一元二次方程(分知识点,详细,适合基础差的学生).doc

一元二次方程
知识网络详解：
考点1．一元二次方程的定义：形如的关于的方程为一元二次方程．
考点2．一元二次方程的解法：
先尝试“因式分解法”；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”
求根公式：
考点3．一元二次方程的判别式：
有两个不相等的实数根： 有两个相等的实数根：
无实数根： 有实数根：
考点4．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
若时，设、为一元二次方程的两个实数根，那么：
，
考点5．一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）
【课前回顾】
1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）
A. B.3 C.6 D.
2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、关于x的一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是
4、某工厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是 　　 。
5、解方程
（1） （2）

（3） （4）

经典例题讲解：
考点一、概念
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B
C D
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
变式练习：
1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点二、方程的解
例1、已知的值为2，则的值为 。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程
必有一根为 。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，
则m的值为 。

变式练习：
1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。
⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

3、已知m是方程的一个根，则代数式 。
4、已知是的根，则 。
5、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
6、若 。
考点三、解法
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
例1、解方程： =0;

例2、若，则x的值为 。

变式练习：下列方程无解的是（ ）
A. B. C. D.

类型二、因式分解法:
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如， ，

例1、的根为（ ）
A B C D
例2、若，则4x+y的值为 。
变式1： 。
变式2：若，则x+y的值为 。
变式3：若，，则x+y的值为 。
例3、方程的解为（ ）
A. B. C. D.

变式练习：
1、下列说法中：
①方程的二根为，，则
② .
③
④
⑤方程可变形为
正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、以与为根的一元二次方程是（）
A． B．
C． D．
3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
5、方程：的解是 。
类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
例1、 试用配方法说明的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。

例3、 已知为实数，求的值。

例4、 分解因式：

变式练习：
1、试用配方法说明的值恒小于0。
2、已知，则 .
3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式： ,
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸

例2、在实数范围内分解因式：
（1） ； （2）. ⑶

考点四、根的判别式
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.

例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

变式练习：
1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。
2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .
4、为何值时，方程组
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.

考点五、方程类问题中的“分类讨论”
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为 ,
⑵只有一个根，则m为 。
例1、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。

例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不
能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

考点七、根与系数的关系
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三
角形的斜边是（ ）
A. B.3 C.6 D.
例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不
存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道
原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例4、已知，，，求
变式：若，，则的值为 。
例5、已知是方程的两个根，那么 .

变式练习：
1、解方程组

2．已知，，求的值。

3、已知是方程的两实数根，求的值。

自检自测：
1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”．则你认为（ ）
A．只有小敏回答正确 B．只有小聪回答正确
C．两人回答都正确 D．两人回答都不正确
2.解一元二次方程x－x－12=0，结果正确的是（ ）
A．x=－4， x=3 B．x=4，x=－3 C．x=－4，x=－3 D．x=4，x=3
3.方程解是（ ）
A．x=1 B．x=0，x=－3 C．x=1，x=3 D．x=1，x=－3
4.若t是一元二次方程ax＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ=b－4ac和完全平方式M=(2at+b)的关系是（ ）
A．Δ=M B．Δ＞M C．Δ＜M D．大小关系不能确定
5.方程 的根是（ ）
A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1
6.已知一元二次方程x －2x－7=0的两个根为x，x，则x+ x的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－7 D．7
7.已知x、x是方程x－3x＋1 ＝0的两个实数根，则的值是( )
A、3 B、－3 C、 D、1
8.用换元法解方程(x＋x)＋(x＋x)＝6时，如果设x＋x＝y，那么原方程可变形为（ ）
A、y＋y－6＝0 B、y－y－6＝0 C、y－y＋6＝0 D、y＋y＋6＝0
9.方程x－5x=0的根是（）
A．0 B．0，5 C．5，5 D．5
10.若关于x的方程x＋2x＋k=0有实数根，则（ ）
A．k＜1，B．k≤1 C．k≤－1 D．k ≥－1
11.如果一元二次方程x－4x＋2＝0的两个根是x，x，那么x＋x等于（ ）
A. 4 B. －4 C. 2 D. －2
12.用换元法解方程(x－x)－＝6时，设＝y，那么原方程可化为（ ）
A.＋y－6＝0 B. ＋y＋6＝0 C. －y－6＝0 D. －y＋6＝0
13.设x，x是方程2x+3x-2=0的两个根，则x＋x的值是 ( )
A．-3 B．3 C．－ D．
14.方程x-x=0的解是（ ）
A．0，1 B．1，-1 C．0，-1 D．0，1，－1
15.用换元法解方程_ _
16.两个数的和为6，差为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________
17.方程x－x=0的解是______________
18.等腰△ABC中，BC=8， AB、BC的长是关于x的方程x－10x+m= 0的两根，则m的值是________.
19.关于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是 _______________.
20.解方程：2（x－1）+5（x－l）+2=0． x －2x－2=0 x +5x+3=0

21.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，求方程的另一根和k的值．

22.已知关于 x的一元 二次方程的一个根为0，求k的值．