2021北京初三(上)期中数学汇编：弧、弦、圆心角.docx

2021北京初三（上）期中数学汇编
弧、弦、圆心角
一、单选题
1．（2021·北京铁路二中九年级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（          ）

A．45° B．60° C．80° D．90°
2．（2021·北京市月坛中学九年级期中）如图，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，那么∠AOE等于（       ）

A．40° B．50° C．60° D．120°
二、填空题
3．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）

4．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，若 ，则AC与2CD的大小关系是：AC__2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）

5．（2021·北京市第五十六中学九年级期中）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有_______________．

6．（2021·北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．

7．（2021·北京八十中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论
①AC＝BD；
②AM＝BN；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．
所有正确结论的序号是 ___．

三、解答题
8．（2021·北京市月坛中学九年级期中）已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD

9．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．

10．（2021·北京市第五十四中学九年级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．

（1）求证：BC=BD；
（2）若BC=15，AD= 20，求AB和CD的长．
11．（2021·北京市第一五九中学九年级期中）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

已知：⊙O．
求作：⊙O的内接正三角形．
作法：如图，
①作直径AB；
②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；
③连接AC，AD，CD．
所以△ACD就是所求的三角形．
根据小董设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC=OB=BC，
∴△OBC为等边三角形（_______________）（填推理的依据）．
∴∠BOC=60°．
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．
同理∠AOD=120°，
∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．
∴AC=CD=AD（_______________）（填推理的依据）．
∴△ACD是等边三角形．
12．（2021·北京育才学校九年级期中）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．

13．（2021·北京十五中九年级期中）下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形．
作法：
如图，①作直径AB；
②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；
③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝　 °．
∴∠AOC＝　 °．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（　 　）（填推理的依据）．
∴△ACD是等边三角形．
14．（2021·北京市第四十三中学九年级期中）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．

15．（2021·北京市三帆中学九年级期中）在∠MON的两边OM，ON上分别取点H，I，作弧HI（可以是优弧，也可以是劣弧）．若弧HI上所有点都在∠MON内部或边上，称点H、I是∠MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为∠MON的“角半径”，记为．例如，下图1、图2、图3中的H、I都是∠MON的内嵌点．已知∠MON=60°，H、I是∠MON的内嵌点时，

（1）当OH=OI=2时，的最小值是_________________；
（2）当OH=2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；
（3）当OH≤OI，=3，时，求线段OI长度的范围．

参考答案
1．D
【分析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．
【详解】
解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
连接AQ，CQ，
在△APQ与△CQN中，
∴△APQ≌△CQN（SAS），
∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN
∵∠AQP＋∠PAQ＝90°，
∴∠AQP＋∠CQN＝90°，
∴∠AQC＝90°，
即弧AC所对的圆心角是90°，
故选：D．

【点睛】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也是常用来确定圆心的方法．
2．C
【分析】
根据弦、弧以及圆心角的关系可得，，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
又∵BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，解题的关键是掌握弦、弧以及圆心角的关系．
3．
【分析】
连接AB、BC，根据题意得AB=BC=CD，再根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】
解：如图，连接AB、BC，

∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键．
4．
【分析】
如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．
【详解】
解：如图，连接AB、BC，

∵AB=BC=CD
∴AB＝BC＝CD，
在△ABC中，AB+BC＞AC．
∴AC＜2CD．
故答案是：＜．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB+BC＞AC．
5．①②③④
【分析】
根据弦、弧、圆心角之间的关系解答即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴，故①正确；
∵∠1=∠2，
∴，即，
∴，，故②③正确；
由上证得，故④正确．
故答案为：①②③④
【点睛】
本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
6．12
【分析】
先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．
【详解】
如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，
∴CE=ED-CD=34-12=22，
∴OE=OC-CE=44-22=22，
在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，

∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，
∴∠FOB=120°，
∴，
∵圆转动的速度为，
∴最佳观赏时长为（分钟），
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．
7．①②④
【分析】
先证明四边形CMND是矩形，再证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论①②正确，证明AB=MN，可得③错误；证明△OBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】
解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，

