θ-型 Calderón-Zygmund 算子交换子在齐次变指标 Herz 空间中的有界性.pdf

Pure Mathematics 理论数学,2023,13(10),2862-2876Published Online October 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pmhttps:/doi.org/10.12677/pm.2023.1310293-型 Calder on-Zygmund 算子交换子在齐次变指标 Herz 空间中的有界性薛薛薛凤凤凤宇宇宇牡丹江师范学院数学系，牡丹江 黑龙江收稿日期：2023年9月6日；录用日期：2023年10月6日；发布日期：2023年10月18日摘 要本文研究了-型 Calder on-Zygmund 算子与 BMO 函数生成的交换子在具有三个变指标的齐次Herz 空间(),()()(R)上的有界性。关键词-型 Calder on-Zygmund 算子，交换子，变指标 Herz 空间，BMO 空间Boundedness of Commutators for-TypeCalder on-Zygmund Operators onHomogeneous Herz Spaces withVariable ExponentsFengyu XueDepartment of Mathematics,Mudanjiang Normal University,Mudanjiang HeilongjiangReceived:Sep.6,2023;accepted:Oct.6,2023;published:Oct.18,2023文章引用:薛凤宇.-型 Calder on-Zygmund 算子交换子在齐次变指标 Herz 空间中的有界性J.理论数学,2023,13(10):2862-2876.DOI:10.12677/pm.2023.1310293薛凤宇AbstractIn this paper,we investigated the boundedness of commutators generated by-typeCalder on-Zygmund operators with symbol function in BMO spaces on homogeneousHerz spaces(),()()(R)with three variable exponents.Keywords-Type Calder on-Zygmund Operators,Commutator,Herz Spaces with VariableExponents,BMO SpaceCopyright c 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言自 Calder on 和 Zygmund 引入高维奇异积分算子以来,Calder on-Zygmund 算子及其各种形式的推广受到众多学者的广泛研究.1985 年,Yabuta 1 和彭 2 分别独立地把具有标准核的Calder on-Zygmund 算子作了推广,引入了-型 Calder on-Zygmund 算子.定义1.1.1 设 是(0,+)上非负非减函数且满足10()1 .称定义在 R R(,):R 上的可测函数(,)是一个-型核,如果(i)当 =时,有|(,)|;(ii)当|2|时,有|(,)(,)|+|(,)(,)|(|)|.称线性算子:S(R)S(R)是-型 Calder on-Zygmund 算子,如果DOI:10.12677/pm.2023.13102932863理论数学薛凤宇(iii)能扩张成从 2(R)到其自身的有界线性算子;(iv)存在一个-型核(,),使得对所有的 (R)有():=R(,)(),Rsupp,其中S(R)是 Schwartz 函数类,S(R)是S(R)的对偶空间,(R)为 R上具有紧支集的无穷次可微函数空间.易知,当()=(0 1)时,就是具有标准核的 Calder on-Zygmund 算子.给定一个局部可积函数,由 和 生成的交换子,定义为,()=()()()()=R()()(,)().(1.1)许多学者研究了-型 Calder on-Zygmund 算子的交换子在众多函数空间上的有界性.2002 年,Liu 和 Lu 在文 3 中给出了-型 Calder on-Zygmund 算子与 BMO 函数生成的交换子的 LlogL 型的弱型估计.在文 4,张和徐建立了-型 Calder on-Zygmund 算子与 BMO 函数生成的高阶交换子的加权尖锐估计.Wang 在文 5 中证明了算子 和交换子,在广义加权 Morrey 空间上的有界性.最近,孙和张在文 6 中讨论了当 属于某类加权 BMO 空间时,交换子,在加权 Hardy 空间上的有界性.变指标函数空间理论在近年来受到许多学者的重视.因为这一理论的提出不仅具有重要的理论意义,而且在其他一些领域中有着重要应用,例如:流体力学、图像恢复和具有非标准增长项的偏微分方程等,见文710.Herz 空间是调和分析中的一类重要函数空间.1968 年,Herz 在文 11 中研究 Fourier 变换的绝对收敛性问题时首次引入了 Herz 空间.此后,有关 Herz 型空间的结构及算子在其中的有界性得到了深入研究,见专著 12.2009 年,Izuki 13 引入了具有一个变指标 Herz 空间.2012 年,Almeida和 Drihem 14 引入了带有两个变指标的 Herz 空间.2011 年,Izuki 和 Noi 在文 15 中利用混合Lebesgue 序列空间的思想引入了带有三个变指标的 Herz 空间,并建立了某些算子和交换子在非齐次变指标 Herz 空间中的有界性.