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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,方程、不等式文本解读,主讲人：柯宗友,1/84,七上第5章一元一次方程,七下第4章二元一次方程组,第7章分式7.4分式方程,八上第5章一元一次不等式,八下第2章一元二次方程,方程、不等式章节安排：,2/84,（1）对代数预备知识遵照“突出重点、分散安排”标准,（2）螺旋上升地展现主要概念和思想，不停深化对它们认识。,（3）联络实际，表达知识形成和应用过程，突出建立数学模型思想。,“数与代数”章节安排有以下特点：,3/84,（一）本套教科书编写依据学生认知规律和各部分知识内在联络按排章节，使“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三方面知识各自相对集中，保持适当系统性和灵活性，同时又重视这些知识联络。,教科书的体例：,4/84,教科书的体例：,（二）章编写结构,1.每章开头由以下部分组成：,（1）章前图,（2）引言,（3）节目录,2.章结尾由以下部分组成：,（1）小结,（2）目标与评定,3.编入以“数学趣闻”“数学发觉”“数学史”为主要题材阅读材料。,4.编入少许选学内容（以阅读材料形式出现）,5/84,教科书的体例：,（三）节编写结构,1.每节编入节前图，绝大部分节前图附有和课文有内在联络简短说明。,2.本套教科书按内容编节，对内容较多节划分课时，节编写有以下四个主要步骤：问题情境数学活动（包含观察、试验、猜测、尝试、推理、交流、反思等）概括（包含建立模型）巩固、应用和拓展。,正文表述中设置以下栏目：,（1）“合作学习”。,（2）“做一做”。,（3）“想一想”。,（4）“课内练习”。,（5）“探究活动”。,3.每节后编入“作业题”作业题分三组：,4.在一些节设置“设计题”（不一样设计题分布在不一样节中）。,6/84,第一学段（13年级）,在本学段中，学生将学习万以内数、简单分数和小数、常见量，体会数和运算意义，掌握数基本运算，探索并了解简单数量关系。在教学中，要引导学生联络自己身边详细、有趣事物，经过观察、操作、处理问题等丰富活动，感受数意义，体 会数用来表示和交流作用，初步建立数感；应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应降低单纯技能性训练，防止繁杂计算和程式化地叙述算理。,新课程标准各学段要求：,数认识,（2）认识符号，含义，能够用符号和词语来描述万以内数大小。参 见例1案例例1 对于50，98，38，10，51这些数，请用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间大小关系；并用或表示它们大小关系,。,7/84,第二学段（46年级）,在本学段中，学生将深入学习整数、分数、小数和百分数及其相关运算，深入发展数感 ；初步了解负数和方程；开始借助计算器进行复杂计算和探索数学问题；取得处理现实生活中简单问题能力。,教课时，应经过处理实际问题深入培养学生数感，促进学生对运算意义了解；应重视口算，加强估算，勉励算法多样化；应使学生经历从实际问 题中抽象出数量关系，并利用所学知识处理问题过程；应防止繁杂运算，防止将运算与应用割裂开 来，防止对应用题进行机械程式化训练。,详细目标3式与方程,（1）在详细情境中会用字母表示数。（2）会用方程表示简单情境中等量关系。（3）了解等式性质，会用等式性质解简单方程(如 3x+25，,8/84,第三学段（79年级）,（1）方程与方程组。,能够依据详细问题中数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界一个有效数学模型。,经历用观察、画图或计算器等伎俩预计方程解过程。,会解一元一次方程、简单二元一次方程组、可化为一元一次方程分式方程（方程中分式不超出两个）。,了解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单数字系数一元二次方程。,能依据详细问题实际意义，检验结果是否合理。,9/84,（2）不等式与不等式组。