《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第七章-第2节-空间点、直线、平面之间的位置关系.docx

第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
平面的基本性质及应用
2,3,4,9

空间两条直线的位置关系
1,5,6,7,8

综合问题

10,11,12,13
14,15

1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　C　)

A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求的角,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.故选C.
2.a,b,c是两两不同的三条直线,下列四个命题中,真命题是(　C　)
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等
D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
解析:若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
3.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定1个或 3个平面.其中正确的序号是(　B　)
A.① B.①④ C.②③ D.③④
解析:①显然正确;②错误,三条平行直线可能确定1个或3个平面;③若三个点共线,则两个平面相交,故③错误;④显然正确.故选B.
4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(　C　)

A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
解析:由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,
又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.
又因为C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面β与平面ABC的交线上,
所以平面ABC∩平面β=CD.故选C.
5. (2021·甘肃兰州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为BC的中点,点F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为(　B　)

A.23 B.53
C.52 D.255
解析:不妨设正方体的棱长为1,取A1D1的中点G,连接AG,FG(图略),易知GA∥C1E,则∠FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角.在△AFG中,AG=12+(12) 2=52,AF=12+(52) 2=32,FG=1,于是 cos∠FAG=(32) 2+(52) 2-122×32×52=53.故选B.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,O为CD上的动点,VPOAB恒为定值,且 △PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是　　　　. 

解析:因为VPOAB为定值,所以S△ABO为定值,即O到AB的距离为定值.
因为O为CD上的动点,所以CD∥AB,
所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成的角.
因为△PDC为正三角形,所以∠PDC=60°.
所以直线PD与直线AB所成的角为60°.
答案:60°
7.已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱共有　　　　条. 
解析:如图,作出长方体ABCD-EFGH.

在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD,共4条.
答案:4
8.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF与CD所成角的大小为　　　　. 
解析:如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为△ABD, △ACD的中位线.

由此可得GF∥AB,且GF=12AB=1,GE∥CD,且GE=12CD=2,
所以∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角.
又因为EF⊥AB,GF∥AB,所以EF⊥GF,
因此,在Rt△EFG中,GF=1,GE=2,
sin∠FEG=GFGE=12,可得∠FEG=30°,
所以EF与CD所成角的大小为30°.
答案:30°
9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点. 求证:

(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.

因为E,F分别是AB,AA1的中点,
所以EF∥A1B.
又因为A1B∥CD1,
所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,
所以CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈直线CE,CE⊂平面ABCD,
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点.

10.(多选题)(2021·北京通州区一模)设点B为圆O上任意一点,AO垂直于圆O所在的平面,且AO=OB,对于圆O所在平面内任意两条相互垂直的直线a,b,有下列结论,正确的有(　BC　)
A.当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角
B.当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角
C.直线AB与a所成角的最小值为45°
D.直线AB与a所成角的最小值为60°
解析:如图,AO=OB,直线a⊥b,点D,M分别为BC,AC的中点,则∠ABC为直线AB与a所成的角,∠MDO为直线AB与b所成的角.设AO=OB=1,若∠ABC=60°,则OM=OD=MD,所以∠MDO=60°,故B正确,A不正确;因为AB与圆O所在平面所成的角为45°,即直线AB与平面内所有直线所成的角中的最小角为45°,所以直线a与AB所成角的最小值为45°,故C正确,D不正确.故选BC.

11.四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为　　　　. 
解析:如图,取BC的中点O,连接OE,OF,因为OE∥AC,OF∥BD,

所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成的角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=12.
当∠EOF=120°时,取EF的中点M,则OM⊥EF,
EF=2EM=2×34=32.
答案:12或32
12.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.

(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角的大小.
(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以点A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线.
(2)解:取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,

所以相交直线EF与EG所成的角(或其补角),即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.
在Rt△EGF中,由EG=FG=12AC,
求得∠FEG=45°,
即EF与BD所成的角为45°.
13.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.

(1)证明:E,F,G,H四点共面;
(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?
(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD.试证明:
EG=FH.
(1)证明:因为AE∶EB=AH∶HD,
所以EH∥BD.
又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD.
所以EH∥FG,
所以E,F,G,H四点共面.
(2)解:当EH∥FG,且EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.
因为EHBD=AEAE+EB=mm+1,所以EH=mm+1BD.
同理可得FG=nn+1BD,由EH=FG,得m=n,
故当m=n时,四边形EFGH是平行四边形.
(3)证明:当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,所以EF∥AC,又EH∥BD,所以 ∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角),因为AC⊥BD,所以∠FEH=90°,从而平行四边形EFGH为矩形,所以EG=FH.

14.(多选题)(2021·山东泰安一中、宁阳一中联考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是线段BC1上的动点,则下列说法正确的是(　ABC　)

A.无论点F在线段BC1上怎么移动,都有A1F⊥B1D
B.当F为BC1的中点时,才有A1F与B1D相交于一点,记为点E,且A1EEF=2
C.无论点F在线段BC1上怎么移动,异面直线A1F与CD所成的角都不可能是30°
D.当F为BC1的中点时,直线A1F与平面BDC1所成的角最大,且为60°
解析:对于A选项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1,A1B(图略),易知B1D⊥平面A1BC1,又A1F⊂平面A1BC1,所以A1F⊥B1D,故A正确;对于B选项,如图,当F为BC1的中点时,连接B1C,A1D,B1C与BC1交于点F,

A1F与B1D共面于平面A1B1CD,且必相交,交点为E,易知△A1DE∽△FB1E,所以A1EEF=DA1B1F=2,故B正确;对于C选项,点F从点B移至点C1,异面直线A1F与CD所成的角先变小再变大,当F为BC1的中点时,异面直线A1F与CD所成的角最小,此时该角的正切值为22,最小角大于30°,故C正确;对于D选项,点F从点B移至点C1,直线A1F与平面BDC1所成的角先变大再变小,当F为BC1的中点时,设点O为A1在平面BDC1上的射影,连接OF(图略),则直线A1F与平面BDC1所成角的最大角的余弦值为OFA1F=6662=13,则最大角大于60°,故D错误.故选ABC.
15.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC12AD,BE12FA,G,H分别为FA,FD的中点.

(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得GH12AD.又BC12AD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)解:因为BE12FA,G为FA的中点,所以BEFG,
所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.
由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.
又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.