第26章 章末测试卷.doc

第26章　章末测试卷
(时间:90分钟　满分:100分)
【测控导航表】
知识点
题号
二次函数的定义
11
二次函数的图象及平移
2、6、7、8、16、17、18
二次函数的顶点坐标及对称轴
1、18
二次函数的对称性及增减性
3、5、9、10、15
二次函数与一元二次
方程及不等式的关系
4、10、12
二次函数解析式的确定
18、20、21
二次函数的应用
13、14、19、22
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知二次函数y=-2(x+1)2+4,则(　C　)
(A)其图象的开口向上
(B)其图象的对称轴为直线x=1
(C)其最大值为4
(D)当x<-1时,y随x的增大而减少
解析:A、a=-2<0,图象开口向下,故A错误;
B、其图象的对称轴为直线x=-1,故B错误;C、顶点坐标是(-1,4),最大值为4,故C正确;D、a<0,当x<-1时,y随x的增大而增大,故D
错误;
故选C.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是(　B　)

(A)有最小值-5、最大值0
(B)有最小值-3、最大值6
(C)有最小值0、最大值6
(D)有最小值2、最大值6
解析:根据图象,当-5≤x≤0时,图象的最高点的坐标是(-2,6),最低点的坐标是(-5,-3),
所以当x=-2时,y有最大值6;
当x=-5时,y有最小值-3.故选B.
3.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(　A　)
(A)x<1 (B)x>1
(C)x<-1 (D)x>-1
解析:把y=-x2+2x+1配方,得y=-(x-1)2+2.因为-1<0,所以二次函数图象的开口向下,又图象的对称轴是直线x=1,所以当x<1时, y随x的增大而增大.
4.已知二次函数y=x2+x+2与一次函数y=2x-1在同一坐标系中的交点个数是(　A　)
(A)0个 (B)1个
(C)2个 (D)无法确定
解析:根据题意联立方程可得
即x2+x+2=2x-1,整理得x2-x+3=0,Δ=1-12=-11<0,
则二次函数y=x2+x+2与一次函数y=2x-1没有交点,故选A.
5.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是(　D　)

解析:A、由二次函数的图象可知a<0,此时直线y=ax+b经过二、四象限,故A可排除;B、二次函数的图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧,可知a,b异号,b>0,此时直线y=ax+b经过一、二、四象限,故B可排除;C、二次函数的图象可知a>0,此时直线y=ax+b经过一、三象限,故C可排除;正确的只有D.
故选D.
6.如图所示,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是(　D　)

(A)y的最大值小于0
(B)当x=0时,y的值大于1
(C)当x=-1时,y的值大于1
(D)当x=-3时,y的值小于0
解析:根据图象的信息可知,
①y最大值>1,
②当x=0时,y<1,
③当x=-1时,-2<y<1,
④当x=-3时,y<-2.
故选D.
7. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论错误的是(　D　)

(A)c>0 (B)2a+b=0
(C)b2-4ac>0 (D)a-b+c>0
解析:A、因为二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方,所以c>0,正确;
B、由已知抛物线对称轴是直线x=1=-,得2a+b=0,正确;
C、由题图知二次函数图象与x轴有两个不同交点,故有b2-4ac>0,
正确;
D、直线x=-1与抛物线交于x轴的下方,即当x=-1时,y<0,即a-b+c<0,选项错误.故选D.
8.在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度,得到图象的顶点坐标是(　B　)
(A)(-1,1) (B)(1,-2)
(C)(2,-2) (D)(1,-1)
解析:∵y=2x2+4x+1=2(x+1)2-1,
∴抛物线平移后的解析式为
y=2(x+1-2)2-1-1=2(x-1)2-2,
∴顶点坐标为(1,-2).
故选B.
9.已知二次函数y=-x2-7x+,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是(　A　)
(A)y1>y2>y3 (B)y1<y2<y3
(C)y2>y3>y1 (D)y2<y3<y1
解析:∵y=-x2-7x+
=-(x+7)2+32,
∴抛物线的对称轴为直线x=-7,且开口向下,
∴当x>-7时,y随x的增大而减小.
∵-7<0<x1<x2<x3,
∴y1>y2>y3.故选A.
10.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论:
(1)ac<0;
(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小;
(3)3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;
(4)当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0.
其中正确的个数为(　B　)
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
解析:由表中数据可得出二次函数y=ax2+bx+c开口向下,a<0;又x=0时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故(1)正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且对称轴为x==1.5,
∴当x>1.5 时,y的值随x值的增大而减小,故(2)错误;
∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,
∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根,故(3)正确;
∵x=-1时,ax2+bx+c=-1,
∴x=-1时,ax2+(b-1)x+c=0,
∵x=3时,ax2+(b-1)x+c=0,且函数有最大值,
∴当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0,故(4)正确,故选B.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.若抛物线y=(2-m)有最低点,则m=　-3　. 
解析:由m2-7=2得m=±3,
当m=3时2-m<0,抛物线有最高点,
当m=-3时2-m>0,抛物线有最低点,
因此m=-3.
12.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,当y<0时,自变量x的取值范围是　-1<x<3　. 