,能够依据详细问题中大小关系了解不等式意义，并探索不等式基本性质。,会解简单一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成不等式组，并会用数轴确定解集。,能够依据详细问题中数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，处理简单问题。,第三学段（79年级）,10/84,1.能依据详细问题中数量关系，建立数学模型，列出方程或方程组，体会方程是刻画现实世界一个有效数学模型。,2.能用观察、画图或计算器等伎俩预计方程解。,3.会解一元一次方程。,4.会解可化为一元一次方程分式方程（方程中分式不超出两个）,5.了解配方法。,本部分内容在2011年中考说明中的要求：,11/84,6.会用因式分解法、公式法、配方法解简单数字系数一元二次方程。,7.能依据详细问题实际意义，检验结果是否合理。,8.了解二元一次方程、二元一次方程组相关概念。,9.会解简单二元一次方程组。,本部分内容在2011年中考说明中的要求：,12/84,10.依据详细问题中大小关系了解不等式意义。,11.探索并掌握不等式基本性质。,12.会解一元一次不等式并在数轴上表示出解集。,13.会解由两个一元一次不等式组成不等式组，并用数轴确定解集。,本部分内容在2011年中考说明中的要求：,13/84,一元一次方程,本,章内容是一元一次方程概念、解法及应用。在小学阶段，学生已学习过方程及其解概念，学习过等式性质，并会利用等式性质解几类简单方程，但没有学过方程中关于元概念、次概念。而且因为没有学过整式加减运算，学生能解方程非常有限。一元一次方程概念、解法及其应用是深入学习其它方程必需基础，许多方程最终都归为一元一次方程来解。一元一次方程在人们日常生活和生产实践中有着许多直接应用。所以，在小学阶段基础上深入学习一元一次方程是十分需要。,内容安排：,14/84,二元一次方程组,本章主要内容有二元一次方程、二元一次方程组概念、二元一次方程组解法和应用。二元一次方程组在处理生活和生产实际问题有较多应用，经过消元化归为一元思想方法能使学生取得处理多元问题经验，对学生深入学习函数、方程等代数知识有较大帮助。,内容安排：,15/84,一元一次不等式,本章主要内容有不等式概念及其基本性质，一元二次不等式和一元一次不等式组，以及列一元一次不等式（组）解应用题。本章是中学阶段代数不等式起始内容，是今后深入学习不等式证实和解不等式主要基础。客观世界中不但存在着大量相等关系，也存在着许许多多不等关系。不等关系用不等式来表示，和方程一样，不等式也是刻画现实世界一个主要数学模型，它在生活和生产实际中有着广泛应用。,内容安排：,16/84,一元二次方程,本章主要内容有一元二次方程概念、解法和应用。一元二次方程是一类主要整式方程。分式方程、根式方程。以及高次方程等都是经过转化为一元一次方程或一元二次来求解，所以，一元二次方程是今后继续学习方程主要基础。一元二次方程与图形面积、物体运动、量平均改变率等都有着亲密联络，在日常生活和生产实践中有着许多应用,内容安排：,17/84,任何一个一元一次方程都能够化成kx+b=0(k,b,为常数,k0)形式,其解恰好就是一次函数y=kx+b(k,b,为常数,k0)当y=0时,自变量x取值,反应在图象上,就是直线y=kx+b与x轴交点横坐标.,1.依据一元一次方程与一次函数图象之间关系,可利用图象法求一元一次方程解.如利用图象法解方程3x-6=0能够分为以下几步:(1)依据方程3x-5=0,写出对应函数关系式y=3x-6;(2)建立直角坐标系,画出y=3x-6图象;(3)确定图象与x轴交点横坐标,写出方程解.,一元一次方程与一次函数的图象的关系,2.依据一元一次方程与一次函数图象之间关系,也能够经过解一元一次方程方法求到图象与x轴交点坐标.如求y=x-1.5与x轴交点横坐标,只要解方程 x-1.5=0,求到方程解即可.,18/84,任何一个二元一次方程都能够转化一次函数形式,任何一个一次函数关系式都可看作一个二元一次方程,函数图象上点坐标就是二元一次方程解.二元一次方程组中两个二元一次方程,都能够转化为一次函数形式,也就对应着两条直线,两条直线交点坐标也就是二元一次方程组解.,依据函数图象能够求二元一次方程组解.