(高职)经济数学电子全书电子教案.pptx

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Tuesday,#,经济数学,（第五版）,高职高专专业基础课教材新系,完整版,ppt,课件,1,第,1,章函数,2,第,2,章极限与连续,3,第,3,章导数与微分,4,第,4,章导数的应用,5,第,5,章不定积分,6,第,6,章定积分,目,录,CONTENTS,7,第,7,章多元函数的微积分,CHAPTER,01,第,1,章,函数,数学中的转折点是笛卡尔的变数,.,有了变数,运动进入了数学,;,有了变数,辩证法进入了数学,;,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,初等数学,即常数的数学,至少总的说来,是在形式逻辑的范围内活动的,而变数的数学,其中最重要的部分是微积分,按其本质来说也不是别的,而是辩证法在数学方面的运用。,恩格斯,01,学习目标,知识目标,通过本章的学习,了解集合与实数集、函数、复合函数、初等函数以及分段函数的概念,.,01,02,通过本章的学习,掌握求函数的定义域、值域的方法,并能利用,Mathematica,软件计算函数值,绘制函数图形,.,03,通过本章的学习,认识现实生活中的许多变量之间存在着函数关系,用函数描述简单的实际问题,.,技能目标,能力目标,01,PART,1.1,集合与实数集,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,“集合”,是一个重要的数学概念,它在现代数学的发展中起着非常重要的作用,.,我们一般把具有某种特定属性对象的全体叫做集合,.,组成这个集合的对象称为该集合的元素,.,下面举几个集合的例子,:,集合的概念,1.1.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,【,例,1-1】,某班级的全体学生组成一个集合,.,该班的学生都是这个集合的元素,.,【,例,1-2】,自然数的全体组成一个集合,.,每一个自然数都是这个集合的元素,.,【,例,1-3】,直线,x+3y+3=0,上所有的点组成一个集合,.,这里直线的每个点是这个集合的元素,.,习惯上,我们用英文大写字母,A,、,B,、,C,、,X,、,Y,等表示集合,用英文小写字母,a,、,b,、,c,、,x,、,y,等表示集合的元素,.,如果,a,是集合,A,的元素,则记作,aA,读作,a,属于,A.,如果,a,不是集合,A,的元素,则记作,aA,读作,a,不属于,A.,对于一个给定的集合,其元素是确定的,.,某元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合,.,集合的概念,1.1.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,集合的表示法,1.1.2,1),列举法：,把属于某个集合的所有元素一一列举出来,写在大括号,(),内,.,【,例,1-4】,由不大于,4,的正整数组成的集合,A.,用列举法可表示为,:A=1,2,3,4,或,A=3,2,1,4.,【,例,1-5】,所有的奇自然数所组成的集合,B.,用列举法可表示为,:B=1,3,5,2n-1,.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,2),描述法：,把属于某个集合的元素所具有的某种共同属性描述出来写在大括号内,.,通常表示为,:A=x|x,具有的共同属性,.,【,例,1-6】,设,A,为由方程,x2-5x+4=0,的实根所组成的集合,.,用描述法可表示为,:A=x|x2-5x+4=0,x,为实数,.,【,例,1-7】,设,B,为由平面直角坐标系中第一、三象限内的点所组成的集合,.,用描述法表示为,:A=(x,y)|xy0;x,y,为实数,.,由研究的所有对象构成的集合称为全集,记为,I,或,U.,不含任何元素的集合称为空集,记为,.,注意,:,集合,0,不是空集,它含有一个元素“,0”.,【,例,1-8】,I=x|x20,x,为实数,为全集,A=x|x2+1=0,x,为实数,为空集,.,集合的表示法,1.1.2,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,1),包含关系：,设有集合,A,、,B,如果集合,A,的每一个元素都是集合,B,的元素,即“若,aA,有,aB”,则称集合,A,是集合,B,的子集,记为,AB,或,BA,读作,A,包含于,B,或,B,包含,A.,如果,A,是,B,的子集,并且,B,中至少有一个元素不属于,A,则称,A,是,B,的真子集,记为,AB,或,BA,集合与集合的包含关系可用图形,(,文氏图,),来表示,