数形结合思想在二次函数中的应用-教学设计.docx

数学结合思想在二次函数中的应用
广州市西关外国语学校 吴嘉妍
一、 课标要求
1. 通过实际问题情境分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义，能从图象上认识二次函数的性质，能用函数刻画事物间的相互关系并进行分析。
2. 探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。
二、 内容分析
二次函数在初中数学教学中有重要地位，它是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。它的考查经常牵涉到等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，二次函数也是中考的热点之一。本节课设想在学生第一轮复习了二次函数的图象与性质的基础上，在第二轮复习中进一步研究解决二次函数与几何结合的综合问题，让学生体会这类问题的通解通法，感受数学结合思想为解题带来的便利，初步掌握一些处理数形关系及其变化规律的常用手法，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。
三、教学目标
1. 初步掌握利用几何图形和二次函数的有关性质及相关知识解决函数与几何融合在一起的综合问题的一些常用方法，会探索、寻找、利用运动中的“不变量”；
2. 学会运用类比、联想、转化、推理等方法挖掘问题中的隐含条件，用数形结合、分类讨论等思想方法分析问题，在问题解决的过程中提升运用函数知识与方法解决问题的能力。
四、 教学重点
培养运用类比、联想、转化、推理等方法解决二次函数与几何综合问题的思维方式方法。
五、 教学难点
挖掘问题中的隐含条件，寻找运动中的“不变量”，用数形结合思想分析、思考问题。
六、 学情分析
教学班级为平行班，学生的学习基础参差不齐，成绩中等的学生占大多数。本班学习积极性高。因此在设计本节课的内容是，从最基础的二次函数知识出发，由浅入深，环环紧扣，从题目的设计上降低学生学习的难度，从而让学生能更好地体会数形结合思想在二次函数中的应用。

七、 教学过程
环节设置
具体内容
设计意图

一、知识回顾
二次函数的大致图形如图所示。则它的对称轴为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P在抛物线上且它的横坐标为2，那么点P的坐标为 .连接AC，BC,则△ABC是一个 三角形.
让学生通过基础练习回忆二次函数的相关内容，巩固对二次函数的基础性质的理解。
判断△ABC的形状事实上已经是数形结合的运用，由浅入深，学生较易接受。
本环节得出的结论都可作为后面例题的条件，学生在完成本环节时以为后续的练习做好铺垫。

二、基础训练
例1、在上述的条件下，问在y轴上是否存在一点D，使得PD＋AD的长度最小？如存在，求出这时点D的坐标.

变式1、在x轴上求一点E，使得PE＋DE的值最小，求出点E的坐标.

例2、在上述条件下，F是线段AP上的一个动点，过F作y轴的平行线交抛物线于点G，求线段FG的长度的最大值.

变式2、在上述条件下，若点H是点A与点P之间的抛物线上的一点（点H不与点A、点P重合），当△APH面积最大时，求H的坐标.
例1与变式1是二次函数中求线段之和最小的问题，学生容易在题设中抽象出其中蕴含的几何问题，也就是他们所熟悉的将军饮马问题。学生要先把求坐标这样的代数问题，转化为几何问题求解。
从较常见的题目开展教学，能提高学生的学习热情和积极性。同时，这两道题目的难度较低，学生能在完成题目的同时体会数形结合思想。

例2和变式2是在二次函数中动点问题与求最值问题的结合。学生需要经历用代数方法解几何问题的过程。难度相比前面的题目有所加强，梯度较为合适。两道题是有一个承接关系的，例2的结论可以用于变式2.
例2中，学生需要先设动点的坐标然后表示出线段的长度，其中新设未知数的范围需要强调。这里也会对学生解题的规范性与严谨性作出强调。

三、能力提升
例3、在上述条件下，若K是在抛物线上的一个点且(点K不与点C重合），求K的坐标.

变式3、在第一象限的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
例3与变式3是结果有一种情况以上的分类讨论问题。例3由二次函数的对称性所以满足要求的点有两个。变式3是二次函数与相似三角形的结合。已知有一组对应角是直角，因此两边对应成比例就会存在两种情况。
分类讨论一直是学生们感到困难的提醒。因此在能力提升环节设置这样的题目，是对课程难度的升华。同时也希望让学生感受到，当解决这类型的题目是，只要把图画出来，综合运用数形结合思想，那题目就自然而然地能够解决了。

四、小结反思

（1）解这类问题要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识解决，注意知识的类比、联想，挖掘题目中的一些隐含条件。
（2）解题时要注意运用数形结合、分类讨论等数学思想方法，以达到解题目的。
（3）牵涉到动态问题，在解题时要把动态问题转变为静态问题来解决，寻找运动中的“不变量”作为解决问题的突破口。

五、布置作业
必做题如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0）
两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.
（1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；（2）求线段BC的长度；
（3）在抛物线上是否存在点F，使四边形ABFC为等腰梯形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由.

选做题如图2，若直线与线段BC交于点D（不与点B,C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时P的横坐标的取值范围．

布置作业的环节笔者设置了两道二次函数综合题，希望学生能通过这样的综合题巩固所学知识。
另外，作业设置了必做题和选做题，符合分层教学的要求。

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