r,r,(,),),),(,(,(,2,1,1,tg,2,2,2,A,A,A,2,2,1,r,r,),+,2,2,2,2,A,A,A,A,cos,=,2,+,+,2,2,2,1,1,A,),2,2,2,1,=,r,r,(,1,第67页,2,波程差,r,r,1,=,+,k,干涉加强,r,2,(,),波程差,r,1,+,2k,2,=,+,1,干涉减弱,=,1,2,若：,则有：,+,+,2k,(,1,),=,=,r,r,),(,2,1,2,r,r,=,),(,2,1,2k,+,=,2,r,r,),2,2,2,1,=,(,1,问题：,对于相干光波，干涉条件怎样？,第68页,两波波动方程分别为：,y,y,2,2,A,A,+,x,x,t,t,T,T,cos,cos,2,1,=,=,),),(,(,驻波,：一对振幅相同相干波，在同一条直线上，沿相反方向传输时，叠加而成波。,A,A,x,cos,=,振幅,2,2,y,2,2,A,+,t,T,cos,2,1,=,y,y,=,x,cos,2,三、驻波,第69页,x,A,A,cos,=,振幅：,2,2,波腹位置：,波节位置：,2k+1,2k+1,=,(,),),(,x,x,=,2,2,4,2,2k,x,x,=,=,2k,2,4,相邻两波节（或波腹）距离:,x,x,k+1,k,=,2,第70页,驻波特点：,1.,有波节、波腹；,2.,波节两侧质点振动周相相反，相邻两波节之间质点振动周相相同。,3.,波强度为零，不发生能量由近及远传输。是一个特殊振动状态。,波节,波腹,第71页,四、半波损失,u,u,2,2,1,1,若,媒质,1,媒质,1,u,1,1,u,2,2,媒质,2,称媒质,1,为,波疏媒质；,媒质,2,为,波密媒质。,第72页,1.,绳子波在固定端反射,入射波,反射波,叠加后波形,墙,体,),波,密,媒,质,(,y,y,在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波抵达两种媒质分界面时发生相位突变，称为,半波损失,。,第73页,入射波,反射波,叠加后波形,y,y,自,由,端,2.,绳子波在自由端反射,在反射端形成波腹在反射端入射波和反射波周相相同,无半波损失,。,第74页,y,=,A,cos,t,它向墙面方向传输经反射后形成驻波。求：驻波方程、波节及波腹位置。,考虑到半波损失后,P,点振动方程：,y,d,cos,=,+,p,(,),u,t,A,y,y,cos,cos,=,=,d,p,(,(,),),u,u,t,t,入射波,入,A,A,x,d,y,墙,面,p,入射波,o,x,例,8,设波源（在原点,O,）振动方程为：,第75页,墙,面,d,y,x,p,(,叠加点,),m,入射波,反,射,波,o,考虑到半波损失后,P,点振动方程：,d,u,cos,y,=,+,p,(,),t,A,反射波在叠加点,(m,点,),振动方程：,cos,2,d,u,t,A,=,+,(,),x,y,cos,d,d,u,u,t,A,=,+,),(,反,x,第76页,驻波方程：,=,x,d,),波腹：,2,(,+,2,2k,2,+,d,(,2k,x,=,4,),1,x,y,y,y,cos,cos,t,2,=,=,+,+,+,(,(,),x,入,反,2,2,d,d,2,2,),A,cos,=,(,),u,t,A,+,cos,2,d,u,t,A,+,(,),x,第77页,
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