(,如图,1-1,所示,).,一般规定空集是任何集合,A,的子集,即,A;,子集有以下性质,:,若,AB,BC,则,AC.,集合与集合的关系,1.1.3,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,2),相等关系：,设有集合,A,、,B,若,AB,且,BA,则称集合,A,与,B,相等,记作,A=B.,【,例,1-9】,设,A=x|x0,B=x|x20,则有,AB.,【,例,1-10】,设,A=x|x2-2x+1=0,x,为实数,B=1,则,A=B.,集合与集合的关系,1.1.3,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,1),集合的并：,设有集合,A,、,B,由,A,与,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的并,记为,AB,即,AB=x|xA,或,xB,具体如图,1-2,所示,.,【,例,1-11】,设,A=1,3,5,7,B=2,4,6,则,:,AB=1,2,3,4,5,6,7,集合的并有以下性质,:,(1)AAB,BAB;,(2),对任何集合,A,有,:A=A,AA=A.,集合的运算,1.1.4,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,2),集合的交：,设有集合,A,、,B,由,A,与,B,的公共元素构成的集合称为,A,与,B,的交,记为,AB,即,:AB=x|xA,且,xB,如图,1-3,所示,.,集合的交有以下性质,:,(1)ABA,ABB;,(2),对任何集合,A,有,A=,AA=A.,【,例,1-12】,设,A=x|-10,则,:AB=x|x-1,AB=x|0 x3.,【,例,1-13】,设,A,为全体有理数集合,B,为全体无理数集合,则,:AB,为全体实数集合,而,AB,为空集,.,集合的运算,1.1.4,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,3),集合的差：,设有集合,A,和,B,属于,A,而不属于,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的差集,记为,A-B.,4),补集：,设,I,为全集,A,为,I,的子集,由全集,I,中不属于,A,的元素所组成的集合,称为,A,的补集,记为,A,如图,1-4,所示,.,即,:,A=x|xI,且,xA,补集有以下性质,:,AA=I;(2)AA=,.,【,例,1-14】,设全体学生为全集,I,如果男生为集合,A,则,A,表示为女生集合,.,集合的运算,1.1.4,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,集合的运算律,1.1.5,运算律,3),分配律,1),交换律,4),对偶律,(,德,摩根公式,),2),结合律,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,人们对数的认识从自然数发展到有理数,(,包括正负整数,正负分数及零,),再由有理数发展到无理数,(,例如,e,3,等,),如果令,p,q,为整数,且,q0,则一般有理数可用,p/q,表示,无理数不能用,p/q,表示,.,1),常用数集,:,实数集,R,有理数集,Q,整数集,Z,自然数集,N,【,例,1-15】,设,I=R,A=x|1x8,B=x|-1x4,则有,:,实数集,1.1.6,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,2),绝对值,在研究一些问题时,我们需要用到实数的绝对值的概念,.,实数,x,的绝对值记为,|x|,定义为,|x|=,|x|,的几何意义为数轴上点,x,到原点的距离,.,绝对值及其运算有以下性质,:,实数集,1.1.6,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,3),区间,设,a,b,为实数,且,ab,则有下列定义,:,实数集,1.1.6,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,【,例,1-16】,解下列不等式,并用区间表示解集,.,(1)|x+2|2,(3)|x2-3x+2|2,解,:,(1),由,|x+2|3,可得,-3x+23,所以,-5x2,可得,x-12.,得解为,x3,即,(-,-1)(3,+).,(3),由,|x2-3x-2|2,得,:-2x2-3x-22,即,.,由,x2-3x-40,得,-1x0,得,x3,或,x0.,所以得交集为,x|-1x0,或,3x4,用区间表示为,:(-1,0)(3,4).,实数集,1.1.6,01,PART,1.2,函数概述,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,1),几个实例：,在很多实际问题中,一个量的大小会依赖于另一个量,.,例如,消费者对牛肉的需求量依赖于市场上的牛肉的价格,;,市场上某种饮料的供应量依赖于气温的变化,;,一瓶葡萄酒的价格依赖于它的年份,;,等等,.,再看下面几个实际问题,.,问题,1,：,某销售员的月收入由两部分构成,第一部分是底薪,:4 