其步骤,(1)将方程组中两个二元一次方程转化为函数关系式形式,(2)建立直角坐标系,依据两点法分别画出两个函数图象,(3)确定两函数图象交点坐标,二元一次方程(组)与一次函数图象的关系,19/84,任何一个一元一次不等式都能够转化为ax+b0或ax+b0解集，在x轴下方点所对应自变量x值，即为不等式kx+b0解集。,用此法解不等式，关键是作图，求出与x轴交点坐标,一元一次不等式与一次函数图象的关系,20/84,21/84,中国古代数学著作九章算术第八卷卷名为“方程”，这是“方程”一词最早出处。,“筹算”,“算”,上面是“,竹,”字，下面是“,具,”字,“算”就是“竹制计算工具”,“方程”一词的由来,古代数学家刘徽注释九章算术说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”。这里所谓“如物数程之”是指有几个未知数就必须列出几个等式，一次方程组各未知数系数用算筹表示时好比喻阵，所以叫做方程。,22/84,九章算术第八卷卷名为“方程”，,第一题造成一个线性方程组，当代写法以下：,23/84,中国古人在解题时把数据排成如图,24/84,当代意义上列方程和解方程在我国古代称为“天元术”，这个方法大约在十三世纪出现在我国北方数学界。李冶侧圆海镜，益古演段，朱世杰（1300前后）算学启蒙、四元玉鉴都是十三、十四世纪著作，他们用“天元术”来处理列方程问题。,什么是天元术？首先依据题意“立天元一为某某”，与当代数学中“设,为某某”意义相同。其次再依据问题所设条件列出两个相等多项式，二者相减，就得出一个一端为零方程。,25/84,多项式天元术记法相当于当代所谓分离系数法：多项式按其各项幂次数高低，自上而下直行书写，用中国数码字只记其对应系数，在一次项右边写一元字，常数项右边写一太字。比如，多项式：,写法记为：,26/84,九章算术是中国古代数学专著，承先秦数学发展源流，进入汉朝后又经许多学者删补才最终成书，这大约是公元一世纪下半叶。它出现，标志着中国古代数学体系形成。,后世数学家，大都是从九章算术开始学习和研究数学知识。唐宋两代都由国家明令要求为教科书。1084年由当初北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早印刷本数学书。,九章算术简介,27/84,九章算术简介,九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算著作；其中盈不足算法更是一项令人惊奇创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。,28/84,九章算术简介,九章算术内容十分丰富，全书采取问题集形式，收有246个与生产、生活实践有联络应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题步骤，但没有证实），有是一题一术，有是多题一术或一题多术。,29/84,第一章“方田”,第二章“粟米”,第三章“衰（sui）分”,第四章“少广”,第五章“商功”,第六章“均输”,第七章“盈不足”,第八章“方程”,第九章“勾股”,九章算术内容,30/84,一、教科书内容和课程学习目标,本章主要内容包含：一元一次方程相关概念和解法，利用一元一次方程处理实际问题，问题处理基本步骤。,“一元一次方程”简介,1教科书内容,31/84,2本章知识结构图,实际问题情境,等式,方程,一元一次方程,解法,应用,等式性质,问题处理基本步骤,32/84,（1）经历“把实际问题抽象为数学方程”过程，体会方程是刻画现实世界一个有效数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学进步。,（2）经过观察、归纳得出等式性质，能利用它们探究一元一次方程解法。,（3）了解解方程基本目标（使方程逐步转化为,x=a,形式），熟悉解一元一次方程普通步骤，掌握一元一次方程解法，体会解法中蕴涵化归思想。,3.课程学习目标,33/84,（4）能够“找出实际问题中已知数和未知数，分析它们之间关系，设未知数，列出方程表示问题中等量关系”，体会建立数学模型思想。