构造圆巧解题.doc

中招动态探索性问题探究--构造圆 巧解题
安阳市第63中学 田广申
论文摘要：中招动态探索性题目，综合性、灵活性较强, 恰当地构造辅助圆,可使解决问题的思路更加清晰，化繁为简,可以巧妙的解决一些数学问题：一、根据“圆的定义”构造圆，探究等腰三角形存在性问题；二、根据“圆与圆的位置关系”与“圆内（外）角与圆周角的关系”构造圆探究三角形存在性问题；三、根据“圆周角的性质”构造圆探究直角三角形存在性问题；四、根据“圆周角的性质”构造圆，探究到两定点距离和最短问题及直角顶点移动路径问题；五、根据“四点共圆”构造圆，探究与三角形、四边形有关的线段、角的问题.对于动态探索性题目，要将每一个变化过程细节化，熟悉试题演变过程，注重试题变式变化，多思考，多归纳总结，运用“数形结合、分类讨论”等数学思想，使这类问题模型化，找到解决此类数学问题思考方式，提高学生分析、解决问题的能力.
关键词：动态探索性、构造圆、三角形存在性
中招题目最近几年不断涌现动态探索性题目，在解这些综合性、灵活性较强的数学问题时, 常会遇到一些用常规方法很难解决的问题，如果能找出问题的本质特征,结合圆的相关知识,恰当地构造辅助圆,可使解决问题的思路更加清晰，可使问题化难为易,化繁为简,可以巧妙解决一些数学问题.构造圆的基本方法有:①根据“圆的定义”构造圆;②根据“圆周角的性质”构造圆;③根据“圆与圆的位置关系”构造圆；④根据“四点共圆”构造圆；⑤根据“两圆相切的性质”；⑥ 根据“圆内（外）角与圆周角的关系”构造圆.下面以部分中考中问题为例加以阐述.
一、根据“圆的定义”构造圆，探究等腰三角形存在性问题：
1、对于在已知的线上找点构成等腰三角形的问题，构造出符合题意特征的圆，能迅速找出构成等腰三角形的顶点.
例如：在平面直角坐标系中，A（4,0），O为原点，求直线上一点P，使△AOP为等腰三角形，这样的点P有几个？
如图：分别以点O、B为圆心，OA为半径作圆，与直线相交，易求得点P有4个位置；作OA的垂直平分线与直线相交易求得点P有1个位置，所以共有5个点.
两定点、一动点的等腰三角形存在性问题可归纳为：
“两圆一线找顶点，不重不漏能找全”.
2、根据“圆的定义”构造圆，然后利用圆的性质解决问题：
例如：如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝°，∠ECD＝°，⊙B的半径为R，则弧DE的长度是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由切线长定理易知：PE＝PD＝PC，以点P为圆心PE为半径构造圆，
∵∠ECD＝°∴∠DPE＝2°
∴∠B＝（180－2y）°
∴弧DE的长为：＝
可归纳为：“等长线段共端点，条件放在圆里面”.
二、根据“圆与圆的位置关系”与“圆内（外）角与圆周角的关系”构造圆探究三角形存在性问题：
利用“两圆相交时圆心距与两圆半径和、半径差的关系”构造圆，可以解决三角形第三边取值范围问题.
例如：已知△ABC两边长分别是1、2，第三边长为x，则x的取值范围是： .
变式（1）：若△ABC为等腰三角形，则x的值为： .
变式（2）：若△ABC为直角三角形，则x的值为： .
变式（3）：若△ABC为锐角三角形，则x的取值范围是： .
变式（4）：若△ABC为钝角三角形，则x的取值范围是： .
易求得：1<x<3；变式（1）：x=2；变式（2）：x=或x=
变式（2）～变式（4）问题可以构造两个辅助圆分析解答，如图：
在△ABC中，AB=2，BC=1，点O是BC中点，分别以点O、B为圆心，1为半径作圆，两圆相交于点F,⊙B与AB的延长线相交于点E，过点B作BD⊥AB于⊙B交与点D.