500,元,第二部分是销售提成,设销售一件产品的提成是该产品销售价格的,1%,则如果该产品销售价格为,2,万元,那么该销售员月收入,y,与月销售产品的件数,x,之间可以用一个关系式,y=4500+200001%x(x0),表示,.,函数的概念,1.2.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,问题,2,：,20,年夏天,上海出现了罕见的持续,30,天的高温天气,.,表,1-1,给出了当年,8,月,11,日至,20,日每天的最高气温,其中,13,日出现了,40,的极端高温,.,从表,1-1,中我们可以看到,有日期,t,和气温,T,两个变量,当变量,t,在某一范围内变化时,最高气温,T,依赖于日期,t,的变化,并且当,t,取某一日期时,就有唯一的最高气温,T,与之对应,.,要注意的是,:,这里不存在任何可以计算温度的公式,否则我们就不需要气象局了,.,函数的概念,1.2.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,问题,3,：,图,1-5,反映了上海证券交易所的上证指数从,201,年,10,月,1,日到,201,年,12,月,31,日的,60,个交易日的变化情形,由此图可以看出在这段时间中上证指数随时间的变化,.,从图,1-5,中我们可以看到,有日期,t,和指数,I,两个变量,当变量,t,在某一范围内变化时,(201,年第四季度有,60,个交易日,),指数,I,随着日期,t,的变化而变化,并且当,t,取某一日期时,有唯一上证指数,I,与之相对应,.,函数的概念,1.2.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,2),函数的定义：,在以上各实际问题中,撇开各个变量的实际意义,可以发现它们的共同点是,:,这些问题均涉及两个变量,而且两个变量之间都有一个确定的依赖关系,(,我们称之为对应规则,),虽然这种依赖关系的表达方式不同,但当其中一个变量在某一范围内取值时,另一变量按照对应规则就有确定的值与之对应,.,两个变量的这种对应关系,实质上就是函数关系,.,定义,1-1,设有两个变量,x,和,y,D,是一个给定的数集,xD.,若对,D,中的每一个确定值,x,变量,y,按照一定的法则总有唯一确定的数值与之对应,则称,y,为,x,的函数,记做,y=f(x).,数集,D,叫做这个函数的定义域,x,叫做自变量,y,叫做因变量或函数值,.,当,x,取数值,x0D,时,与,x0,对应的,y,的数值称为函数,y=f(x),在点,x0,处的函数值,记做,f(x0).,当,x,取遍,D,的各个数值时,对应的函数值全体组成的数集为,:,W=y|y=f(x),xD,我们将该数集称为函数的值域,.,在平面直角坐标系中,自变量,x,在横轴上变化,因变量,y,在纵轴上变化,则平面点集,(x,y)|y=f(x),xD,即为定义在,D,上的函数,y=f(x),的图形,.,构成函数的两个基本要素是对应法则和定义域,而对应法则的表示方法一般有三种,:,解析式法,(,公式法,)(,如问题,1),、表格法,(,如问题,2),和图形法,(,如问题,3).,函数的概念,1.2.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,下面是几个函数的例子,:,【,例,1-17】,常数函数,y=9,其定义域是,(-,+),值域是,9.,【,例,1-18】,绝对值函数,y=|x|,其定义域是,(-,+),值域是,0,+).,【,例,1-19】,确定函数 的定义域,.,且,x2,时,函数 才能取确定实数,因此 的定义域为,.,求函数定义域时,通常应遵循以下规则,:,(1),分式函数的分母表达式不等于零,;,(2),偶次根式函数的根式内表达式大于等于零,;,(3),对数函数的真数内表达式大于零,.,函数的概念,1.2.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,【,例,1-20】,确定函数 的定义域,.,解,:,因此,的定义域为,D=(-2,1)(1,3.,类似,【,例,1-20】,的题目可按以下步骤求解,:,(1),根据上述规则列出不等式或不等式组,;,(2),解不等式或不等式组,;,(3),用解集表示所求定义域,.,函数的概念,1.2.