,（5）经过探究实际问题与一元一次方程关系，深入体会利用一元一次方程处理问题基本过程，感受数学应用价值，提升分析问题、处理问题能力。,3.课程学习目标,34/84,1、突出问题处理意义、过程和方法。,2、突出数学教学是活动教学观点。,3、充分表达了教学内容基础性、应用性、层次性和发展性。,本章教科书的编写特点,35/84,1注意做好与前面学段衔接，在学生已经有基础上得到发展。,2关注方程与实际问题联络，体验方程工具作用。,3 重视数学思想方法教学。,4.建立有效评价机制，发挥主动评价功效。,几个值得关注的问题,36/84,1从详细数运算到数与字母一起参加运算是学生数学思维一次大飞跃。,2要掌握一元一次方程解法，需要一定数量训练。,3列方程解应用题过程比较完整地表达了问题处理四个基本步骤，在教学中要突出关于问题处理策略、思想和方法指导。,本章教学中应注意的问题,37/84,（1）,（2）,错点1：,15,x,-5=8,x,+4,-1,15,x,-8,x=,4-1+5,7,x,=8,错点2：,解方程错题分析,错点：,2,x,-2-,x,+2,=12-3,x,（3）,x,错点1：,2x-5（3-2x）,x,错点2：,2x-15,-2x,10 x,38/84,（4）3（,x-,2）=2-5（,x,-2）,错点1：,3,x-,6=2-5,x,+2,错点2：,3,x-,6=2-5,x,10,39/84,4、去括号漏乘系数与不变号,错题分析,错点主要集中在以下几点：,1、去分母时，不含分母项漏乘最小公倍数,2、移项该变号不变，不该变却变了,3、系数化1时，除数和被除数颠倒位置,40/84,（1）小明用每小时8千米速度到某地郊游，回来时走比原路长3千米另一条路线，速度为每小时9千米，这么回去比去时多用,小时，求原路长。,分析：,去时和回来时时间谁多谁少经常轻易弄错。,应用题错题分析,解：设原路长X千米,错解：,=,+,41/84,（2）李小明一年前存入一笔钱，年利率为2.25%，但要缴纳20%利息税，到期共取得本息和为16288元，求李小明一年前存入银行本金是多少？,解：设李小明一年前存入银行本金是x元，,正解：,x+2.25%x（1-20%）=16288,错解：,（1+2.25%）x（1-20%）=16288,分析：,缴税只需交纳利息税，本金不需缴税。若本题未牵涉缴税，则x+2.25%x-16288与（1+2.25%）x=16288均可。,42/84,（3）汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟抵达；若每小时行驶50千米，那就能够提前30分钟抵达，求甲、乙两地之间距离及原计划行驶时间。,错解：（只说明列一元一次方程解法错解）,错解1：,设原计划行驶时间为x小时。,45（x+30）=50（x-30）,错解2：,设原计划行驶时间为x小时。,错解3：,设,甲、乙两地之间距离为y千米,分析：,存在上述几个错解，原因为：,1、时间单位上未统一；2、时间在延误、提前关系上未搞清楚。,43/84,（4）某中学开展植树活动，让七（1）班单独种植，需要7.5小时完成；让七（2）班单独种植，需要5小时完成。现在让两班先一起种植1小时，再由七（2）班学生单独完成剩下部分，共需多少小时完成?,错解：,设七（2）班完成剩下部分需要X小时，依据题意，,得,解得,由题意知，x不能为负，此题无解。,分析：,方程左边1+x是二班学生完成植树总共需要时间，右边为全部工作量，方程两边意义不一样，故以上解答是错误。,44/84,（5）有一架飞机，最多能在空中连续飞行4小时，它在飞出和返回时速度分别为900千米时和850千米时。这架飞机最多飞出多少千米就应返回（准确到1千米)?,错解：,设飞机飞出X千米就应返回。依据题意，得,解方程，得,分析：,错解是按四舍五人法求解，而此题实际意义告诉我们只能采取“去尾法”，不然会出现现重大“事故”。,答：这架飞机最多飞出1749千米就应返回。,45/84,（6）一个两位数，十位上数字比个位上数字小1，十位与个位上数字和是这个两位数,。求这个两位数。,错解：,设十位上数字为x，则个位上数字为（x+1），依据题意得：,解得,答：不存在这么两位数。,因x为正整数，故无解。,分析：,错解中把这个两位数写错（表示式错误）而造成无解。应该是十位数字乘以10再加上个位数字为这个两位数。