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数学建模中的优化问题

内容提要

1

2


2004D 公务员招聘问题

2006A出版社资源配置问题

2013-5-25


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2004 D题 公务员招聘

· 招聘办法：

（1）初试（2）面试（3）综和评定

· 拟录用8名公务员到7个部门

· 要求每个部门至少一名公务员。

· 部门按工作性质分为四类：
(1)行政管理、 (2)技术管理、
(3)行政执法、(4)公共事业。

· 每一位参加面试人员都可以申报两个自己
的工作类别志愿

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表1：笔试成绩专家面试评分及个人志愿

……….

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表 2:　用人部门的基本情况及对公务员
的期望要求

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任务

（1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录
用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配
方案；

（2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要
求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一
种分配方案；
（3）你的方法对于一般情况，即N个应聘人员
M个用人单位时，是否可行？
（4） 你对上述招聘公务员过程认为还有哪些
地方值得改进，给出你的建议。

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问题（1）分析

任务1：不考虑应聘者个人意愿,择优按需录用.

择优：选择综合分数较高者

按需：用人单位对应聘者的评分尽量高.

目标：7个单位录取的人员的综合成绩之和+7个单

位对各自录取人员的综合评分之和达到最大

约束：总共录取8人；每人最多被一个单位录取；

每个单位最少录1人，最多2人；决策变量取0或1.

决策变量： x ij ,


当录用第 j个应聘者，

并将其分配至第 i个部门时， xij = 1,否则，xij = 0

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目标：7个单位录取的人员的综合成绩之和+7个

单位对各自录取人员的综合评分之和达到最大

设第j个应聘者的综合分数为Cj，第i个部门对第j个
应聘者的综合评分（满意度）为Sij，则可建立下
列模型：

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基本假设

（1）各部门和应聘者的相关数据都是透明

的, 即双方都是知道的

（2）应聘者的4项特长指标在综合评价中

的地位是等同的

（3）用人部门的五项基本条件对应聘人员

的影响地位是同等

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问题（1）模型的准备
1、应聘者复试成绩的量化

专家组对应聘者的4项条件评分

设相应的评语集为

对应的数值为


A B C D

很好, 好, 一般, 差

5, 4, 3, 2

根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数

当评价为’良好” 时, 则隶属度为1,即f (5) = 1
当评价为’一般” 时, 则隶属度为0.8,即f (3) = 0.8
当评价为’很差” 时, 则隶属度为0.01,即f (1) = 0.01

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⇒ á = 1.1086, â = 0.8942, a = 0.3915, b = 0.3699

计算得


f (4) = 0.49126, f (2) = 0.5245

（A,B,C,D）=（很好, 好,


一般,


差 ）

=（1, 0.9126, 0.8, 0.5245)

根据已知数据得到专家组对每一个应聘者的4项条
件的评价指标值。
计算出评价矩阵 R = (rji )16×4

16个应聘者的综合复试得分为

1 4

4 i =1

( j = 1,


,16)

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B j = ∑ rji

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2、确定应聘人员的综合分数

为了便于将初试分数与复试分数做统一的比较, 首
先分别用极差规范化方法作相应的规范化处理

初试得分的规范化

复试得分的规范化

第j个应聘者的综合分数为：á ∈ [0,1]为权值，这里取为0.5

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3、确定用人部门对应聘人员的评分

用人单位对应聘者的评价：“满意度”

“很不满意、不满意、不太满意、基本满意、比较满意、满意、很满意”

评语集V = {v1 ,


, v7 }

赋相应的数值


1,


,7

基本满意：当应聘者的某项指标等级与用人部门相应
的要求一致时.满意程度为 v4
当应聘者的某项指标等级比用人部门相应的要求高（低）
一级时, 则用人部门的满意度上升（下降）一级.

例如专家组对应聘者1的评价指标集 {A A B B}

部门1要求的指标集为

则部门1对应聘者1的满意程度为
{B A C A}

{v5 v4 v5 v3 }

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3、确定用人部门对应聘人员的评分（续）

类似于复试成绩量化，对“ 满意度” 进行量化

取近似的偏大型柯西分布隶属函数

“很满意”时，取 f (7) = 1. "基本满意"时，取f (4) = 0.8

"很不满意"时，取f (1) = 0.01
确定出á = 2.4944, â = 0.8413, a = 0.1787, b = 0.6523

得到用人部门对应聘者各单项指标的评语集

V = {v1 ,

, v7 }的量化值

= {0.01, 0.3499, 0.6514, 0.8, 0.9399, 0.9725,1}

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3、确定用人部门对应聘人员的评分（续）

分别计算每一个部门对每一个应聘者的各单项
指标的满意度的量化值：

由假设2, 可取第i个部门对第j个应聘者的综合评分为

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问题（1 ）的模型建立

根据“ 择优按需录用” 的原则, 来确定录
用分配方案。

· “ 择优” 就是选择综合分数较高者,

· “ 按需” 就是录取分配方案使得用人单位的评
分尽量高.