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,1),函数的奇偶性,定义,1-2,函数,f(x),在对称域,D,上有定义,(D,关于,O,点对称,),且满足,:,(1)f(-x)=-f(x),则称函数,f(x),为奇函数,;,(2)f(-x)=f(x),则称函数,f(x),为偶函数,.,很明显,偶函数图像,(,如图,1-6,所示,),关于,Y,轴对称,奇函数图像,(,如图,1-7,所示,),关于,O,点对称,.,函数的特性,1.2.2,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,函数的特性,1.2.2,【,例,1-21】,判别下列函数的奇偶性,.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,2),函数的单调性,定义,1-3,设函数,f(x),的定义域为,D,区间,ID,如果对于区间,I,上任意两点,x1,x2,当,x1x2,恒有,f(x1)f(x2),则称函数,f(x),在区间,I,上单调增加,如图,1-8,所示,.,定义,1-4,设函数,f(x),的定义域为,D,区间,ID,如果对于区间,I,上任意两点,x1,x2,当,x1f(x2),则称函数,f(x),在区间,I,上单调减少,如图,1-9,所示,.,函数的特性,1.2.2,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,函数的特性,1.2.2,【,例,1-22】,讨论下列函数的单调性,.,(1)y=x (2)y=x2,解,:,当,x0,f(x2)-f(x1)0,函数单调增加,.,所以,函数在定义域上不单调,.,在本书第,4,章中我们有更有效的方法讨论函数的单调性,.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,3),函数的周期性,定义,1-5,设函数,f(x),的定义域为,D,如果存在一个不为零的实数,l,使得对于任意,xD,x+lD,恒有,f(x+l)=f(x),称,f(x),为周期函数,如图,1-10,所示,l,为,f(x),的周期,(,但通常所说的“周期函数”的“周期”是指其最小正周期用,T,表示,).,4),函数的有界性,定义,1-6,设函数,y=f(x),在区间,I(I,可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,),上有定义,如果存在一个正数,M,对于任意的,xI,总有,|f(x)|M,则称函数,y=f(x),在,I,上有界,否则称,y=f(x),在,I,上无界,.,函数的特性,1.2.2,01,PART,1.3,初等函数,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,定义,1-7,设,y=f(x),是定义在,D,上的函数,值域为,R,如果对每一个,yR,有一个确定的,xD,且满足,y=f(x),若将其对应规则记为,f-1,则函数,x=f-1(y),称为,y=f(x),的反函数,.,在,x=f-1(y),中,y,为自变量,x,为因变量,习惯上,用,x,作为自变量,y,作为因变量,所以通常将,y=f-1(x),作为,y=f(x),的反函数,.,反函数,y=f-1(x),与,y=f(x),的图形关于,y=x,对称,如图,1-11,所示,.,反函数,1.3.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,反函数,1.3.1,【,例,1-23】,求函数 的反函数,.,【,例,1-24】,求 的反函数,.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,1),常数函数：,y=c,定义域为,(-,+),图形为平行于,x,轴的一条直线,值域为,c,由图形得知常数函数不增不减,是关于,y,轴对称的有界函数,.,2),幂函数,y=x,(,是实常数,),：,该函数如图,1-12,所示,.,基本初等函数,1.3.2,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,3),指数函数,y=ax(a0,a1),：,定义域为,(-,+),值域为,(0,+),图形均过点,(0,1),当,a1,单调增加时,0a0,a1),：,定义域为,(0,+),都经过点,(1,0),当,a1,单调增加,0a0),供给函数为,Q=cP-d(c,d0),求均衡价格,Pe.,解,:,由,b-aPe=cPe-d,(a+c)Pe=b+d,可得,