《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第二章-第3节-函数的奇偶性与周期性.docx

第3节　函数的奇偶性与周期性

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
函数的奇偶性
1,2,3

15
函数的周期性与对称性
4,7,9
13,14

函数性质的综合应用
5,6,8,10
11,12
16

1.(2021·北京房山区一模)下列函数中,值域为[0,+∞)且为偶函数的是(　C　)
A.y=cos x B.y=|x+1|
C.y=x2 D.y=x-x3
解析:y=cos x的值域为[-1,1],不符合题意;y=|x+1|为非奇非偶函数,不符合题意;
y=x-x3为奇函数,不符合题意;y=x2≥0且为偶函数,符合题意.故选C.
2.(2021·河北张家口高三质检)下列函数中,既是奇函数又在定义域内单调递增的是(　A　)
A.f(x)=ex-e-x B.f(x)=2x+2-x
C.f(x)=-1x D.f(x)=ln |x|
解析:函数f(x)=ex-e-x为奇函数,且在定义域内单调递增,因此A符合题意;
函数f(x)=2x+2-x为偶函数,因此B不符合题意;
函数f(x)=-1x是奇函数,在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增,因此C不符合题意;
函数f(x)=ln|x|为偶函数,因此D不符合题意.故选A.
3.(2021·福建厦门一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+t,则f(-6)=(　A　)
A.-2 B.2
C.-4 D.4
解析:根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+t,
则f(0)=log22+t=t+1=0,则t=-1,则当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,
则f(6)=log28-1=3-1=2,又f(x)为奇函数,则f(-6)=-f(6)=-2.故
选A.
4.(2021·河南郑州高三一模)设f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x-1)=f(x+1),当0≤x≤1时,f(x)=5x(1-x),则f(-2 020.6)= (　D　)
A.2125 B.710 C.-85 D.-65
解析:对任意的x∈R,f(x-1)=f(x+1),即f(x)=f(x+2),
所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,所以f(-2 020.6)=f(-0.6).
由于函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)= 5x(1-x).
因此f(-2 020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-5×0.6×(1-0.6)=-65.故选D.
5.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,则函数f(x)在[3,5]上是(　D　)
A.增函数　 B.减函数　
C.先增后减的函数　 D.先减后增的函数
解析:根据题意,因为f(x+1)=-f(x),
所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数的周期是2.
又f(x)是定义在R上的偶函数,且在[-1,0]上是减函数,
所以函数f(x)在[0,1]上是增函数.
所以函数f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,3]上是增函数,在[3,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数,所以f(x)在[3,5]上是先减后增的函数.故选D.
6.(2021·四川南充高三三模)已知f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数,若f(-1)>-6,f(2 021)=3-a2a-4,则实数a的取值范围是(　C　)
A.(-∞,2111)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2111)∪(2,+∞)
D.(2111,2)
解析:因为f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数,
所以f(2 021)=f(5×404+1)=f(1)=f(-1),因为f(2 021)=3-a2a-4, f(-1)>-6,
所以3-a2a-4>-6,整理得11a-212a-4>0,解得a<2111或a>2,
所以实数a的取值范围是(-∞,2111)∪(2,+∞).故选C.
7.(多选题)已知y=f(x+1)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(2-x),当x∈[-1,1)时,f(x)=2x,则下列说法正确的是(　ABD　)
A.y=f(x)图象的对称中心为(1,0)
B.y=f(x)图象的对称轴方程为x=3
C.4是函数的周期
D.f(2 021)+f(2 022)=1
解析:因为f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以y=f(x)图象的对称中心为(1,0),且f(1)=0.因为f(x+4)=f(2-x),所以y=f(x)图象的对称轴方程为x=3,故f(x)的周期T=8,f(2 021)=f(5)=f(1)=0,f(2 022)= f(6)=f(0)=1,从而f(2 021)+f(2 022)=1.故选ABD.
8.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　D　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
解析:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=-f(2) =f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3].故选D.
9.(2021·江苏淮安高三三模)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 021)=　　　　. 
解析:由题意知f(2 021)=f(3×674-1)=f(-1),而f(-1)=2f(10)+3,
所以f(-1)=2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3,即3f(-1)=3,
所以f(-1)=1,故f(2 021)=1.
答案:1
10.(2021·陕西宝鸡高三一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)=a-2x1+2x,则a=　　　　;当x∈[1,3]时,f(x)=　　　　. 
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=a-2x1+2x,所以f(0)=a-12=0,所以a=1.
当x∈[1,3]时,2-x∈[-1,1],f(x)=f(2-x)=1-22-x1+22-x=2x-42x+4.
答案:1　2x-42x+4