用 x ij表示决策变量，当录用第 j个应聘者，

并将其分配至第 i个部门时， xij = 1,否则，xij = 0

于是问题1就转化为下面的优化模型：

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问题（1） 的数学模型

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问题（1 ）的模型求解

用Lingo求解可以得到录用分配方案如下表

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问题（2）分析

任务2：综合考虑应聘人员意愿和用人部门的希

望要求。

目标：单位与应聘者双方相互综合满意度达到最大.

确定应聘者对用人部门的满意度；

确定双方综合满意度.

约束：总共录取8人；每人最多被一个单位录取；

每个单位最少录1人，最多2人；决策变量取0或1；

应聘者不可能分配的部门约束.

决策变量： x ij ,

当录用第j个应聘者，

并将其分配至第 i个部门时， xij = 1,否则，xij = 0

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问题（2） 的解决方案

在充分考虑应聘人员的意愿和用人部门的期望
要求的情况下, 寻求更好的录用分配方案。

（1）确定应聘者对用人部门的满意度

（2）确定双方的相互综合满意度

（3）确定合理的录用分配方案

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问题（2 ）模型准备

1、确定应聘者对用人部门的满意度

影响应聘者对用人部门的满意度有五项指标：
福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和深造机会。

假定：
符合第一志愿的为“ 满意” ----取值1
符合第二志愿的为“ 基本满意” ----取值2
不符合志愿的为“ 不满意” -----取值3

取隶属函数为
f ( x ) = b ln(a − x)
令f (1) = 1, f (3) = 0,得 a = 4, b = 0.9102 .

量化值
1

0.6309

0

计算得

f (2) = 0.6309

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于是得到每一个应聘者对每一个用人部门的满意
度权值

w ji

(i = 1,2

,7; j = 1,

,16)

用人部门基本情
况的五项指标

优小多
中中中
差大少

应聘者对各
部门的评语

------满意
------基本满意
------不满意

满意度
量化

1
0.6
0.1

得到用人部门的客观水平的评价值

Ti = (Ti 1 ,

,Ti 5 ) (i = 1,2


,7)

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每一个应聘者对每一个部门的五个单项指标的满
意度应为该部门的客观水平评价值与应聘者对该
部门的满意度权值 w ji的乘积 :

由假设, 可以取第j个应聘者对第i个部门的综合评价
满意度为

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2、确定双方的相互综合满意度

每一个用人部门与每一个应聘者之间都有相应单
方面的满意度,双方的相互满意度应由各自的满意
度来确定。

在此, 取双方各自满意度的几何平均值为双方
相互综合满意度：

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问题（2）的模型建立

用 x ij表示决策变量，当录用第j个应聘者，
并将其分配至第 i个部门时， xij = 1,否则，xij = 0

则问题2就归结为下面的优化模型：

7

i =1

16

请同学们自己写出约束条件，并求解.

注意：约束除问题1 的约束外还包括应聘者不可能
分配的部门约束

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max z = ∑
∑j =1 STij xij

任务（3）的解决方案

对于N各应聘人员和M（M<N)个用人单位的情
况，上述方法是实用的。只是优化模型的规模会
增大。给求解带来一定的困难。

实际中用人单位M不会太大，当应聘人员的个
数比较大的时候，可以分步处理。

分批淘汰是一种方法。

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竞赛论文中存在的主要问题：

· 在数据量化与处理上，没有正规化处理，量纲
不一致。

· 确定录用名单和确定分配方案分两步进行；没
有体现“择优按需”，不能评一等奖

· 将应聘人员和用人部门分别排序，然后顺序作
一对一分配，不合实际。

· 凡出现以上问题的都是利用层次分析法进行排
序选优，方法决定了结果。对于此问题，层次
分析法不可行。

参考文献：韩中庚，“招聘公务员问题的优化模型与
评述”工程数学学报，P147-154，Vol.27，No.7，
2004

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通过这个题，学到了：

1、建立优化模型时：

明确给出决策变量，目标函数，约束条件

2、0-1规划问题可以用LINGO软件求解

3、能够将信息进行量化处理

4、知道为什么及怎样对数据进行归一化处理

5、能表达满意度和综合满意度

未来1周要做的事情：

1、实际操练一遍；2、学习lingo的使用

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类似问题：研究生录取
---2004年研究生数学建模竞赛D题

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确定录取方案，使导师和学生的配对达到
总体满意度最大.