解析:抛物线在x轴下方的部分表示y<0,
∴x的取值范围是-1<x<3.
13. 如图是某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,拱桥最高点C到AB的距离为9 m,AB=36 m,D,E为拱桥底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7 m,则DE的长为　48　m. 

解析:如图所示,建立平面直角坐标系,x轴在直线DE上,y轴经过最高点C.

设AB与y轴交于点H,
∵AB=36,
∴AH=BH=18,
由题可知OH=7,CH=9,
∴OC=9+7=16,
设该抛物线的解析式为y=ax2+k,
∵顶点C(0,16),
∴抛物线y=ax2+16,代入点(18,7),
∴7=18×18a+16,
∴7=324a+16,
∴324a=-9,
∴a=-.
∴抛物线y=-x2+16,
当y=0时,0=-x2+16,
∴x2=16×36=576,
∴x=±24,
∴E(24,0),D(-24,0),
∴OE=OD=24,
∴DE=OD+OE=24+24=48.
14.如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上,且位于点A,B之间(C不与A、B重合).若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为　 a+4　(用含a的式子表示). 

解析:∵对称轴为直线x=-2,抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,
∴OB=4,
∵由抛物线的对称性知AB=AO,
∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=a+4.
15.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法中正确的是　①③④　.(填写序号) 
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0);
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;
③抛物线的对称轴是直线x=;
④在对称轴左侧,y随x增大而增大.
解析:根据表中的坐标可知(0,6)和(1,6)是一组对称点,
∴抛物线的对称轴为直线x==,且开口向下,
∴其最大值应大于6,且x<时,y随x的增大而增大.
利用抛物线的轴对称性,由(-2,0)可知抛物线与x轴的另一个交点为(3,0).
故正确的是①③④.
16.如图所示,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:

①无论x取何值,y2的值总是正数;
②a=1;
③当x=0时,y2-y1=4;
④2AB=3AC.
其中正确的结论是　①④　. 
解析:y2=(x-3)2+1中,a=>0,
而图象又在x轴的上方,
所以结论①正确.
将A(1,3)代入y1=a(x+2)2-3,
可得a=,
所以结论②不正确.
当x=0时,y2-y1=,
所以结论③错误.
把y=3分别代入两个表达式中,分别求出AB,AC的长度,比较它们的数量关系,可知④是对的.
三、解答题(共46分)
17.(6分)已知抛物线y=-2(x+1)2+8.
(1)求抛物线与y轴的交点坐标;
(2)求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
解:(1)令x=0,则y=-2(0+1)2+8=6,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,6).
(2)令y=0,则-2(x+1)2+8=0,
解得x1=1,x2=-3.
∴两交点间的距离为4.
18.(8分)二次函数的图象经过点A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0).
(1)求此二次函数的关系式;
(2)求此二次函数图象的顶点坐标;
(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移　　　　　　个单位,使得该图象的顶点在原点. 
解:(1)设y=ax2+bx-3,
把点(2,-3),(-1,0)代入得
解方程组得
∴y=x2-2x-3.
(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
∴函数的顶点坐标为(1,-4).
(3)5
19.(7分)如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图,发射台OA的高度为2 m,火炬的高度为12 m,距发射台OA的水平距离为20 m,在A处的发射装置向目标C发射一个火球点燃火炬,该火球运行的轨迹为抛物线形,当火球运动到距地面最大高度20 m时,相应的水平距离为12 m.请你判断该火球能否点燃目标C?并说明理由.

解:该火球能点燃目标C.

以OB所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立坐标系.
点(12,20)为抛物线的顶点坐标.
设抛物线的解析式为y=a(x-12)2+20.
由抛物线过(0,2)得,144a+20=2,
解得a=-.
∴y=-(x-12)2+20.
当x=20时,y=-(20-12)2+20=12.
即抛物线过点(20,12).
∴该火球能点燃目标C.
20.(7分)如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴,交抛物线的对称轴于点D,连结BD.已知点A的坐标为(-1,0).

