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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,一、问题提出,1.,自由落体运动瞬时速度问题,如图,取极限得,第1页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,播放,第2页,如图,假如割线,MN,绕点,M,旋转而趋向极限位置,MT,直线,MT,就称为曲线,C,在点,M,处,切线,.,极限位置即,第3页,二、导数定义,定义,第4页,其它形式,即,第5页,关于导数说明：,第6页,注意,:,第7页,播放,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第8页,2.,右导数,:,单侧导数,1.,左导数,:,第9页,第10页,第11页,三、由定义求导数,步骤,:,例,1,解,第12页,例,2,解,第13页,例,3,解,更普通地,比如,第14页,例,4,解,第15页,例,5,解,第16页,例,6,解,第17页,四、导数几何意义,切线方程为,法线方程为,第18页,例,7,解,由导数几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,第19页,五、可导与连续关系,定理 凡可导函数都是连续函数,.,证,第20页,连续函数不存在导数举例,0,比如,注意,:,该定理逆定理不成立,.,第21页,0,1,比如,第22页,比如,0,1,1/,1/,第23页,第24页,例,8,解,第25页,六、小结,1.,导数实质,:,增量比极限,;,3.,导数几何意义,:,切线斜率,;,4.,函数可导一定连续，但连续不一定可导,;,5.,求导数最基本方法,:,由定义求导数,.,6.,判断可导性,不连续,一定不可导,.,连续,直接用定义,;,看左右导数是否存在且相等,.,第26页,思索题,第27页,思索题解答,第28页,第29页,第30页,第31页,练习题答案,第32页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第33页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第34页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第35页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第36页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第37页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第38页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第39页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第40页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第41页,2.,切线问题,割线极限位置,切线位置,第42页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第43页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第44页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第45页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第46页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第47页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第48页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第49页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第50页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第51页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第52页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第53页,2.,导函数,(,瞬时改变率,),是函数平均改变率迫近函数,.,第54页,一、和、差、积、商求导法则,定理,第55页,证,(3),证,(1),、,(2),略,.,第56页,第57页,推论,第58页,二、例题分析,例,1,解,例,2,解,第59页,例,3,解,同理可得,第60页,例,4,解,同理可得,例,5,解,同理可得,第61页,例,6,解,第62页,第63页,三、小结,注意,:,分段函数,求导时,分界点导数用左右导数求,.,第64页,思索题,求曲线 上与 轴平行切线方程,.,第65页,思索题解答,令,切点为,所求切线方程为,和,第66页,练 习 题,第67页,第68页,练习题答案,第69页,一、反函数导数,定理,即,反函数导数等于直接函数导数倒数,.,第70页,证,于是有,第71页,例,1,解,同理可得,第72页,例,2,解,尤其地,第73页,二、复合函数求导法则,定理,即,因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,.(,链式法则,),第74页,证,第75页,推广,例,3,解,第76页,例,4,解,例,5,解,第77页,例,6,解,例,7,解,第78页,三、小结,反函数求导法则,（注意成立条件）,;,复合函数求导法则,（注意函数复合过程,合理分解正确使用链导法）,;,已能求导函数,:,可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数和、差、积、商,.,第79页,思索题,第80页,思索题解答,正确地选择是,（,3,）,例,在 处不可导，,取,在 处可导，,在 处不可导，,取,在 处可导，,在 处可导，,第81页,练 习 题,第82页,第83页,练习题答案,第84页,第85页,初等函数求导问题,1.,常数和基本初等函数导数公式,第86页,2.,函数和、差、积、商求导法则,设,),(,),(,x,v,v,x,u,u,=,=,可导，则,（,1,）,v,u,v,u,=,),(,（,2,）,u,c,cu,=,),(,（,3,）,v,u,v,u,uv,+,=,),(,（,4,）,),0,(,),(,2,-,=,v,v,v,u,v,u,v,u,.,(,是常数,),第87页,3.,复合函数求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处理,.,注意,:,初等函数导数仍为初等函数,.,第88页,例,1,解,第89页,例,2,解,第90页,小,结,任何初等函数导数都能够按常数和基本初等函数求导公式和上述求导法则求出,.,关键,:,正确分解初等函数复合结构,.,第91页,思索题,幂函数在其定义域内（）,.,第92页,思索题解答,正确地选择是,（,3,）,例,在 处不可导，,在定义域内处处可导，,第93页,练 习 题,第94页,练习题答案,第95页,一、高阶导数定义,问题,:,变速直线运动加速度,.,定义,第96页,记作,三阶导数导数称为四阶导数,二阶和二阶以上导数统称为,高阶导数,.,二阶导数导数称为三阶导数,第97页,二、高阶导数求法举例,例,1,解,1.,直接法,:,由高阶导数定义逐步求高阶导数,.,第98页,例,2,解,第99页,例,3,解,注意,:,求,n,阶导数时,求出,1-3,或,4,阶后,不要急于合并,分析结果规律性,写出,n,阶导数,.