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2006A 出版社资源配置问题

· 出版社资源包括人力资源、生产资源、资金和管
理资源等，他们都捆绑在书号上，经过各部门运
作，形成成本（策划成本、边际成本、生产成本
、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和
利润。
· 总社每年需要针对分社提交的生产计划申请书、
人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的
书号数合理地分配给各个分社，使出版社产生最
好的经济效益。
· 由于各分社提交的需求书号总量远大于总社的书
号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度
的原则优化资源配置。
· 资源配置完成后，各分社（分社以学科划分）根
据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课
程做出出版计划，付诸实施。

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出版社资源配置问题
· 数据资料：
（1）大学生课本使用情况调查问卷（附录1）

（2）问卷调查得到的数据（附录2）

（3）各课程计划及实际销售表（附录3）

（4）01-05年各门课程分得的书号个数，以及06
年提出的书号申请个数（附录4）

（5）9个分社人力资源细目（附录5）

· 请根据这些数据资料，利用数学建模的方法，
在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础
的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分
配方案，向出版社提供有益的建议。

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数据中的不可忽视的信息

· 附件5数据说明：

1.本题暂不考虑新的人力资源计划。

2.虽然每年的各个部门的人员总数有所变
化，但是为了简化，我们仅给出历年平
均值。工作能力指每人每年最多能够完
成的书号个数。

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数据说明(附录4）

1.该数据中给出了01-05年五年时间各门课程分得
的书号个数，以及06年各门课程提出的书号申
请个数。
2.其中“课程均价”一栏表示A出版社同一课程不同
书目的价格均值（假定同一课程不同书目价格
差别不大，同时销售量相近），该出版社在定
价时保持对所有教材利润率同一，在此原则上
制定教材单价。
3.为保持工作连续性和对各分社计划一定程度上
的认可，A出版社在分配书号时至少保证分给
各分社申请数量的一半
4.实际上，出于本位利益或其他原因考虑，分社
会主观夸大申请的书号数，也会造成计划数与
实际分配数的差距。

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目标函数：


问题分析

（1）总利润最大，即销售额最大。

（2）竞争力（强势度）尽可能大。

利用前5年数据
预测


已知

强势度可由市场份额占有
率，产品满意度加权得到

72

j =1

72

j =1
决策变量： 课程i实际分配的书号数xj

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max ∑销售量 rj ⋅均价p j ⋅实际分配书号数 x j
max ∑强势度 ë j ⋅实际分配书号数 x j

约束条件

·

·

·

·

总书号500个；

至少保证分给各分社申请数量的一半；

各分社资源限制；

06年的计划准确度应大于等于前5年的均值

（或大于等于06年的预测值）；

·决策变量非负.

注：决策变量可以是每个课程的书号数量，也可以
是学科的书号数，但是得到的结果会有所不同。
不要重复使用需求信息。如果在构造销售额表达式
时已经使用了课程的销售数据，则不同课程的支持强度的不同，主
要由市场竞争力参数表达。

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附录2（问卷调查表）


有用的信息


Q1 A出
版社在
您心中
的位置
（Q1）

1

3

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Q2l:对该书的满意度评价
教材内
容新颖
，保持
学术前
沿水平
(Q2l1)
教材的作
者是相应
领域的权
威，所以
课程理论
基础扎实
(Q2l2)
教材印刷
及排版质
量(Q2l3)
教材价格
(Q2l4)
4
2
3
4
4
4
5
5
3
2
4
2

附录3（各课程计划及实际销售量）

数据说明：“计划销售量”表示由各门课程申请的书号数计
算的总销售量，“实际销售量”表示由分配到的书号数计算

的总销售量;
它们的差别反应了计划的准确度。

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课程
名称
课称
代码
销售量
销售量
2001
销售量
2002
销售量
2003
销售量
2004
销售量
2005
C++程序
设计
1
计划销
售量
1916
1469
3100
3560
3913
实际销
售量
1240
1243
1850
2641
2692
C程序设
计
2
计划销
售量
2313
2363
3519
5049
5337
实际销
售量
1809
1706
2681
3298
3927

附录4（01-05年获得书号数与06年计划申请书号数

数据说明："课程均价"一栏表示A出版社同一课程不同书目的价格均值
（假定同一课程不同书目价格差别不大，同时销售量相近），该出版社
在定价时保持对所有教材利润率同一，在此原则上制定教材单价。

为保持工作连续性和对各分社计划一定程度上的认可，A出版社在分配
书号时至少保证分给各分社申请数量的一半。

实际上，出于本位利益或其他原因考虑，分社会主观夸大申请的书号
数，也会造成计划数与实际分配数的差距。

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学科
名称
课程名称
课程
代码
2001
2002
2003
2004
2005
2006申
请个数
课程
均价
计算
机类
C++程序
设计
1
10
11
12
11
12
18
25.8
C程序设
计
2
10
11
12
12
12
18
25.5
DSP技术
及应用
3
3
2
4
2
3
4
28.0

附件5（9个分社人力资源细目）

数据说明： 1.本题暂不考虑新的人力资源计划。

2.虽然每年各个部门人员总数有所变化，为了简化，仅给出历
年平均值。工作能力指每人每年最多能够完成的书号个数。

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分社人力资源细目
所属分社
策划人
员数量
策划人
员平均
工作能
力
编辑人
员数量
编辑人
员平均
工作能
力
校对人
员数量
校对人
员平均
工作能
力
计算机类
36
4
35
4
38
3
经管类
38
3
36
4
38
3
数学类
40
3
36
4
36
4
英语类
35
3
34
3
36
4
两课类
35
4
38
3
37
3