,46/84,四个方面：,1、,小课时学生主要用算术解法来解应用题，受此影响，学生不习惯利用代数法来分析和处理问题；,关于“列一元一次方程解应用题”的教学与思考,2、,寻找相等关系有没有从下手之感；,3、,找到相等关系后，不能顺利地利用代数式过渡列出方程；,4、,当问题中含有不只一个未知数时，不知道该选择哪一个未知数来设元较为简单。,47/84,一、,要让学生感觉到代数解法与算术解法相比有显著优点。,二、,要让学生学会怎样寻找相等关系。,48/84,1、,代数式法。,2、,图示法。,3、,表格法,。,三、解应用题常用的列方程的方法在概有三种。,49/84,1、,直接设元法,2、,间接设元法,引导学生逐步掌握设元的技巧。,50/84,51/84,52/84,53/84,54/84,55/84,56/84,57/84,58/84,59/84,一、,本章主要内容和课程学习目,（一）本章主要内容,本章主要内容有：二元一次方程概念及其解不唯一性、二元一次方程组解法及建立和利用二元一次方程组这种数学模型处理一些简单实际问题。,41,二元一次方程。,42,二元一次方程组。,43,解二元一次方程组。,44,二元一次方程组应用。,“二元一次方程组”,60/84,含有两个未知,数实际问题,列方程组解应用题,二元一次方程,二元一次方程组,解二元一次方程组,代入法,加减法,本章知识结构,61/84,1以含有多个未知数实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题数学模型,课程学习目标,2了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中两种相关等量关系,62/84,3,了解解二元方程组基本目标（使方程组逐步转化为x=a，形式），体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组代入法和加减法，能依据二元一次方程组详细形式选择适当解法,课程学习目标,4,经过探究实际问题，深入认识利用二元一次方程组处理问题基本过程（见下列图），体会数学应用价值，提升分析问题、处理问题能力,63/84,1素材丰富，取材起源于学生现实生活。,2重视学生参加数学活动。,3重视知识形成过程，突出数学思想方法。,本章的编写特点,64/84,（一）注意在对方程已经有认识基础上发展，做好从一元到多元转化。,（二）关注实际问题情景，表达数学建模思想。,（三）重视解多元方程组中消元思想。,（四）加强学习主动性和探究性。,（五）重视对于基础知识掌握，提升基本能力。,（六）关注相关数学文化。,几个值得关注的问题,65/84,一、本章主要内容和课程学习目标,（一）教科书内容,本章主要内容包含：不等式、一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式性质，一元一次不等式（组）解法及其解集几何表示，利用一元一次不等式（组）分析与处理实际问题其中，以不等式（组）为工具分析问题、处理问题是重点，也是教学中主要难点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式性质是基础知识；掌握一元一次不等式（组）解法及解集几何表示是基本技能和能力本章重视数学与实际关系，注意表达列不等式（组）中蕴涵建模思想和解不等式（组）中蕴涵化归思想,“不等式与不等式组”简介,66/84,5.1,认识不等式,5.2,不等式基本性质,5.3,一元一次不等式,5.4,一元一次不等式组,全章共包括四节：,67/84,不等关系,不等式,不等式,性质,一元一次不等式,不等式传递性,不等式两边都加上（或减去）,同一个数，所得不等式仍成立,不等式两边都乘（或都除以）同一个正数，所得不等式仍成立；不等式两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号改变方向，所得不等式成立,应用不等式处理简单实际问题,解一元一次不等式,解一元二一次不等式组,在数轴上表示不等式角,（二）本章知识结构,68/84,（三）课程学习目标,1,了解不等式、一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”过程，能够“列出不等式或不等式组表示问题中不等关系”，体会不等式（组）是刻画现实世界中不等关系一个有效数学模型,2,经过观察、对比和归纳，探索不等式性质，能利用它们探究一元一次不等式解法,3,了解解一元一次不等式基本目标（使不等式逐步转化为 