近几年,Tao 和 Yang 在文 1618 中讨论了 和,在变指标 Herz 空间、变指标 Morrey 空间和变指标 Morrey-Herz 型 Hardy 空间上的有界性.2021 年,Yu和 Liu 在文 19 中研究了一类次线性算子在三个变指标齐次 Herz 空间上的有界性.受上述结果启发,本文将考虑-型 Calder on-Zygmund 算子与 BMO 函数生成的交换子在具有三个变指标的齐次Herz 空间上的有界性.2.预备知识和引理设 B 为 R中的球体,记|为 B 的 Lebesgue 测度,表示其特征函数.对于局部可积函数 DOI:10.12677/pm.2023.13102932864理论数学薛凤宇和任意球 B,记=|1().我们约定,下文中的常数 C 与主要参数无关且其取值在不同的位置可以不尽相同.为叙述我们的结果,首先回顾一些定义和引理.定义2.1.设函数():R 1,)是可测函数.变指标 Lebesgue 空间()(R)定义为()(R)=在 R上可测:()(),其中()()=R|()|()0:()1意义下是一个 Banach 空间.用(R)表示满足下面条件的可测函数()构成的集合=:essinfR()1 和+=:esssupR()0,+0 使得对任意,R有|()()|log(e+1|),则称()是局部 log-H older 连续的,并记()log0(R).若存在常数 0 使得对任意 R有|()|log(e+|),其中=lim|(),则称()在无穷远处 log-H older 连续(或在无穷远处 log-衰减),并记()log(R).定义 log(R)如下log(R)=()(R):()log0(R)log(R).现在来介绍混合变指标 Lebesgue 序列空间的定义.定义2.2.15 设(),()0(R).()()是 R上满足下列条件的可测函数序列=0的集合:=0()()=inf 0:()()(=0)1 0:R(|()|1/()()1.特别地,若+,则有()()(=0)=0|()()().下面介绍具有三个变指标的 Herz 空间的定义.设 Z,记=R:|2,=1.用=表示 的特征函数.定义2.3.15 设(),()0(R),():R R 且 +.齐次 Herz 空间(),()()(R)定义为(),()()(R)=()loc(R0):(),()()0:=(2()|)()()()1.显然,当()=0,()=0以及()=0时,(),()()(R)=0,00(R)为经典 Herz 空间.引理2.1.20(广义的 H older 不等式)设()(R),则对所有 ()(R)和 ()(R),有R|()()|()(),其中=1+1/1/+.引理2.2.14 设 (R)且 log(R),1 0.则()1()2(1/2)+,0 2 1/2;1,1/2 0 与,1及 2无关.引理2.3.21 若()(R),则()(R)且存在正数 1和 2使得对任意球 R和DOI:10.12677/pm.2023.13102932866理论数学薛凤宇任意可测集 都有()(R)()(R)(|)1及()(R)()(R)(|)2.引理2.4.21 若()(R),则对任意球 R有1|()(R)()(R).引理2.5.22 设(),()0(R).如果 ()()(R),那么min(+()(),()()|()()max(+()(),()().定义2.4.BMO 空间定义为=1(R):*0 是一个整数.存在常数 0,使得对任意的,Z,有(1)1*sup1()(R)()()(R)*;(2)()()(R)()*()(R).引理2.7.19 若 0 且 1 1.Lu 和 Zhang 在文 23 中的定理 3.2 包含了下面的结果.引理2.8.23 设 (R),是-型 Calder on-Zygmund 算子.若()(R)且 满足10()|log|0,使得,()()(R)*()(R).3.定理及其证明定理3.1.设 (R),是-型 Calder on-Zygmund 算子且 满足(2.1)式.又设()(R),1()和 2()0(R),且满足(2)(1)+和()/2()(R).如果()log(R)且 2 +0:=(2()|,()|)2()()2()1,于是有,()(),2()()(R)0=(1+2+3).下面证明,()(),2()()(R)*(),1()()(R).为此只需证明 1,2,3*(),1()()(R).记 0=(),1()()(R),则=(2()|0)1()()1()1,(3.1)进而对任意的 Z,有(2()|0)1()()1()1.(3.2)首先估计 2.根据 2的定义,要证 2*(),1()()(R),只要证=2()+1=1,()0*2()()2().(3.3)下证(3.3)式成立.由于 2()0(R),()/2()(R),利用引理 2.5 有=2()+1=1,()0*2()()2()=2()+1=1,()0*(12)()=(+1=12()|,()|0*()(12),DOI:10.12677/pm.2023.13102932869理论数学薛凤宇其中(12)=(2),2()|+1=1,()|0*()1(2)+,2()|+1=1,()|0*()1.再利用引理 2.2 和引理 2.8,可以得到=2()+1=1,()0*2()()2()=(+1=1,(2()0*()(12)=(+1=12()|0()(12)=2()|0(12)().使用引理 2.5、引理 2.7、(3.1)以及(3.2)式得=2()+1=1,()0*2()()2()=(2()|0)1()(12)(1)+()1()=(2()|0)1()()1()*.这里(1)+(2)(12)且*=minZ(12)(1)+.接下来估计 1.根据 1的定义,要证 1*(),1()()(R),只要证=2()2=,()0*2()()2().