∴CM=DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，OM=ONCM=DN，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴ ，
故②正确，
∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，

∴OM=OC，
∴AB=2OM=OC=MN，
故③错误，
若M是的中点，连接BN，而
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
8．见解析
【分析】
根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解．
【详解】
证：∵
∴
∴
【点睛】
此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系．
9．见解析
【分析】
连接，通过证明即可得结论．
【详解】
证明：如图，连接，

是的中点，
，
，
在和中，
，
∴△AOC≌△BOC(SAS)，
．
【点睛】
本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．
10．（1）证明见解析；（2），
【详解】
试题分析：（1）由于AB为直径且AB⊥CD，由此可知B点将平分，所以，由此推出
（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴
考点：直径垂直平分线的性质，勾股定理的计算
点评：本题难度不大，需要记住的是圆的直径和直角三角形的关系
11．（1）详见解析；（2）三条边都相等的三角形是等边三角形．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．
【分析】
(1)根据步骤作图即可;
(2)根据等边三角形的判定,弧弦圆心角关系定理即可解决问题.
【详解】
解：（1）

（2）三条边都相等的三角形是等边三角形．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定，弧弦圆心角的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．见解析
【分析】
根据AB＝CD得到，推出，得到，由此得到结论．
【详解】
证明：∵AB＝CD，
∴，
∴,
即，
∴，
∴CE＝BE．
【点睛】
此题考查同圆中弦、弧的关系，圆周角的性质，等角对等边的判定，正确推导出是解题的关键．
13．（1）见解析；（2）60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等
【分析】
（1）利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；
（2）在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC＝60°，接着分别计算出∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC＝CD＝AD，从而判断△ACD是等边三角形．
【详解】
（1）解：如图，△ACD为所作；

（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝60°．
∴∠AOC＝180°−∠BOC＝120°．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴△ACD是等边三角形．
故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．（1）20；（2）30°
【分析】
（1）根据垂径定理得到，∠OED=90°，设圆的半径为r，则OD=OB=r，OE=OB-OE=r-4，在△ODE中利用勾股定理求解即可；
（2）由AB⊥CD，AB过圆心O，得到，由∠M＝∠D，得到，即可推出，则、、的度数是，则．
【详解】
解：（1）∵弦CD⊥AB，
∴，∠OED=90°，
设圆的半径为r，则OD=OB=r，OE=OB-OE=r-4，
∴即，
解得，
∴圆的直径；
（2）连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴，
∵∠M＝∠D，
∴，
∴，
∵MD过O，
∴、、的度数是，
∴∠MOC=60°，
∴．

【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，弧、弦与圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
15．（1）1；（2）；（3）3≤OI≤6
【分析】
（1）先计算HI＝2，当HI为半径时，的最小值是1；
（2）求得当HI⊥ON时和HI⊥OM时，OI的值，从而确定范围；
（3）先求出所对的圆心角，再求出圆心角所对的弦长，当OI＝OH时，求得OI最小值，当HI⊥OM时，求得最大值，从而求得范围．
【详解】
解：（1）∵OH＝OI，∠MON＝60°，
∴△HOI是等边三角形，
∴HI＝OH＝2，
当HI是圆的直径时，＝1，
故答案是1；
解：（2）如图1，

作HI⊥ON于I，
∴OI＝OH•cos∠MON＝2•cos60°＝1，
如图2，

作HI′⊥OM交ON于I′，
OI′＝ ，
∴1≤OI≤4；
（3）如图3，

圆心记作A，作AB⊥HI于B，
由得，
nπ∙3180=2π，
∴n＝120°，
∴∠HAB＝∠HAI＝60°，
∴HI＝2HB＝2•AH•sin60°＝3，
当OH＝OI时，
∵∠MON＝60°，
∴△HOI是等边三角形，
∴OI＝HI＝3，
当HI⊥OM时，OI最大，
OI＝ ，
∴3≤OI≤6．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，圆的有关计算等知识，解决问题的关键是正确理解题意，转化为有关圆的计算．
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