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,供给函数与需求函数,1.5.2,总收益,是指生产者出售一定量产品所得到的全部收入,.,设商品的价格为,P,商品量为,Q,总收益为,R.,而商品价格是商品量的函数,P=P(Q),则,R=R(Q)=QP(Q),称为总收益函数,.,称为平均收益函数,.,总利润,是指总收益减去总成本的差,.L=L(Q)=R(Q)-C(Q),称为利润函数,(,其中,Q,为销售量,).,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,收益函数和利润函数,1.5.3,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,收益函数和利润函数,1.5.3,【,例,1-32】,某企业生产某种产品,其固定成本为,1 000,元,单位产品的变动成本为,18,元,市场需求函数为,Q=90-P,求总利润函数,.,解,:,由题意可知,C0=1 000,C1(Q)=18Q,所以总成本函数为,C(Q)=1 000+18Q.,由需求函数,Q=90-P,可得,P=90-Q,于是得总收益函数为,R(Q)=QP=Q(90-Q)=90Q-Q2,因此,总利润函数为,:,L(Q)=R(Q)-C(Q)=90Q-Q2-(1 000+18Q)=-Q2+72Q-1 000,如果要把总利润函数表示为价格,P,的函数,R(P),只要把,Q=90-P,代入上式就可以了,.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,收益函数和利润函数,1.5.3,【,例,1-33】,某企业的成本可分为两部分,:,一是不受业务量影响的部分,(,如设备折旧费等,),称为固定成本,;,随业务量成正比例增长的另一部分称为可变成本,.,该企业固定成本总额为,1 500,万元,产品单价为,10,万元,单位可变成本,6,万元,若产品可以全部售出,且税率按,10%,计算,试求企业保本经营的最低产销量,(,或称盈亏临界点,).,解,:,如图,1-26,所示,横坐标表示产品销售量,纵坐标表示所发生的费用,.,设产量为,x,故而,y=1 500,为固定成本,企业总支出为,:y=,固定成本,+,可变成本,+,税费,=1 500+6x+10 x10%=7x+1 500,销售总收入为,y=10 x.,由图,1-26,可以看出,总支出线与总收入线在,x=500,处相交,所以,x500,为盈利区,x=500,为盈亏临界点,.,01,PART,1.6,Mathematica,软件介绍,1),定义函数,命令格式,:fx_=,函数表达式,或,fx_:=,函数表达式,或,f=Function,自变量,函数表达式,2),定义分段函数,命令格式,:Which,条件,1,表达式,1,条件,2,表达式,2,条件,n,表达式,n,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,定义函数,1.6 1,用,Clear,语句可以清除已经定义的函数和变量,使前面定义的函数和变量不再起作用,.,命令格式为,:Clearf;Clearx;,或,ClearAllx,y,f,g,在利用,Mathematica,进行运算时,应注意在使用变量和函数前先清除前面已经定义过的变量名和函数名,;,否则可能造成前面已经定义的变量数值和函数影响后面的计算,且不容易被发现,.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,清除已定义的变量和函数,1.6.2,1),变量赋值,变量赋值的命令格式,:,变量,=,数值,例如,要给变量赋值,6,只需在输入“,x=6”,后,同时按,Shift,和,Enter,键,.,2),函数值的计算,函数值的计算,除了中介绍的先定义函数、后代入变量值的方法以外,Mathematica,中还有其他的命令格式,:,(1),函数表达式,/.x,数值或,N,函数表达式,/.x,数值,;,(2)f(#0),或,Nf(#0);,(3)(f(#)&#0,或,N(f(#)&#0.,其中,#,表示函数的自变量,#0,表示自变量的取值,.,注意这里的自变量只能用,#,来表示,.