资源描述
专题18 圆锥曲线
（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 椭圆方程及其性质
（10年6考）
2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷
2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2019·全国卷、2019·全国卷
2015·山东卷、2015·全国卷、2015·广东卷、2015·全国卷
1. 熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质应用，是高考高频考点
2. 熟练掌握椭圆和双曲线的离心率的求解及应用，同样是高考热点命题方向
3. 熟练掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会求解最值及范围，该内容也是命题热点
4. 掌握曲线方程及轨迹方程
考点2 双曲线方程及其性质
（10年10考）
2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷
2023·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷
2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2021·全国乙卷
2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2021·全国甲卷、2020·天津卷
2020·浙江卷、2019·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷
2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·全国卷、2018·全国卷
2018·天津卷、2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷
2017·上海卷、2017·山东卷、2017·全国卷、2017·江苏卷
2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·浙江卷、2016·北京卷
2016·天津卷、2016·全国卷、2016·天津卷、2015·广东卷
2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·安徽卷、2015·福建卷
2015·江苏卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·上海卷
2015·上海卷、2015·全国卷、2015·北京卷
考点3 抛物线方程及其性质
（10年10考）
2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、2024·上海卷、2024·天津卷
2023·全国乙卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷
2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷
2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国卷、2020·北京卷
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·北京卷、2018·北京卷
2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷
2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全国卷、2016·四川卷
2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·陕西卷、2015·上海卷
2015·陕西卷
考点4 椭圆的离心率及其应用
（10年8考）
2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷
2021·全国乙卷、2021·浙江卷、2019·北京卷、2018·北京卷
2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2017·浙江卷
2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2016·全国卷
2016·江苏卷、2015·福建卷、2015·浙江卷
考点5 双曲线的离心率及其应用
（10年10考）
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷
2023·北京卷、2022·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·浙江卷
2021·全国甲卷、2021·天津卷、2021·北京卷
2021·全国新Ⅱ卷、2020·山东卷、2020·江苏卷、2020·全国卷
2020·全国卷、2019·北京卷、2019·天津卷、2019·全国卷
2019·全国卷、2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·北京卷
2018·北京卷、2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷
2017·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2017·北京卷
2016·山东卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·广东卷
2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·全国卷、2015·山东卷
2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖南卷
考点6 直线与圆锥曲线的位置关系及其应用
（10年10考）
2024·北京卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷
2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷
2020·山东卷、2019·浙江卷、2019·全国卷、2018·全国卷
2018·全国卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2015·全国卷
考点7 曲线方程及曲线轨迹
（10年6考）
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2021·浙江卷
2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷
2016·四川卷、2015·山东卷、2015·浙江卷
考点8 圆锥曲线中的最值及范围问题
（10年6考）
2021·全国乙卷、2021·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷
2020·全国卷、2018·浙江卷、2017·全国卷、2017·全国卷
2017·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷、2016·浙江卷
2015·上海卷、2015·全国卷、2015·江苏卷
考点01 椭圆方程及其性质
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
4．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
5．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】根据椭圆中的关系即可求解.
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以，，可得，，
所以，可得，
所以该椭圆的短轴长，
故选：B.
6．（2019·全国·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
7．（2019·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
8．（2015·山东·高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于 ．
【答案】
【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解
【详解】由于是圆，
即：圆
其中圆心为，半径为4
那么椭圆的长轴长为8，即，，，
那么短轴长为
故答案为：
9．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点
重合，是C的准线与E的两个交点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为即且椭圆的方程为抛物线准线为代入椭圆方程中得故选B.
考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．
10．（2015·广东·高考真题）已知椭圆（）的左焦点为，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.
考点：椭圆的基本性质
11．（2015·全国·高考真题）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
【答案】
【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程
考点02 双曲线方程及其性质
1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线为，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
5．（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
6．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
7．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
8．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
9．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10．（2019·全国·高考真题）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
11．（2018·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
12．（2018·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.
【详解】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为，所以焦点坐标为，选B.
【点睛】由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.
13．（2018·全国·高考真题）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
14．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
15．（2018·天津·高考真题）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择A选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
16．（2017·天津·高考真题）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：
，解得：，
双曲线方程为：.
故选：D..
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
17．（2017·天津·高考真题）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，选B.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
18．（2017·全国·高考真题）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．
点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．
19．（2016·天津·高考真题）已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
【考点】双曲线的渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：
（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．
②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．
20．（2016·全国·高考真题）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
【答案】A
【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.
21．（2016·天津·高考真题）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：由题意，得又 ，所以所以双曲线的方程为，选A.
【考点】双曲线
【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：
（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．
②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．
22．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【答案】C
【详解】试题分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），
可得：，c=5，∴a=4，b==3，
所求双曲线方程为：﹣=1．
故选C．
点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
23．（2015·重庆·高考真题）设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F作的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.
考点：双曲线的性质
24．（2015·天津·高考真题）已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：依题意有，解得，所以方程为.
考点：双曲线的概念与性质．
25．（2015·安徽·高考真题）下列双曲线中，渐近线方程为的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由双曲线的渐近线的公式可行选项A的渐近线方程为，故选A.
考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.
26．（2015·福建·高考真题）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【详解】由双曲线定义得，即，解得，故选B．
考点：双曲线的标准方程和定义．
二、填空题
27．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
28．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
29．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
30．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
31．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
32．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
33．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
34．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.
35．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】.
【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得，
解得或，
因为，所以.
因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
36．（2018·北京·高考真题）若双曲线的离心率为，则a= .
【答案】4
【详解】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.
详解：在双曲线中，，且
点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找到之间的关系.
37．（2017·上海·高考真题）设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则
【答案】11
【详解】由双曲线的方程，可得，
根据双曲线的定义可知，
又因为，所以.
38．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
39．（2017·全国·高考真题）双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】依题意由双曲线方程可得双曲线的渐近线为，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：双曲线的一条渐近线方程为，
又双曲线的渐近线为，可得，解得．
故答案为：．
40．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点
P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q的面积是 ．
【答案】
【详解】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，则．
点睛:（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点．
41．（2016·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 .
【答案】
【详解】试题分析：．故答案应填：
【考点】双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，揭示焦点在x轴，实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线方程为，离心率为．
42．（2016·北京·高考真题）双曲线(，)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a= .
【答案】2
【详解】试题分析：因为四边形是正方形，所以，所以直线的方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意知，所以，．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
43．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ．
【答案】．
【详解】试题分析：由已知得，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在双曲线的右支上，则，，，为锐角，则，即，解得，所以，则．
【考点】双曲线的几何性质.
【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得和，再由为锐角三角形可得，进而可得的不等式，解不等式可得的取值范围．
44．（2016·北京·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则 ； ．
【答案】 1 2
【详解】试题分析：依题意有,结合,解得.
【考点】双曲线的基本概念
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
45．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为
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