11.(2021·福建福州高三期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,如果f(3)=-1,则不等式f(x-1)+1≥0的解集为(　C　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,4] D.[1,4]
解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以f(x)在(-∞,0)上是增函数,由f(3)=-1,则不等式f(x-1)+1≥0⇒f(x-1)≥-1⇒f(x-1)≥f(3)⇒f(|x-1|)≥f(3)⇒|x-1|≤3,解得-2≤x≤4,故不等式的解集为[-2,4].故选C.
12.(2021·山西阳泉三模)已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)>0,则下列不等关系成立的是(　C　)
A.m+n>1 B.m+n<1
C.m-n>-1 D.m-n<-1
解析:因为f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x-exex+e-x=-f(x),所以f(x)是定义在R上的奇函数,
f(x)=1-e-2x1+e-2x=-1+21+e-2x,则f(x)是定义在R上的增函数,所以由f(2m-n) +f(2-n)>0得,f(2m-n)>f(n-2),所以2m-n>n-2,所以m-n>-1.故选C.
13.(多选题)已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),则下列说法正确的是(　ABC　)
A.f(x)在(-2,1)上单调递增
B.f(x)在(1,4)上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析:由f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)可得x+2>0,4-x>0,解得-2<x<4.
因为f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(-x2+2x+8),
令u(x)=-x2+2x+8,则函数u(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=1.
所以函数u(x)在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,
根据复合函数的单调性可得f(x)在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,
因为f(1-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,因此A,B,C正确,D错误.故选ABC.
14.(2021·福建名校联盟优质校高三联考)若称函数f(x)为“准奇函数”,则必存在常数a,b,使得对定义域内的任意x值,均有f(x)+ f(2a-x)=2b,请写出一个a=2,b=2的“准奇函数”(填写解析式):　　　　　　. 
解析:由f(x)+f(2a-x)=2b,知“准奇函数”f(x)的图象关于点(a,b)对称,若a=2,b=2,即f(x)的图象关于点(2,2)对称,如y=1x向右平移2个单位长度,向上平移2个单位长度,得到f(x)=2+1x-2=2x-3x-2,其图象关于点(2,2)对称.
答案:f(x)=2x-3x-2(答案不唯一)

15.(2021·新高考 Ⅱ 卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(　B　)
A.f(-12)=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
解析:因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),
可得f(x+3)=f(1-x),
因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),
所以f(1-x)=-f(x+1),
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),
故函数f(x)是以4为周期的周期函数,
因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,
则F(0)=f(1)=0,
故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.故选B.
16.(2021·江苏启东高三模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,且f(4-x)+f(x)=0,则使得不等式f(x2+x)+f(x+1)<0成立的实数x的取值范围是(　C　)
A.-3<x<1 B.x<-1或x>3
C.x<-3或x>1 D.x≠-1
解析:f(4-x)+f(x)=0,则f(x)关于点(2,0)对称,因为f(x)在[2,+∞)上单调递减,所以f(x)在R上单调递减,所以f(x+1)=-f(3-x),由f(x2+x)+f(x+1)<0得f(x2+x)-f(3-x)<0,所以f(x2+x)<f(3-x),所以x2+x>3-x,解得x>1或x<-3.故选C.