《最短路径问题》.doc

13.4 课题学习 最短路径问题 (11月1号)
班级 分层_______ 姓名 学号_________
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
探究一、两点在一条直线异侧
例1：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）

探究二、 两点在一条直线同侧
例2：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．

探究三、一点在两相交直线内部
例3：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求。
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小。

例4：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M，则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
A·
B
M
N
E
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,
则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。

巩固训练：
1、如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

2、某班举行晚会，桌子摆成两直条射线(如图中的OA，OB)，OA桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

3、如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地OA边上牧马，再到河边OB马饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线

4、如图，在平面坐标系中，直线l⊥x轴，点A在x轴上，点B在y轴上。
（1）、请在直线l上找出点P，使△ABP的周长最短；
（2）、请在直线l上找出点C，使△ABC是一个等腰三角形（把所有符合条件的点都找出来）。

练习提高：如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．
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