第14章第1节偏导数和全微分的概念.pptx

14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念1 在多元函数极限和连续概念基础上在多元函数极限和连续概念基础上,讨论讨论多元函数的偏导数和全微分及其在几何方面多元函数的偏导数和全微分及其在几何方面的应用。为学习多元函数积分学奠定基础。的应用。为学习多元函数积分学奠定基础。Chapter14.偏导数和全微分偏导数和全微分教学目的：教学目的：教学重点和难点：教学重点和难点：多元函数的偏导数的概念多元函数的偏导数的概念14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念21.偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念2.求复合函数偏导数的链式法则求复合函数偏导数的链式法则3.由方程（组）所确定的函数的求导由方程（组）所确定的函数的求导 法法4.空间曲线的切线和法平面空间曲线的切线和法平面5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线6.方向导数和梯度方向导数和梯度7.泰勒公式泰勒公式Chapter14.偏导数和全微分偏导数和全微分教学内容：教学内容：14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念3一、偏导数的定义一、偏导数的定义14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念4二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念514.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念614.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念7偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数.14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念8由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。微分法问题。只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念9解解把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解解把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念10解：解：14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念11在某一点偏导数存在与连续的关系在某一点偏导数存在与连续的关系:但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续连续.连续连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念12偏导数的几何意义偏导数的几何意义如图如图14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念13几何意义几何意义:14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念14二、全微分的定义二、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念15全增量的概念全增量的概念14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念16全微分的定义全微分的定义14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念17事实上事实上可微可微连续连续14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念18即即定理定理1 14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念19证明证明:总成立总成立,同理可得同理可得(证毕证毕)14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念20一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在例如例如:微分存在微分存在全微分存在全微分存在说明：说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念21证明证明14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念2214.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念23同理同理(第二个方括号内应用第二个方括号内应用)这里是说这里是说:14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念24全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和称为二元函数的之和称为二元函数的微分符合微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念25解解(2,1)处的全微分处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念26例例5:解：解：14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念27解解所求全微分所求全微分14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念28证明证明 （1）令令(先证连续先证连续)14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念29(再证偏导数存在再证偏导数存在)14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念3014.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念31总结：总结：14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念32函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念33练习练习14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念34三、高阶偏导数与高阶全微分三、高阶偏导数与高阶全微分纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.(先对先对x后对后对y)(先对先对y后对后对x)14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念35解解14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念36解解14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念37问题问题:混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？定理定理3证明：证明：作辅助函数作辅助函数14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念3814.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念39于是有于是有(证毕证毕)14.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念4014.1 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念41解解