当点C与点F、D重合时，△ABC是直角三角形，此时x=或x=；
当点C在上移动（不与点F、D重合）时，△ABC是锐角三角形，此时<x<；
当点C在或上移动（不与点O、F、D、E重合）时，△ABC是钝角三角形，此时1<x<或<x<3.
三角形存在性问题可归纳为：
“三角放在圆当中，圆里圆外角不同”.

三、根据“圆周角的性质”构造圆，探究直角三角形存在性问题:
1. 两定点、一动点直角三角形存在性问题：
例如：（2013安阳一模23题）、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图像与直线y＝－x＋3交于A、B两，且点A在y轴上，点B的坐标是(4，1)。
⑴ 求抛物线的函数解析式；
⑵ 过点A作AC⊥AB交x轴于点C.
①求点C的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，求出此时PA＋PC的值，若不存在，说明理由；
③除点C外，在坐标轴上是否存在点Q，使得△QAB为直角三角形？若存在，直接写出所有能使△QAB为直角三角形点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：⑴、⑵①、②略；
③以AB为直径作圆与坐标轴交与点Q1 (，0) Q2(1，0) Q4 (0，1)；
分别过A、B两点作直线AB的垂线与坐标轴交与点C（-1.5，0）Q3(3，0) Q5（0，－7）.
两定点、一动点直角三角形存在性问题可归纳为：
“一圆两线找直角，直角顶点无处逃”.
2. 一定角直角三角形存在性问题：
把问题中的固定角转化为圆周角问题，然后利用圆的性质就能使问题得以顺利解决：
例如、（2013平顶山二模15题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，P是BC上的动点，设PB＝x，若能在AC上找到一点M，使∠BMP＝90°，则x的取值范围是 .
解析：1、以BP为直径作⊙O，当⊙O与AC相切时，BP最短；当⊙O经过点C时，BP最长，所以6≤x≤8.
一定角直角三角形存在性问题可归纳为：
“斜边直角都变化，正弦余弦帮大家”
四、根据“圆周角的性质”构造圆，探究到两定点距离和最短问题及直角顶点移动路径问题：
例如、（2013武汉中考16题）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
变式：点H移动的路径长为 .
解析：易求得∠1=∠2=∠3，所以∠AHB=90°；以AB为直径作⊙O，当E，F在AD上移动时，点H在⊙O上移动，因为OH+HD≥OD,所以线段DH长度的最小值是-1；变式：点H移动的路径长为.
直角顶点移动可归纳为：
“斜边长度不变化，直接顶点圆上画”.
五、根据“四点共圆”构造圆，探究与三角形、四边形有关的线段、角的问题：
判断四点共圆的常用方法有：①对角互补的四边形的四个顶点共圆；②同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆．
例如：如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE＝DE．
解析：连接DB、DF．
∵∠CBF＝45°，∠DBC＝45°，
∴∠DBF＝90°．
又∠DEF＝90°，
∴D、E、B、F四点共圆，
∴∠DFE＝∠DBE＝45°，
∴FE＝DE．
例如：△ABC中,作BD⊥AC于D, CE⊥AB于E, 连DE, 若∠ABC=45°, 求∠EDB的度数.
如图：以点O为圆心，OB为半径作圆，易求得∠EDB=45°.
与三角形、四边形有关的线段、角的问题可归纳为：
“四点共圆四边形，边角转换到圆中”.
总之，对于动态探索性题目，要将每一个变化过程细节化，熟悉试题演变过程，注重试题变式变化，多思考，多归纳总结，运用“数形结合、分类讨论、转化化归、归纳类比、函数与方程”等数学思想，使这类问题模型化，找到解决此类数学问题思考方式，不但能较好的达到解题的目的，还有利于提高学生分析解决问题的能力.