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,变量赋值和函数值的计算,1.6.3,【,例,1-37】,计算函数,sin x,在,x=/4,的函数值,试比较用上述不同的键入方式所得到的结果,.,解,:,计算机处理如下,:,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,变量赋值和函数值的计算,1.6.3,1),利用,Mathematica,绘制一元函数的图形的语句格式,命令格式,:Plot,函数表达式,自变量名,自变量最小值,自变量最大值,或,Plot,函数表达式,自变量名,自变量最小值,自变量最大值,功能语句,其中功能语句是作图命令“,Plot”,的选项,常用的选项有,:,(1),指定作图区域,格式为,:,PlotRange,因变量最小值,因变量最大值,或,PlotRange,自变量最小值,自变量最大值,因变量最小值,因变量最大值,或,PlotRangeAll,(2),指定坐标轴名称,格式为,:,AxesLabel,横坐标名,纵坐标名,(3),指定图形显示的高与宽的比例,格式为,:,AspectRatio,值,或,AspectRatioAutomatic,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,绘制函数图形,1.6.4,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,绘制函数图形,1.6.4,【,例,1-38】,试作出函数,sin x,在,0,2,内的图形,.,解,:,计算机处理如下,:,In17:=PlotSinx,x,0,2Pi,Out17=-Graphics-,即可得到图,1-27.,下面我们加入一些功能语句,注意它们的区别,.,In18:=PlotSinx,x,0,2Pi,AxesLabelx,y,AspectRatio1,Out18=-Graphics-,即可得到图,1-28.,2),在同一个坐标系中作出几个函数的图形的语句格式,命令格式,:Plot,函数表达式,1,函数表达式,2,函数表达式,n,自变量,自变量最小值,自变量最大值,【,例,1-39】,在同一坐标系中,同时作出函数,sin x,和,cos x,在,-2,2,内的图形,.,解,:,计算机处理如下,:,In19:=PlotSinx,Cosx,x,-2Pi,2Pi,Out19=-Graphics-,即可得到图,1-29.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,绘制函数图形,1.6.4,谢,谢,观看,经济数学,（第五版）,高职高专专业基础课教材新系,完整版,ppt,课件,1,第,1,章函数,2,第,2,章极限与连续,3,第,3,章导数与微分,4,第,4,章导数的应用,5,第,5,章不定积分,6,第,6,章定积分,目,录,CONTENTS,7,第,7,章多元函数的微积分,CHAPTER,02,第,2,章,极限与,连续,一尺之棰,日取其半,万世不竭。,庄子,02,学习目标,知识目标,通过本章的学习,了解函数极限的描述性定义,无穷小、无穷大的概念及相互关系,函数连续与间断的概念,了解闭区间上连续函数的性质,.,01,02,通过本章的学习,掌握计算极限的常用方法、间断点的判断方法,并能利用,Mathematica,软件计算极限,.,03,通过本章的学习,会用动态的思维方式观察一些经济问题,.,技能目标,能力目标,02,PART,2.1,极限,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,1)x,时函数的极限,我们首先给出两个实际问题,在解决这两个问题的过程中,孕育了极限的思想方法：,问题,1,：,刘徽割圆术,.,极限概念的起源可以追溯到,2 500,年前的古希腊,那时的希腊人在计算一些由曲线围成的平面图形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法,.,而我国魏晋时期的大数学家刘徽,(,公元,3,世纪,),就曾用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后,4,位的数值,:3.1416.,设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为,A1;,再作内接正十二边形,其面积记为,A2;,再作内接正二十四边形,其面积记为,A3;,循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正,62n-1,边形的面积记为,An(nN).,这样,就得到一系列内接正多边形的面积,:,A1,A2,A3,An,函数的极限,2.1.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,问题,2,：,当一种新的耐用品通过广告推出后,使用它的人将越来越多,但随着时间的推移,这一产品的新使用者的增长率逐渐减小,使用产品的总人数,N(t),关于时间,t,的图形可近似地描绘为图,2-1.,可以想象,即使时间,t,无限向后推移,(,当时间,t,无限增大时,),使用产品的总人数,N(t),也不会超过所考虑区域内所有人的总数,它只可能越来越接近于不超过总人数,N,的某一确定值,即,t,趋于无穷大时,t,时刻使用产品的总人数,N(t),趋于某一饱和值,N0(N0,所考虑区域内的总人数,N).,反映在图形上,即当时间,t,越来越大时,它的图形越来越接近于直线,N(t)=N0,但无论如何也不会超过这一直线,.,上述两个问题中,有一个共同的特征,:,无论是求圆的面积,还是观察新产品使用人数的变化,实际上我们考虑的是两个变量之间的某种关系,即当一个变量按一定的方式变得越来越大时,确定另一个变量随之而变的变化趋势,.,函数的极限,2.1.