一元二次方程与压轴题.doc

一元二次方程“判别式”在压轴题中的运用
睢阳区宋城中学 贾振江

教学目标：
知识目标：使学生熟练掌握利用一元二次方程根的判别式来解决函数图像的交点问题。
能力目标: 培养学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力
情感目标：通过“先学后教”，让学生动手实践、自主探索与合作交流，体会成功的喜悦，激发学生的学习积极性
重点与难点：
重点：利用根的判别式求直线与抛物线的交点，贯穿整节课，是本节课的重点。
难点：最后一道综合探究题，有交点个数的分类讨论，有求字母的取值范围，图形的动态研究等综合知识与能力要求，所以是本节课的难点。

教学过程：
九年级的数学课现在已经在总复习，大家也已经做过了很多的压轴题，今天，我们就来学习一元二次方程“判别式”在压轴题中的运用 （板书课题），
在今天的学习中，希望大家认真的思考，积极的讨论，踊跃的回答问题。同时也期待今天讲的内容对大家今后的学习能够有所启示。
好，接下来，正式上课：

一、做基础回顾
提问：如何求两条函数图像的交点坐标？
（让函数解析式构成方程组，方程组的解就是交点的坐标）

看基础回顾1，
1、如图（1）所示：抛物线y=(x-1)2+1与直线y=x+2相交于点A、B；求：A、B的坐标。

（1）

（展台展示学生解答过程）

基础回顾2，
2、变式：求抛物线y=(x-1)2+1与直线y=x-2的交点坐标。
（几何画板演示：直线AB向下平移到直线y=x-2的位置）
( 展台展示学生解答过程）

做过了这两个题，大家思考：两条函数图像有没有交点能不能通过一种数量关系来表达？

看解析式构成的方程组有没有解→方程组的解又取决于消元后一元二次方程的解→方程的解又取决于Δ的值。
所以，由Δ的值可以判断抛物线与直线的交点情况。
Δ﹥0时抛物线与直线有两个交点

Δ＝0时抛物线与直线有一个交点

Δ﹤0时抛物线与直线没有交点
基础回顾3，
3、变式：若抛物线y=(x-1)2+1与直线y=x+b只有一个交点，求b的值。
（几何画板演示：直线AB向下平移到与抛物线相切）

(板书解答过程）

二、做自主学习
1、如图（2）所示：抛物线y=(x-1)2+1与直线y=x+2相交于点A、B。P是A、B之间抛物线上的一动点，连结AP、BP，记点P的横坐标为t，ΔABP的面积为S。
试问当t为何值时，S最大。

（2）

解：如图（3）所示过P作直线l∥AB，PH⊥AB与点H。
∵AB解析式为y=x+2 ∴可设l为y=x+b
由于AB为定长，当PH最大时SΔABP最大。
l
即直线l与抛物线y=(x-1)2+1 只有一个交点时SΔABP最大。
… …

（3）

（几何画板演示）

2、如图（4），四边形OABC，OA∥BC, 顶点O、A、B的坐标分别为（0 , 0）、
（3 , 0）、（5, 2）, C在y轴上，若抛物线y=(x+h)2+1与四边形OABC有两
个交点。
求：h的取值范围。 （几何画板演示平移过程）

（4）

备用图

备用图

备用图

作业：
直角梯形OABC的顶点A与B的坐标分别为（3,0）、（5,2）,求出抛物线y=(x-3)²+k与直角梯形OABC的边有两个交点时k的取值范围.

板书设计
一元二次方程“判别式”在压轴题中的运用
基（1）A（0,2） B（3,5）

基（2）

Δ﹥0时抛物线与直线有两个交点
Δ＝0时抛物线与直线有一个交点
Δ﹤0时抛物线与直线没有交点

基（3）自（1）
过P作直线l∥AB，PH⊥AB与点H。
∵AB解析式为y=x+2 ∴可设l为y=x+b
由于AB为定长，当PH最大时SΔABP最大。
l
即直线l与抛物线y=(x-1)2+1 只有一个交点时SΔABP最大。
y=(x－1)²＋1
y＝x＋b
(x－1)²﹢1＝x＋b
x²－3x＋2－b＝0
Δ＝1＋4b
∵只有一个交点
∴Δ＝1＋4b＝0
b＝﹣1／4
0--1---2---3---4------3---2---1--0
Δ Δ Δ Δ
过点c 与AB相切 过点B 过点B
﹣15／4﹤h﹤1 ﹣6﹤h﹤﹣4

一元二次方程“判别式”在压轴题中的运用

睢阳区宋城中学 贾振江