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,2013,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,高 等 数 学,苏州大学出版社,第1页,C1.函数与向量,C2.极限与连续,C4.中值定理与导数应用,C5.定积分与不定积分,C3.导数与微分,主要内容,C8.微分方程,C6.二重积分与曲线积分,C7.无穷级数,C9.概率论基础,第2页,第三章,导数与微分,第三节 高阶导数、高阶偏导数,第一节 导数、偏导数及其运算,第二节 微分与全微分,第四节 参数方程与隐函数方程微分法,习题课,第3页,3.1,导数、偏导数及其运算,一、导数定义,二、函数求导运算法则,三、偏导数概念与计算,第4页,一、导数定义,引例1.变速直线运动速度,设描述质点运动位置函数为,则 到 平均速度为,而在 时刻瞬时速度为,自由落体运动,引例2.曲线切线斜率,曲线,在,M,点处切线,割线,M N,极限位置,M T,(当 时),切线,MT,斜率,第5页,改变率问题引出导数定义,定义1.,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,某邻域内有定义,在点,处,可导,在点,导数,.,第6页,运动质点位置函数,在 时刻瞬时速度,曲线,在,M,点处切线斜率,说明:,在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,第7页,若上述极限不存在,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间,I,内每点都可导,此时导数值组成新函数称为,导函数,.,记作:,注意,:,就说函数,就称函数,在,I,内可导.,导数为,无穷大,.,第8页,例1.,用定义推导以下求导公式,:,(,C,为常数),解:,即,解:,说明：,对普通幂函数,(为常数),（以后将证实）,第9页,比如，,现在先应用普通公式能够得到,解:,特殊地,第10页,解:,令,则,即,类似可证得,解:,第11页,例2.,证实函数,在,x,=0 不可导.,证:,不存在,例3.,设,存在,求极限,解:,原式,第12页,1.导数几何意义,曲线,在点,切线斜率为,切线方程:,法线方程:,思索:,曲线,哪一点有垂直切线?哪一点处,切线与直线,平行?写出其切线方程.,提醒:,在原点(0,0)有垂直切线,在点(1,1),(1,1)处,第13页,证:,设,在点,x,处可导,存在,所以必有,其中,故,所以函数,在点,x,连续.,注意:,函数在点,x,连续未必可导,.,反例:,在,x,=0,处连续,但不可导.,即,2.一元函数可导性与连续性关系,定理1.,第14页,在点,某个,右,邻域内,3.单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处,右 导数,记作,即,(左),(,左,),比如,在,x,=0 处有,定义2,.,设函数,有定义,存在,第15页,定理2.,函数,在点,且,存在,简写为,在点,处,右,导数存在,定理3.,函数,在点,必,右,连续.,(,左,),(,左,),若函数,与,都存在,则称,显然:,在闭区间,a,b,上可导,在开区间,内可导,在闭区间,上可导.,可导,充分必要条件,是,且,第16页,二、函数求导运算法则,1.函数四则运算求导法则,和、,差、,积、,商(除分母,为 0点外)都在点,x,可导,且,下面省略证实,给出对应推论和例题.,第17页,和差法则可推广到任意有限项情形.,(,C,为常数),积法则可有推论:,(,C,为常数),商法则可有推论:,第18页,例4.,求解以下导数问题:,解:,解:,求,第19页,(3).,求证,证:,类似可证:,第20页,2、反函数求导法则,y,某邻域内单调可导,证:,在,x,处给增量,由反函数单调性知,且由反函数连续性知,所以,第21页,例5.,求反三角函数及指数函数导数.,解:,1)设,则,类似可求得,利用,则,第22页,在点,x,可导,3、复合函数求导法则,在点,可导,复合函数,且,在点,x,可导,比如,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广,：,此法则可推广到多个中间变量情形.,第23页,例6.,求以下导数:,解:,(1),(2),(3).,设,求,解:,(4).,设,解:,第24页,两边取对数,利用复合函数求导法则,两边对,x,求导,解:,即,第25页,指数求导法,两边求对数,对于幂指函数,对数求导法,两边求导,能够使用以下两种方法:,即,其实对数求导法适合更普通情形,如类似前例(5)复杂积商函数情形.,第26页,初等函数求导问题,由常数和基本初等函数导数公式,(P76),有限次四则运算求导法则,与复合函数求导法则,可得结论:,且导数仍为初等函数,初等函数在定义区间内可导,第27页,三、偏导数定义及其计算法,在点,存在,偏导数，记为,某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,第28页,一样可定义对,y,偏导数,若函数,z=f,(,x,y,)在域,D,内每一点,(,x,y,)处对,x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或,y,偏导数存在,第29页,比如,三元函数,u=f,(,x,y,z,)在点(,x,y,z,)处对,x,偏导数概念能够推广到二元以上函数.,偏导数定义为,(请自己写出),第30页,二元函数偏导数几何意义:,是曲线,在点,M,0,处切线,对,