导数应用旧题回放.doc

导数应用旧题回放
1.已知函数,其中a为实数.
（1）若在处有极值，求a的值；
（2）若在上是增函数，求a的取值范围。
1.解：（1）由已知得的定义域为
又……3分 由题意得
……5分
（2）解法一：依题意得对恒成立， …7分
……9分
的最小值为
的最大值为 ……12分 又因时符合题意
为所求……14分
解法二：依题意得
对恒成立， 即
对恒成立 …7分
令
（1）当时，恒成立……9分
（2）当时，抛物线开口向下，可得
即 ……11分
（3）当时，抛物线开口向上，可得
即 ，即……13分
又因时符合题意 综上可得为所求 ……14分
2.已知函数（其中）.
（Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
2.解：由，可得. …….2分
（Ⅰ）因为函数在点处的切线为，得:
…….4分解得 …….5分
（Ⅱ）令，得… ①.6分 当，即时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数的单调递增区间为和.….8分
当，即时，不等式①的解为或，….10分
又因为，所以此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
.……………….12分
所以，当时，函数的单调递增区间为和；
当时，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为和. .……………….13分
3. (本小题14分)已知，函数.
（Ⅰ）若在处取得极值，求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值.
3．（Ⅰ） ，… 2分
由题意知时，，即：，∴… 3分
∴ ， 令，可得
令，可得令，可得
∴ 在上是增函数，在上是减函数，…… 6分
（Ⅱ），∵， ∴ ，
∴ ，…… 7分
① 若，则恒成立，此时在上是增函数，
……………………………… 9分
② 若，则恒成立，此时在上是减函数，
……………………… 11分
③ 若，则令可得
∵是减函数，∴当时，当时∴在 上左增右减，
∴，… 13分综上： 14分
4．（本小题满分13分）已知函数 .
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性.
4．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，，.
所以，. ………（求导、定义域各一分） 2分
因此. 即曲线在点处的切线斜率为1. ………… 3分
又，… 4分所以曲线在点处的切线方程为. ……… 5分
（Ⅱ）因为，所以，. …… 7分 令，，
①当时，，，
当时，，此时，函数单调递减；……… 8分
当时，，此时，函数单调递增. …… 9分
②当时，由即解得，.
此时，所以当时，，此时，函数单调递减；…10分
时，，此时，函数单调递增；……11分
时，，此时，函数单调递减. …12分
综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减. ………… 13分
5..（本小题满分14分）设函数．
（I）求的单调区间；（II）当0<a<2时，求函数在区间上的最小值．
5解：（I）定义域为．．
令，则，所以或．因为定义域为，所以．
令，则，所以．因为定义域为，所以．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． …………7分
（II） （）．．
因为0<a<2，所以，．令 可得．
所以函数在上为减函数，在上为增函数．
①当，即时，在区间上，在上为减函数，在上为增函数．所以．
②当，即时，在区间上为减函数．
所以．综上所述，当时，；
当时，． ………14分
6.（本小题共14分）设函数．
（Ⅰ）求函数的定义域及其导数；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，令，若在上的最大值为，求实数的值．
6．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由得，即函数的定义域为（0,2）；----2分
． --------4分
（Ⅱ）当时，
（1）当时，，所以在区间上，，
故函数的单调递增区间是； ----5分
（2）当时，令，解得，
①当时，即时，在区间上，，故函数的单调递增区间是； --------7分
②当时，即时，在区间上，， 在区间上，，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是． -----9分
（Ⅲ）当且时，， --11分
即函数在区间上是增函数，故函数在上的最大值为， ---12分
所以，即． ------14分
7.已知函数．（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围．
7解：（Ⅰ）由，可得，……2分　当时，单调递减；当时，单调递增．所以函数在上单调递增．又，所以函数在上的最小值为． …6分
（Ⅱ）由题意知，则．若存在使不等式成立，只需小于或等于的最大值．设，则．
当时，单调递减；当时，单调递增．
由，，，可得．
所以，当时，的最大值为．故．…13分
8．（本小题满分14分）已知函数在处有极值．
（Ⅰ）求实数值；（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）令，若曲线在处的切线与两坐标轴分别交于，两点（为坐标原点），求的面积．
8. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为，
所以………2分由，可得 ，．经检验时，函数在处取得极值，所以．…………5分
（Ⅱ），．…7分
而函数的定义域为，
当变化时，，的变化情况如下表：

极小值

由表可知，的单调减区间为，的单调减区间为．……10分
（Ⅲ）由于，所以，当时，，．所以切线斜率为，切点为，
所以切线方程为，即．……13分
令，得，令，得． 所以的面积．14分
9．(本小题满分15分) 已知函数(为常数)是R上的奇函数，函数g(x)=是区间上的减函数.(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若上恒成立，求t的取值范围；
(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数．
9．解：(Ⅰ) 是奇函数， = ……1分
， ．4分
(Ⅱ)由（１）知：，，上单调递减，上恒成立，……………6分
，只需，
恒成立，
令＝,则，，而恒成立， ……………9分
(Ⅲ) ， …………………………10分
令
当上为增函数；
当为减函数；
当而，……………12分
方程无解；
方程有一个根；
方程有两个根。 …………………………15分
10.已知，其中是自然常数，
（1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
10解：（1），
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 ∴的极小值为
（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴ ， 令，，
当时，，在上单调递增
∴
∴在（1）的条件下，
（3）假设存在实数，使（）有最小值3，
① 当时，，所以 ， 所以在上单调递减，
，（舍去），
所以，此时无最小值.
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件.
③ 当时，，所以，
所以在上单调递减，，（舍去），
所以，此时无最小值.
综上，存在实数，使得当时有最小值3.
11. 已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．
（1）求证：；
（2）设，是函数的两个极值点．若，求函数的解析式.
11解：（1）三个函数的最小值依次为，，， 由，得
∴
，
故方程的两根是，．
故，．
，即 ∴ ．
（2）①依题意是方程的根，故有，，
且△，得．
由
；得，，．
由（1）知，故，
∴ ， ∴．
12.已知函数，.
（1）如果函数在上是单调增函数，求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
12.解：（Ⅰ）当时，在上是单调增函数，符合题意．………1分
当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，
所以，解得或，所以． ……3分
当时，不符合题意． 综上，的取值范围是．………4分
（Ⅱ）把方程整理为，
即为方程.…5分 设 ，
原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点. ………6分
………7分
令，因为，解得或（舍）……8分
当时, , 是减函数；当时, ，是增函数. …10分 在()内有且只有两个不相等的零点, 只需
……………13分
即 ∴
解得, 所以的取值范围是() ． …………………14分
13.（14分）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（1）用表示a，b，c；
（2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
13解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，
即.因为所以.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得 因此故，，
（II）解法一.
当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则所以
所以的取值范围为
解法二：
因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）
上的抛物线，所以 即解得
所以的取值范围为