(3.4)下证(3.4)式成立.注意到当 ,且 2 时,有|14|.再结DOI:10.12677/pm.2023.13102932870理论数学薛凤宇合 supp 和引理 2.1 可知,()=()()2R|()()|()|2|()|()|+2|()|()|2|()|()|+2|()|()|2|()|()()+2()()(),再利用引理 2.2 2.6 以及(3.2)式,可以得到=2()2=,()0*2()()2()=2()2=,()0*(22)()=2=2()+,(2()0*(22)()=(2=()2()+2()0()()()(22)=(2=()2()+2()0()()()|)(22)=2=()2()(+1)(2()0)1()1(1)+()1()(22),其中(22)=(2),2()|2=,()|0*()1(2)+,2()|2=,()|0*()1.下面分(1)+1 和(1)+1 两种情况讨论.DOI:10.12677/pm.2023.13102932871理论数学薛凤宇若(1)+1,则根据引理 2.7,+1.=2=()(1)+2()(+1)(1)+(2()0)1()()1().若(1)+1,则 1 (1)+(2)(22).因此,对于+1.=2=()(1)+2()(+1)(1)+2(2()0)1()()1().最后估计 3.根据 3的定义,要证 3*(),1()()(R),只要证=2()=+2,()0*2()()2().(3.5)下证(3.5)式成立.由于 ,且 +2,可以得到|14|.再由supp 和引理 2.1 可得,()2R|()()|()|2|()|()|+2|()|()|2|()|()|+2|()|()|2|()|()()+2()()().利用引理 2.2 2.6 以及(3.2)式,可以得到=2()=+2,()0*2()()2()=2()=+2,()0*(32)()=+22(),(2()0*(32)()=(=+2()2()2()0()()()(32)=(=+2()2()2()0()()()|)(32)DOI:10.12677/pm.2023.13102932873理论数学薛凤宇=+2()2()(+2)(2()0)1()1(1)+()1()(32),其中(32)=(2),2()|=+2,()|0*()1(2)+,2()|=+2,()|0*()1.注意到(2)(2)+以及 2,用类似于估计 1的方法可得=2()=+2,()0*2()()2().综合上述对 1,2和 3的估计,定理 3.1 证毕.基金项目黑龙江省省属本科高校中央支持地方高校改革发展项目(优秀青年人才项目)(编号:2020YQ07)、牡丹江师范学院科研团队建设项目(编号:D211220637)和研究生思政项目(编号:KCSZKC-2022026,KCSZAL-2022013)资助.参考文献1 Yabuta,K.(1985)Generalizations of Calder on-Zygmund Operators.Studia Mathematica,82,17-31.https:/doi.org/10.4064/sm-82-1-17-312 彭立中.广义Calder on-Zygmund算子及其加权模不等式J.数学进展,1985,14(2):97-115.3 Liu,Z.G.and Lu,S.Z.(2002)Endpoint Estimates for Commutators of Calder on-ZygmundType Operators.Kodai Mathematical Journal,25,79-88.https:/doi.org/10.2996/kmj/11061710784 张璞,徐罕.Calder on-Zygmund型算子交换子的加权尖锐估计J.数学学报(中文版),2005,48(4):625-636.5 Wang,H.(2016)Boundedness of-Type Calder on-Zygmund Operators and Commutatorsin the Generalized Weighted Morrey Spaces.Journal of Function Spaces,2016,Article ID:1309348.DOI:10.12677/pm.2023.13102932874理论数学薛凤宇6 孙杰,张璞.-型Calder on-Zygmund算子交换子的端点加权估计J.数学的实践与认识,2020,50(1):258-264.7 Acerbi,E.and Mingione,G.(2002)Regularity Results for Stationary Electro-RheologicalFluids.Archive for Rational Mechanics and Analysis,164,213-259.https:/doi.org/10.1007/s00205-002-0208-78 Acerbi,E.and Mingione,G.(2007)Gradient Estimates for a Class of Parabolic Systems.DukeMathematical Journal,136,285-230.https:/doi.org/10.1215/S0012-7094-07-13623-89 Diening,L.and Ru zi cka,M.(2003)Calder on-Zygmund Operators on Generalized LebesgueSpaces()and Problems Related to Fluid Dynamics.Journal f ur die Reine und AngewandteMathematik,563,197-220.https:/doi.org/10.1515/crll.2003.08110 Diening,L.,Harjulehto,P.,H ast o,P.and Ru zi cka,M.