向量与几何相结合！重点难点突破——伤其十指不如断其一指-88abb25d064941a496072ed2194346fb.docx

向量与几何相结合！重点难点突破——伤其十指，不如断其一指
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3 B．2 C． D．2
2．在平面内，定点满足，，，动点满足，，则的最大值是( )
A． B． C． D．
3．已知向量OA，  OB满足OA=OB=2，点C在线段AB上，且OC的最小值为2，则tOA−OBt∈R的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.2
4．如图，已知中，，点在线段上运动，且满足，当取到最小值时，的值为(　　)

A． B． C． D．
5．如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是（ ）

A． B．0 C． D．1
6．中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
7．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
8．在直角三角形中，，，点在斜边的中线上，则的最大值为( )
A． B． C． D．
9．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在半径为2的圆的内接四边形中，是直径，，是线段上异于、的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
12．已知向量，，若，，则的最大值为( )
A． B．2 C． D．

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
分别以所在的正弦为轴建立平面直角坐标系，写出点的坐标，根据圆的参数方程写出点的坐标，代入，解出的表达式，然后利用三角函数求最值的的方法，求得的最大值.
【详解】
分别以CB，CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)．
∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，
∴可设P.
则＝(0，－1)，＝(－2,0)，
＝.
又＝λ＋μ，
∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1，
∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，
其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3.
答案　A
【点睛】
本小题主要考查向量的坐标运算，考查利用坐标法解平面几何的问题，考查了数形结合的数学思想方法.两个向量相等时，它们对应的横坐标和纵坐标是相等的.对于圆上点的坐标，可以考虑用三角换元的思想，将圆上点的坐标用三角函数来表示，最后求最值时就可以用三角函数的值域来求解.
2．B
【解析】
【分析】
根据已知可确定既是的垂心，也是的外心，从而可知为等边三角形，利用可求得，从而确定边长为，进而建立平面直角坐标系；根据点轨迹为圆可设，利用为中点可得，进而表示出；将所求整理为，利用三角函数知识可求得所求的最大值.
【详解】
由得：为的垂心
由得：为的外心
为等边三角形
边长为
则可建立如下图所示的平面直角坐标系：

则，，
由可知点轨迹是以为圆心，为半径的圆，可设
又，可知为中点

当时，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量模长的最值求解问题，涉及到三角形“四心”的向量表示法；关键是能够通过所给的数量积和模长关系确定三角形为等边三角形，且确定动点的轨迹所满足的方程，进而通过参数方程的方式将问题转化为三角函数最值的求解问题，属于较难题.
3．D
【解析】
【分析】
依据题目条件，首先可以判断出点C的位置，然后，根据向量模的计算公式，求出tOA−OB的代数式，由函数知识即可求出最值。
【详解】
由于OA=OB=2，说明O点在AB的垂直平分线上，
当C是AB的中点时，OC取最小值，最小值为2，
此时OA与OC的夹角为45°，OB与OC的夹角为45°，
∴OA与OB的夹角为90°，
tOA−OB2=OB2+t2OA2−2tOA⋅OB=4t2+4t∈R的最小值是4，
即tOA−OB的最小值是2.故选D.
【点睛】
本题主要考查了平面向量有关知识，重点是利用数量积求向量的模。
4．D
【解析】
【分析】
以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，计算P点坐标，得到的式子得到答案.
【详解】
以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系
不妨设
则，

当时取最小值
故答案选D
【点睛】
本题考查了向量的计算，函数的最值，建立直角坐标系可以简化运算.
5．A
【解析】
【分析】
计算，设，把代入得出关于的函数，根据的范围得出最小值．
【详解】
由等腰梯形的知识可知，
设，则，
，
，
当时，取得最小值．
故选：．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
6．C
【解析】
【分析】
由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再根据向量加法的平行四边形法则得到P所在的轨迹，进而得到结果.
【详解】

依题意.由余弦定理得，故为直角三角形.设，过作，交于，过作，交于.由于，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，点位于线段上，由图可知最短时为，所以.
故选C.
【点睛】
(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
7．D
【解析】
【分析】
以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．
【详解】
以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得，设，
由，
可得，即，
则

，
当时，的最小值为．
故选：D．

【点睛】
本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．
8．C
【解析】
【分析】
由已知条件，可以建立以的方向为轴的正方向的直角坐标系， 求出三点的坐标，由于是斜边的中线，可以求出点坐标，设点的坐标，点在上，所以设，求出点的坐标，根据平面向量的数量积的坐标表示求出的表达式，利用二次函数求最值的方法，求出的最大值.
【详解】
因为，所以以的方向为轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：

所以
设，
所以，，
，所以当时，的最大值为，故本题选C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示、二次函数的最值，考查了数形结合、构造函数法，求出的坐标表达式，是解题的关键.
9．B
【解析】
【分析】
根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可。
【详解】
因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时

所以，即
当M与C重合时，最大，此时

所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即
所以选B
【点睛】
本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题。
10．C
【解析】
【分析】
将分别表示为,，即可整理得：
，求出到的距离，可得，问题得解。
【详解】
依据题意，作出如下图象：

,.
因为是圆直径且圆半径为，所以
所以
，
在中，由余弦定理可得：
解得：.
设到的距离为，则.
解得：，
又是线段上异于、的点，所以.
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了向量的加法及数量积运算，考查了余弦定理、转化思想及等面积法求高，考查计算能力，属于中档题。
11．B
【解析】
【分析】
以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设的坐标为，求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.
【详解】
解：以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，
设的坐标为，
过点作垂直轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，，
∴，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故选：B．

【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．
12．C
【解析】
【分析】
由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可．
【详解】
由题意可知：AB⊥BC，CD⊥AD，
故四边形ABCD为圆内接四边形，
且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC，
因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，
故的最大值为：
故选：C．

【点睛】
本题考查向量模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题