形式），熟悉解一元一次不等式普通步骤，掌握一元一次不等式解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴涵化归思想,69/84,5,会依据详细问题中数量关系列一元一次不等式、一元一次不等式组处理实际问题，探索一元一次不等式（组）在处理实际问题中应用,（三）课程学习目标,4,了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成不等式组，并会用数轴确定解集,70/84,（一）,突出建摸思想，实际问题作为大背景贯通全章,（二）,重视知识前后联络，强调经过比较来认识新事物,本章的编写特点,71/84,（一）,重视类比，做好从方程到不等式迁移,（二）,突出数学建模思想，反应不等式（组）与实际问题联络,（三）,重视数学思想方法渗透,几个值得关注的问题,72/84,一、,教科书内容和课程学习目标,（一）,教科书内容,本章主要内容包含：一元二次方程及其相关概念，一元二次方程解法（配方法、公式法、因式分解法）以及利用一元二次方程分析和处理实际问题.,其中21节是全章基础部分，22节是全章重点内容，23节是知识应用和引申内容。另外，阅读材料介绍了一元二次方程发展，让学生了解数学发展史。,“一元二次方程”简介,73/84,2.1,一元二次方程,22,一元二次方程解法,2.3,一元二次方程应用,本章从引言到小结一直保持贴近实际、贴近生活。这么安排,主要目标是：,1反应客观世界与数学亲密联络；,2加强对应用数学知识分析和处理实际问题意识和能力,培养。,“一元二次方程”简介,74/84,一元二次方程概念,一元二次方程解法,开,平方法,因式分解法,配方法,公式法,一元二次方程应用,本章知识结构框图,75/84,（1）,了解一元二次方程概念，会用直接开平方法解形如,（2）,了解配方法，会用配方法解数字系数一元二次方程；,掌握一元二次方程求根公式推导，会用求根公式解一元二次方,程；会用因式分解法解一元二次方程，使学生能够依据方程特,征，灵活利用一元二次方程各种解法求方程根。,课程学习目标,（,b,0）方程；,（3）,体验用观察法、画图或计算器等伎俩预计方程解,过程。,76/84,（5）,结合教学内容深入培养学生逻辑思维能力，对学生进行辩证唯物主义观点教育，经过一元二次方程教学，使学生深入取得对事物能够转化认识。,课程学习目标,（4）,能够依据详细问题中数量关系，能够列出一元二程方程解应用题，能够发觉、提出日常生活、生产或其它学科中可利用一元二次方程来处理实际问题，并正确地用语言表示问题及处理过程。体会方程是刻画现实世界一个有效数学模型。,77/84,1,方程思想,2,公式解法,3,分类讨论数学思想,4,转化(化归)数学思想,教材体现的数学思想方法,78/84,一元二次方程能够看成是前面所学过相关知识综合利用，,所以，这一章教学是对以前所学相关知识检验，又是一次复习与巩固。,本章编写特点,79/84,（一）,教学中应重视联络实际问题，加强对于数学建模思想渗透,（二）,教学中应结合一元二次方程特点，从说理角度讨论方程解法,几个值得关注的问题,80/84,81/84,82/84,（一）突出问题处理意义，过程和方法。,（二）适当表达建构主义和活动教学思想。,（三）有机融入多元评定内容、思想和方法。,（四）重视基础知识和基本技能落实，注意内容衔接联络。,（五）适当表达数学人文价值和当代社会发展中科学价值。,（六）有机结合并利用当代信息技术。,（七）教科书内容展现含有创新性和差异性。,教科书特色：,83/84,1.让学生充分经历数学知识形成与应用过程,2.勉励学生自主探索与合作交流,3.尊重学生个体差异，满足多样化学习需要,4.重视数学知识之间联络，提升综合利用知识能力,5.充分利用当代信息技术,教学建议：,84/84,
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