(2011)Lebesgue and Sobolev Spaceswith Variable Exponents.Springer,Berlin.11 Herz,C.S.(1968)Lipschitz Spaces and Bernsteins Theorem on Absolutely Convergent FourierTransforms.Journal of Mathematics and Mechanics,18,283-323.https:/doi.org/10.1512/iumj.1969.18.1802412 Lu,S.,Yang,D.and Hu,G.(2008)Herz Type Spaces and Their Applications.Science Press,Beijing.13 Izuki,M.(2009)Herz and Amalgam Spaces with Variable Exponent,the Haar Wavelets andGreediness of the Wavelet System.East Journal on Approximations,15,87-110.14 Almeida,A.and Drihem,D.(2012)Maximal,Potential and Singular Type Operators on HerzSpaces with Variable Exponents.Journal of Mathematical Analysis and Applications,394,781-795.https:/doi.org/10.1016/j.jmaa.2012.04.04315 Izuki,M.and Noi,T.(2011)Boundedness of Some Integral Operators and Commutators onGeneralized Herz Spaces with Variable Exponents.OCAMI Preprint Series,11.16 Yang,Y.and Tao,S.(2018)-Type Calder on-Zygmund Operators and Commutators in Vari-able Exponents Herz Space.Open Mathematics,16,1607-1620.https:/doi.org/10.1515/math-2018-013317 杨沿奇,陶双平.型C-Z算子在加权变指数Morrey空间上的有界性J.数学学报(中文版),2019,62(3):503-514.18 Yang,Y.and Tao,S.(2020)-Type Calder on-Zygmund Operators on Morrey and Morrey-Herz-Type Hardy Spaces with Variable Exponents.University Politehnica of Bucharest Scien-tific Bulletin-Series AApplied Mathematics and Physics,82,35-44.DOI:10.12677/pm.2023.13102932875理论数学薛凤宇19 Yu,X.and Liu,Z.(2021)Boundedness of Some Integral Operators and Commutators onHomogeneous Herz Spaces with Three Variable Exponents.Frontiers of Mathematics in China,16,211-237.https:/doi.org/10.1007/s11464-021-0897-620 Kov a cik,O.and R akosn k,J.(1991)On Spaces()and,().Czechoslovak MathematicalJournal,41,592-618.https:/doi.org/10.21136/CMJ.1991.10249321 Izuki,M.(2010)Boundedness of Commutators on Herz Spaces with Variable Exponent.Ren-diconti del Circolo Matematico di Palermo,59,199-213.https:/doi.org/10.1007/s12215-010-0015-122 Wang,L.and Tao,S.(2016)Parameterized Littlewood-Paley Operators and Their Commuta-tors on Herz Spaces with Variable Exponents.Turkish Journal of Mathematics,40,122-145.https:/doi.org/10.3906/mat-1412-5223 Lu,G.and Zhang,P.(2014)Multilinear Calder on-Zygmund Operators with Kernels of DinisType and Applications.Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Applications,107,92-117.https:/doi.org/10.1016/j.na.2014.05.005DOI:10.12677/pm.2023.13102932876理论数学