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,定义,2-1,在自变量,x,的绝对值无限增大的变化过程中,如果函数,y=f(x),的对应值无限趋近于一个确定的常数,A,则称常数,A,为函数在自变量,x,趋向于无穷大时的极限,.,记做,:,Lim,（,x,）,f(x)=A,或,f(x)A,(x),当自变量,x,大于,0,而绝对值无限增大时,如果函数,y=f(x),的对应值无限趋近于一个确定的常数,A,则称常数,A,为函数在自变量,x,趋向于正无穷大时的极限,.,记做,:,lim(x+)f(x)=A,或,f(x)A,(x+),当自变量,x,小于,0,而绝对值无限增大时,如果函数,y=f(x),的对应值无限趋近于一个确定的常数,A,则称常数,A,为函数在自变量,x,趋向于负无穷大时的极限,.,记做,:,lim(x-)f(x)=A,或,f(x)A,(x-),若在自变量的某一变化过程中,函数不趋向于某一确定的常数,则称函数没有极限,.,问题,1,、问题,2,中用极限表示即为,lim(n+)An=A,lim(t+)N(t)=N0.,对于很多简单的函数可以通过观察定义域内的函数图形或通过计算较大范围内的函数值来给出函数的极限,.,函数的极限,2.1.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,函数的极限,2.1.1,【,例,2-1】,求解函数,f(x)=1/x,当,x,时的极限,.,解,:,取一系列自变量的值,x=1,10,1 000,100 000,(,见表,2-1).,函数的图形如图,2-2,所示,.,从图,2-2,以及表,2-1,中我们可以看出,lim,（,x,）,1/x=0.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,函数的极限,2.1.1,【,例,2-2】,求解函数,f(x)=e,-x,和函数,f(x)=e,x,当,x+,时的变化趋势,.,解,:,我们取一系列自变量的值,(,见表,2-2),并作出函数的图形,(,如图,2-3,所示,).,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,2)xx,0,时函数的极限,同样我们先看两个实际问题,:,问题,3,：,切线问题,.,微积分的一个中心问题是确定一条曲线在给定点处的切线,.,这个问题不仅仅是一个几何问题,许多自然科学以及社会科学的问题都用几何术语来描述,就是求切线的问题,.,函数的极限,2.1.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,问题,4,：,瞬时速度,.,设某点沿着直线运动,s,为该动点从某一选定时刻到时刻,t,所经过的路程,则,s,是,t,的一个函数,s=s(t),这个函数称为质点的路程函数,.,为了说明动点在各个不同时刻运动的快慢程度,我们需要确定该动点在各个时刻的“速度”,(,称为瞬时速度,).,在最简单的情形下,该点所经过的路程与所花的时间成正比,.,也就是说,无论取哪一段时间间隔,比值,“,经过的路程,”/“,所花的时间,”,。,总是相同的,这时就称动点作匀速运动,比值,(2.1),就是该动点在各个时刻的瞬时速度,.,如果在不同的时间间隔内,比值,(2.1),有不同的值,那么该动点的运动就是非匀速的,这时,把比值,(2.1),笼统地称为该点的速度就不合适了,而需要按不同的时刻来考虑,.,函数的极限,2.1.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,定义,2-2,在自变量,x,无限趋近于,x0,的变化过程中,如果函数,y=f(x),的对应值无限趋近于一个确定的常数,A,则称常数,A,为函数在自变量,x,趋向于,x0,时的极限,.,记做,:,Lim,（,xx,0,）,f(x)=A,或,f(x)A,(xx,0,),当自变量,x,大于,x0,而无限趋近于,x0,时,如果函数,y=f(x),的对应值无限趋近于一个确定的常数,A,则称常数,A,为函数在自变量,x,趋向于,x0,时的右极限,.,记做,:,当自变量,x,小于,x0,而无限趋近于,x0,时,如果函数,y=f(x),的对应值无限趋近于一个确定的常数,A,则称常数,A,为函数在自变量,x,趋向于,x0,时的左极限,.,记做,:,若在自变量的某一变化过程中,函数不趋向于某一确定的常数,则称函数没有极限,.,函数的极限,2.1.1,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,函数的极限,2.1.1,【,例,2-3】,观察函数 ，当,x,无限趋近于,1,时的极限,.,解,:,由于函数在,x=1,时无定义,我们给出表,2-3,当,x,从,1,的左右两侧无限趋近于,1,的时候,相应的函数值无限接近于,3.