一元二次方程(分知识点,详细,适合基础差的学生).doc

一元二次方程
知识网络详解：
考点1．一元二次方程的定义：形如的关于的方程为一元二次方程．
考点2．一元二次方程的解法：
先尝试“因式分解法”；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”
求根公式：
考点3．一元二次方程的判别式：
有两个不相等的实数根： 有两个相等的实数根：
无实数根： 有实数根：
考点4．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
若时，设、为一元二次方程的两个实数根，那么：
，
考点5．一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）
【课前回顾】
1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根则这个直角三角形的斜边是（ ）
A. B.3 C.6 D.
2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、关于x的一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是
4、某工厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是 　　 。
5、解方程
（1） （2）

（3） （4）

经典例题讲解：
考点一、概念
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B
C D
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
变式练习：
1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点二、方程的解
例1、已知的值为2，则的值为 。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程
必有一根为 。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，
则m的值为 。

变式练习：
1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。
⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

3、已知m是方程的一个根，则代数式 。
4、已知是的根，则 。
5、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
6、若 。
考点三、解法
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
例1、解方程： =0;

例2、若，则x的值为 。

变式练习：下列方程无解的是（ ）
A. B. C. D.

类型二、因式分解法:
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如， ，

例1、的根为（ ）
A B C D
例2、若，则4x+y的值为 。
变式1： 。
变式2：若，则x+y的值为 。
变式3：若，，则x+y的值为 。
例3、方程的解为（ ）
A. B. C. D.

变式练习：
1、下列说法中：
①方程的二根为，，则
② .
③
④
⑤方程可变形为
正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、以与为根的一元二次方程是（）
A． B．
C． D．
3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
5、方程：的解是 。
类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
例1、 试用配方法说明的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。

例3、 已知为实数，求的值。

例4、 分解因式：

变式练习：
1、试用配方法说明的值恒小于0。
2、已知，则 .
3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式： ,
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸

例2、在实数范围内分解因式：
（1） ； （2）. ⑶

考点四、根的判别式
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.

例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

变式练习：
1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。
2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .
4、为何值时，方程组
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.

考点五、方程类问题中的“分类讨论”
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为 ,
⑵只有一个根，则m为 。
例1、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。

例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不
能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

考点七、根与系数的关系
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三
角形的斜边是（ ）
A. B.3 C.6 D.
例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不
存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道
原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例4、已知，，，求
变式：若，，则的值为 。
例5、已知是方程的两个根，那么 .

变式练习：
1、解方程组

2．已知，求的值。

3、已知是方程的两实数根，求的值。

自检自测：
1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”．则你认为（ ）
A．只有小敏回答正确 B．只有小聪回答正确
C．两人回答都正确 D．两人回答都不正确
2.解一元二次方程x－x－12=0，结果正确的是（ ）
A．x=－4， x=3 B．x=4，x=－3 C．x=－4，x=－3 D．x=4，x=3
3.方程解是（ ）
A．x=1 B．x=0，x=－3 C．x=1，x=3 D．x=1，x=－3
4.若t是一元二次方程ax＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ=b－4ac和完全平方式M=(2at+b)的关系是（ ）
A．Δ=M B．Δ＞M C．Δ＜M D．大小关系不能确定
5.方程 的根是（ ）
A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1
6.已知一元二次方程x －2x－7=0的两个根为x，x，则x+ x的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－7 D．7
7.已知x、x是方程x－3x＋1 ＝0的两个实数根，则的值是( )
A、3 B、－3 C、 D、1
8.用换元法解方程(x＋x)＋(x＋x)＝6时，如果设x＋x＝y，那么原方程可变形为（ ）
A、y＋y－6＝0 B、y－y－6＝0 C、y－y＋6＝0 D、y＋y＋6＝0
9.方程x－5x=0的根是（）
A．0 B．0，5 C．5，5 D．5
10.若关于x的方程x＋2x＋k=0有实数根，则（ ）
A．k＜1，B．k≤1 C．k≤－1 D．k ≥－1
11.如果一元二次方程x－4x＋2＝0的两个根是x，x，那么x＋x等于（ ）
A. 4 B. －4 C. 2 D. －2
12.用换元法解方程(x－x)－＝6时，设＝y，那么原方程可化为（ ）
A.＋y－6＝0 B. ＋y＋6＝0 C. －y－6＝0 D. －y＋6＝0
13.设x，x是方程2x+3x-2=0的两个根，则x＋x的值是 ( )
A．-3 B．3 C．－ D．
14.方程x-x=0的解是（ ）
A．0，1 B．1，-1 C．0，-1 D．0，1，－1
15.用换元法解方程_ _
16.两个数的和为6，差为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________
17.方程x－x=0的解是______________
18.等腰△ABC中，BC=8， AB、BC的长是关于x的方程x－10x+m= 0的两根，则m的值是________.
19.关于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是 _______________.
20.解方程：2（x－1）+5（x－l）+2=0． x －2x－2=0 x +5x+3=0

21.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，求方程的另一根和k的值．

22.已知关于 x的一元 二次方程的一个根为0，求k的值．