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轴对称作图在实际中的应用——最短路径问题
【学习目标】
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
2、会将实际问题抽象成几何图形。
【学习过程】
一、 创设情景 引入课题
如图１，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地（A、B两地分别在河的两侧），牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
图１

A
l
B

观察思考：

这是一个实际问题，我们将A、B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，把这个实际问题转化为数学问题。请在下面图形中画出饮马地点C。
二、探索新知
如图２，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地（A、B两地在河的同一侧），牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路线全程最短？
l
B

A

图２

观察思考：
请你思考画图，把这个实际问题抽象为数学问题。图形画在下面空白处。

请你用所学的知识证明你所画的路径是最短的。
证明：

三、巩固练习：
１、如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。
（1）若要使厂部到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂?
（2）若要使厂部到A、B两村所用的水管长度最短，则水厂应建在什么地方?

解：（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）

２、如图，∆ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，P点在BC边上移动，试确定P点的位置，使∆PDE的周长最小。

拓广探索
1、如图，已知直线OM、ON和点A、B，请在直线OM上找一点P，直线ON上找一点Q，使得AP+PQ+QB的长度最短。

2、如图，已知直线OM、ON和点A、B，请在直线OM上找一点P，直线ON上找一点Q，使得AP+PQ+QB的长度最短。

3、如图，牧马人从A地出发，先到草地边MN某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．

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