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,函数的极限,2.1.1,【,例,2-3】,图,2-5,图,2-6,图,2-7,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,在函数的极限中有两个很特殊的量,:,在自变量的某个变化过程中,一个是函数的极限为零,另一个是函数的绝对值无限增大,.,下面介绍有关的概念,.,1),无穷小与无穷大的定义及关系,(1),无穷小,.,定义,2-3,在自变量,x,的某一变化过程中,函数,f(x),以零为极限,则称在该变化过程中,函数,f(x),为无穷小量,(,简称无穷小,).,例如,由于,lim(x0)sin x=0,所以,当,x,无限趋近于零时,函数,sin x,为无穷小量,.,又如,lim(x)1/x=0,所以当,x,的绝对值无限增大,(x),时,函数,1/x,为无穷小量,.,无穷小与无穷大,2.1.2,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,(2),无穷大,.,定义,2-4,在自变量,x,的某一变化过程中,函数,f(x),的绝对值无限增大,则称在该变化过程中,函数,f(x),为无穷大量,(,简称无穷大,).,同样,无穷大也是指在自变量某一变化过程中,函数的绝对值无限增大的一种特殊的变化状态,.,为了便于叙述函数的这一性态,我们也说函数的极限是无穷大,以符号“”作为它的极限,.,例如,当,x0,时,函数,1/x,的绝对值无限增大,因此在,x,无限趋近于,0,这一变化过程中,函数,1/x,是无穷大量,.,用极限的记号记为,lim(x0)1/x=.,无穷小与无穷大,2.1.2,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,(3),无穷小与无穷大的关系,.,无穷小与无穷大之间有如下的关系,:,定理,2-1,在自变量的同一变化过程中,若,f(x),为无穷大,则,1/f(x),为无穷小,;,若,f(x),为无穷小,且,f(x)0,则,1/f(x),为无穷大,.,由该定理可知,对无穷大的研究可以转化为对无穷小的研究,反之亦然,.,无穷小与无穷大,2.1.2,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,2),无穷小的性质,无穷小与无穷大,2.1.2,性质,(1),有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量,.,(2),有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量,.,(3),有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量,.,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,【,例,2-6】,求极限,lim(x0)(xsin 1/x).,解,:,由于,|sin 1/x|1,即,sin1/x,为有界函数,而函数,x,当,x0,时是无穷小量,因此,函数,xsin1/x,是,x0,时的无穷小,即,lim(x0)(xsin 1/x)=0.,图,2-10,是函数,xsin1/x,的图形,从图中可见,当,x,无限趋近于,0,时,对应的函数值交替变化地取正负值,但是无限地趋近于,0.,无穷小与无穷大,2.1.2,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,点击添加文本,3),无穷小的阶,有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则会出现不同的情况,.,例如,当,x0,时,2x,x2,sin x,都是无穷小,但它们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小趋向于零的快慢程度,.,由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其极限是否存在