(,数学归纳法证实,),第100页,例,4,解,同理可得,第101页,例,5,解,第102页,2.,高阶导数运算法则,:,莱布尼兹公式,第103页,例,6,解,第104页,3.,间接法,:,惯用高阶导数公式,利用已知高阶导数公式,经过四则,运算,变量代换等方法,求出,n,阶导数,.,第105页,例,7,解,第106页,例,8,解,第107页,三、小结,高阶导数定义；,高阶导数运算法则,(,莱布尼兹公式,);,n,阶导数求法,;,1.,直接法,;,2.,间接法,.,第108页,思索题,设 连续，且 ，,求,.,第109页,思索题解答,可导,不一定存在,故用定义求,第110页,练 习 题,第111页,第112页,第113页,练习题答案,第114页,第115页,一、隐函数导数,定义,:,隐函数显化,问题,:,隐函数不易显化或不能显化怎样求导,?,隐函数求导法则,:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,.,第116页,例,1,解,解得,第117页,例,2,解,所求切线方程为,显然经过原点,.,第118页,例,3,解,第119页,二、对数求导法,观察函数,方法,:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数,.,-,对数求导法,适用范围,:,第120页,例,4,解,等式两边取对数得,第121页,例,5,解,等式两边取对数得,第122页,普通地,第123页,三、由参数方程所确定函数导数,比如,消去参数,问题,:,消参困难或无法消参怎样求导,?,第124页,由复合函数及反函数求导法则得,第125页,第126页,例,6,解,第127页,所求切线方程为,第128页,例,7,解,第129页,第130页,例,8,解,第131页,四、相关改变率,相关改变率问题,:,已知其中一个改变率时怎样求出另一个改变率,?,第132页,例,9,解,仰角增加率,第133页,例,10,解,水面上升之速率,4000m,第134页,五、小结,隐函数求导法则,:,直接对方程两边求导,;,对数求导法,:,对方程两边取对数,按隐函数求导法则求导,;,参数方程求导,:,实质上是利用复合函数求导法则,;,相关改变率,:,经过函数关系确定两个相互依赖改变率,;,解法,:,经过建立二者之间关系,用链式求导法求解,.,第135页,思索题,第136页,思索题解答,不对,第137页,练 习 题,第138页,第139页,第140页,第141页,练习题答案,第142页,第143页,一、问题提出,实例,:,正方形金属薄片受热后面积改变量,.,第144页,再比如,既轻易计算又是很好近似值,问题,:,这个线性函数,(,改变量主要部分,),是否全部函数改变量都有,?,它是什么,?,怎样求,?,第145页,二、微分定义,定义,(,微分实质,),第146页,由定义知,:,第147页,三、可微条件,定理,证,(1),必要性,第148页,(2),充分性,第149页,例,1,解,第150页,四、微分几何意义,M,N,T,）,几何意义,:(,如图,),P,第151页,五、微分求法,求法,:,计算函数导数,乘以自变量微分,.,1.,基本初等函数微分公式,第152页,2.,函数和、差、积、商微分法则,第153页,例,2,解,例,3,解,第154页,六、微分形式不变性,结论,：,微分形式不变性,第155页,例,4,解,例,3,解,第156页,例,5,解,在以下等式左端括号中填入适当函数,使等式成立,.,第157页,七、小结,微分学所要处理两类问题,:,函数改变率问题,函数增量问题,微分概念,导数概念,求导数与微分方法,叫做,微分法,.,研究微分法与导数理论及其应用科学,叫做,微分学,.,导数与微分联络,:,第158页,导数与微分区分,:,第159页,思索题,第160页,思索题解答,说法不对,.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到，导数是从函数改变率问题归纳出函数增量与自变量增量之比极限，它们是完全不一样概念,.,第161页,练 习 题,第162页,第163页,练习题答案,第164页,第165页,一、计算函数增量近似值,例,1,解,第166页,二、计算函数近似值,例,1,解,第167页,第168页,惯用近似公式,证实,第169页,例,2,解,第170页,三、误差预计,因为测量仪器精度、测量条件和测量方法等各种原因影响，测得数据往往带有误差，而依据带有误差数据计算所得结果也会有误差，我们把它叫做,间接测量误差,.,定义：,问题,:,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得,?,第171页,方法,:,将误差确定在某一个范围内,.,通常把绝对误差限与相对误差限简称为,绝对误差,与,相对误差,.,第172页,例,3,解,第173页,四、小结,近似计算基本公式,第174页,练习题,第175页,第176页,练习题答案,第二章习题课,第177页,求 导 法 则,基本公式,导 数,微 分,关 系,高阶导数,高阶微分,一、主要内容,第178页,1,、导数定义,定义,第179页,2.,右导数,:,单侧导数,1.,左导数,:,第180页,2,、基本导数公式,（常数和基本初等函数导数公式）,第181页,3,、求导法则,(1),函数和、差、积、商求导法则,(2),反函数求导法则,第182页,(3),复合函数求导法则,(4),对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数,.,适用范围,:,第183页,(5),隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,.,(6),参变量函数求导法则,第184页,4,、高阶导数,记作,二阶导数导数称为三阶导数,(,二阶和二阶以上导数统称为,高阶导数,),第185页,5,、,微分定义,定义,(,微分实质,),第186页,6,、导数与微分关系,定理,7,、微分求法,求法,:,计算函数导数,乘以自变量微分,.,第187页,基本初等函数微分公式,第188页,函数和、差、积、商微分法则,8,、微分基本法则,微分形式不变性,第189页,二、经典例题,例,1,解,第190页,例,2,解,第191页,例,3,解,分析,:,不能用公式求导,.,第192页,例,4,解,两边取对数,第193页,例,5,解,先去掉绝对值,第194页,第195页,例,6,解,第196页,例,7,解,第197页,测 验 题,第198页,第199页,第200页,第201页,第202页,第203页,第204页,测验题答案,第205页,第206页,
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