x,轴斜率.,在点,M,0,处切线,斜率.,是曲线,对,y,轴,第31页,多元函数在某点各偏导数都存在,显然,比如,注意：,但在该点,不一定连续,.,在上节已证,f,(,x,y,),在点,(0,0),并不连续,!,第32页,例7.,求,解法,1:,解法,2:,在点,(1,2),处偏导数.,第33页,例8.,设,证:,例9.,求,偏导数.,解:,求证,第34页,偏导数记号是一个,例10.,已知理想气体状态方程,求证:,证,:,说明:,(,R,为常数),不能看作,分子与分母商!,此例表明,整体记号,第35页,3.2,微分与全微分,一、微分概念与计算,二、全微分概念与计算,第36页,一、微分概念与计算:,引例:,一块正方形金属薄片受温度改变影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为,x,面积为,A,则,面积增量为,关于,x,线性主部,高阶无穷小,时为,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,定义1:,若函数,在点 增量可表示为,(常数,A,不依赖于,x,),微分,则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,第37页,定理1,函数,在点 可微,充要条件,是,即,习惯上,证:,必要性,已知,在点 可微,则,故,在点,可导,且,充分性:,已知,即,在点 可导,则,自变量微分,记作,第38页,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微分几何意义,切线纵坐标增量,则有,导数也叫作,微商,第39页,比如,由基本初等函数求导公式能够推出对应微分公式,又如,还能够得到以下,微分运算法则,设,u,(,x,),v,(,x,)均可微,则,(,C,为常数),第40页,分别可微,微分为,微分形式不变,5.复合函数微分,则复合函数,第41页,例1.,求以下微分问题:,求,解:,(2),设,求,解:,利用一阶微分形式不变性,有,第42页,(3),在以下括号中填入适当函数使等式成立:,说明:,上述微分反问题是不定积分要研究内容.,注意:数学中反问题往往出现多值性.,近似值.,(4),求,解:,设,取,由,第43页,当,很小时,由,近似值.,解:,(5).,计算,惯用近似公式:,能够推出,第44页,二,、全微分定义与计算,定义2:,假如函数,z=f,(,x,y,)在定义域,D,内点(,x,y,),可表示成,其中,A,B,不依赖于,x,y,仅与,x,y,相关，,称为函数,在点(,x,y,),全微分,记作,若函数在域,D,内各点都可微,则称函数,f,(,x,y,)在点(,x,y,),可微,，,处全增量,则称此函数,在,D,内可微,.,1.全微分定义,第45页,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数关系:,(1)函数可微,函数,z=f,(,x,y,)在点(,x,y,)可微,由微分定义:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,2.可微条件与连续性关系:,第46页,定理2,(必要条件),若函数,z=f,(,x,y,)在点(,x,y,),可微,则该函数在该点偏导数,必存在,且有,反例:,函数,注意:,.,偏导数存在函数 不一定可微,易知,但,所以,函数在点(0,0)不可微.,定理2 逆定理不成立,即,第47页,定理3,(充分条件),若函数,偏导数,则函数在该点,可微分,.,反例:,函数,注意:,.,偏导数连续是可微充分条件,但不是必要!,易知,且,但偏导函数,在点(0,0)不连续.,第48页,3.全微分叠加原理:,若函数,z=f,(,x,y,)在点(,x,y,),可微,常记为,习惯上把自变量增量用微分表示,类似可讨论三元及三元以上函数可微性问题.,比如,三元函数,全微分为,记作,故有下述叠加原理,称为,偏微分,.,第49页,例,2.,求以下函数全微分:,在点(2,1)处全微分.,解:,(2).,计算函数,全微分.,解:,(1),计算函数,第50页,4.多元复合函数求导微分法则,定理4.,若函数,处偏导连续,在点,t,可导,则复合函数,且有链式法则,说明,:,1)若定理中,偏导数连续,减弱为,偏导数存在,则定理结论,不一定成立.,2)若定理中,偏导数连续,减弱为,可微,则定理结论,依然成立.,第51页,推广:,1)中间变量多于两个情形.,比如,设下面所包括函数都可微.,2)中间变量是多元函数情形.,比如,第52页,多元复合函数全微分形式不变性:,设函数,全微分为,可见不论,u,v,是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表示,形式都一样,这性质叫做,全微分形式不变性.,第53页,例3.设,解法一:,解法二,:,可得出一样结论!,第54页,例,4.,解,:,第55页,例5.,设,求全导数,解:,思索一下怎样用其它方法呢?,例6,.已知,求,解:,由,两边对,x,求导,得,由,第56页,3.3,高阶导数、高阶偏导数,一、高阶导数,二、高阶偏导数,第57页,一、高阶导数概念与计算,速度,即,加速度,即,引例,：,变速直线运动,定义1.,若函数,导数,可导,或,即,或,二阶导数,记作,导数为,则称,类似地,二阶导数导数称为三阶导数,阶导数导数称为,n,阶导数,依次类推,分别记作,第58页,或,例1.,求以下函数n 阶导数:,(1)设,求,解:,依次类推,可得,思索:,设,问,第59页,(2).,设,求,解:,尤其有:,解:,要求 0!