(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.
解:(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,
得0=4a+4,∴a=-1,
∴y=-(x-1)2+4.
(2)令x=0,得y=3,∴OC=3.
∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1,
∴CD=1.
∵A(-1,0),∴B(3,0),∴OB=3.
∴S梯形COBD==6.
21.(9分)如图所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.

(1)求m的值;
(2)求点B的坐标;
(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
解:(1)将(3,0)代入二次函数解析式,
得-32+2×3+m=0.
解得m=3.
(2)二次函数解析式为y=-x2+2x+3,
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x=3或x=-1,
∴点B的坐标为(-1,0).
(3)∵S△ABD=S△ABC,点D在第一象限,
∴点C、D关于二次函数的对称轴对称.
∵由二次函数解析式可得其对称轴为直线x=1,点C的坐标为(0,3),
∴点D的坐标为(2,3).
22.(9分)如图,小区中央公园要修建一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O恰好在水面的中心,OA=1.25米.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米.

(1)建立适当的平面直角坐标系,使A点的坐标为(0,1.25),水流的最高点的坐标为(1,2.25),求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式(不要求写取值范围);
(2)若不计其他因素,则水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落到池外?
(3)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池半径为3.5米,要使水流不落到池外,此时水流距水面的最大高度就达到多少米?
解:(1)

以柱子OA所在的直线为y轴,垂直于OA的直线为x轴建立平面直角坐标系,
因为顶点为(1,2.25),
设解析式为y=a(x-1)2+2.25过点(0,1.25),
解得a=-1,所以解析式为
y=-(x-1)2+2.25;
(2)由(1)可知y=-(x-1)2+2.25,令y=0,
则-(x-1)2+2.25=0,
解得x=2.5 或x=-0.5(舍去),
所以花坛半径至少为2.5 m;
(3)根据题意得出:
设y=-x2+bx+c,
把点(0,1.25),(3.5,0)代入y=-x2+bx+c,得
解得
则y=-x2+x+=-（x-）2+,
故水池的半径为3.5 m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达 m.
附加题(共20分)
23.(10分)如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连结AM,BM.

(1)求抛物线的函数关系式;
(2)判断△ABM的形状,并说明理由.
解:(1)∵点A为直线y=x+1与x轴的交点,
∴A(-1,0),
又B点横坐标为2,代入y=x+1可求得y=3,
∴B(2,3),∵抛物线顶点在y轴上,
∴可设抛物线解析式为y=ax2+c,
把A,B两点坐标代入可得
解得
∴抛物线解析式为y=x2-1.
(2)△ABM为直角三角形,理由:
由(1)抛物线解析式为y=x2-1可知M点坐标为(0,-1),
∴AM=,
AB===3,
BM==2,
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2,
∴△ABM为直角三角形.
24.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx-3a(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,2),连结BC.

(1)求该抛物线的解析式和对称轴,并写出线段BC的中点坐标;
(2)将线段BC先向左平移2个单位长度,再向下平移m个单位长度,使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上,求此时点C1的坐标和m的值;
(3)若点P是该抛物线上的动点,点Q是该抛物线对称轴上的动点,当以P,Q,B,C四点为顶点的四边形是平行四边形时,求此时点P的坐标.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-3a(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,2),
∴解得
∴抛物线的解析式为
y=-x2+x+2=-(x-1)2+2,
∴对称轴是x=1,
∵1+(1+1)=3,
∴B点坐标为(3,0),
∴BC的中点坐标为(1.5,1);
(2)∵线段BC先向左平移2个单位长度,再向下平移m个单位长度,使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上,点C1的横坐标为-2,
当x=-2时,
y=-×(-2)2+×(-2)+2=-,
∴点C1的坐标为（-2,-）,
m=2-（-）=5;
(3)①若BC为平行四边形的一边,
∵BC的横坐标的差为3,点Q的横坐标为1,
∴P的横坐标为4或-2,∵P在抛物线上,
∴P的纵坐标为-3,
∴P1（4,-3）,P2（-2,-3）;
②若BC为平行四边形的对角线,
则BC与PQ互相平分,
∵点Q的横坐标为1,BC的中点坐标为(1.5,1),
∴P点的横坐标为1.5+(1.5-1)=2,
∴P的纵坐标为-×22+×2+2=2,
∴P3(2,2).
综上所述,点P的坐标为
P1（4,-3）,P2（-2,-3）,P3(2,2).