=1,思索:,(3).,设,求,第60页,(4),设,求,解:,普通地,类似可证:,第61页,二、高阶偏导数概念与计算,设,z=f,(,x,y,)在域,D,内存在连续偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f,(,x,y,),二阶偏导数,.,按求导次序不一样,有以下四个二阶偏导,数:,第62页,类似能够定义更高阶偏导数.,比如，,z=f,(,x,y,)关于,x,三阶偏导数为,则,定理.,本定理对,n,元函数高阶混合导数也成立.,(证实略),比如,对三元函数,u=f,(,x,y,z,),当三阶混合偏导数,在点(,x,y,z,),连续,时,有,第63页,例2.,求函数,解,:,二阶偏导数及,说明:,函数在其定义区域内是连续,故求初等函数高阶导,数能够选择方便求导次序.,因为初等函数偏导数仍为初等函数,而初等,第64页,注意:,但这一情形并不总成立.,比如,当,当,二者不等,二者相等,第65页,例3.,证实函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,第66页,为简便起见,引入记号,例4.,设,f,含有二阶连续偏导数,求,解:,令,则,第67页,思索:,设,二阶偏导数连续,证实以下表示式在极坐标,系下形式:,第68页,3.4,参数方程与隐函数方程微分法,一、参数方程确定函数求导,二、隐函数确定函数求导,第69页,一、由参数方程确定函数导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成,x,是,y,函数),关系,第70页,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定函数,可求二阶导数.,利用新参数方程,可得,例1:,解:,求,第71页,例2.,设,且,求,解:,为两可导函数,之间有联络,之间也有联络,称为,相关改变率,相关改变率问题,解法:,第72页,例3.,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为,500 m,时,观察员,视线仰角增加率是多少?,解:,设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,=500m 时,第73页,二、隐函数方程确定函数求导,若由方程,可确定,y,是,x,函数,由,表示函数,称为,显函数,.,比如,可确定显函数,可确定,y,是,x,函数,但此隐函数不能显化.,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(含导数 方程),第74页,例4.,求由方程,在,x,=0,处导数,解:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0 时,y,=0,故,确定隐函数,第75页,例5.,求椭圆,在点,处切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,第76页,例6,对,x,求导,两边取对数,解:,求导函数?,第77页,下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定函数求导问题.,定理1.,设函数,则方程,单值连续函数,y=f,(,x,),并有连续,(,隐函数求导公式,),定理证实从略.,含有连续偏导数;,某邻域内,可唯一确定一个,在点,某一邻域内满足,满足条件,导数,第78页,例7,.,验证方程,在点(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可导隐函数,解:,令,连续,由 定理1 可知,导隐函数,则,在,x=,0,某邻域内方程存在单值可,且,求,第79页,两边对,x,求导,两边再对,x,求导,令,x,=0,注意此时,导数另一求法,利用隐函数求导,第80页,定理2.,若函数,某邻域内含有,连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z=f,(,x,y,),定理证实从略.,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,第81页,例8,.,设,解法1,利用隐函数求导,再对,x,求导,第82页,解法2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,第83页,隐函数存在定理还能够推广到方程组情形,但这里仅给出实例解法,对Jacobi行列式表示形式只作简单介绍!,由,F、G,偏导数组成行列式,称为,F、G,雅可比(Jacobi),行列式.,以两个方程确定两个隐函数情况为例,即,下例方法普通化可推出P92 定理3 结论,.,第84页,例9.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习:,求,答案:,由题设,故有,第85页,P92 1(1)(2),2(1)(3),3(1)(3)(5)(6);,作业,P93 4(2)(4)(6)(7),5(2)(3)(4),6,;,P93 7(1)(3)(4),8,9(2);,P95 18(2)(4),19(1)(4),20;,P95 21(2),22;,P95 23(1)(2),24(2)(4)(5),25;,P94 10(2)(3),12,13(1)(2),15,16(2);,P96 27,30;,第86页,
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