t-extending模的直和.pdf

收稿日期:.基金项目:甘肃省高等学校创新能力提升项目(B );甘肃省高等学校创新基金项目(B ).作者简介:李煜彦(),男,讲师,硕士.E m a i l:n w n u l y y c o m.李煜彦,何东林t e x t e n d i n g模的直和J南昌大学学报(理科版),():L IYY,HEDLD i r e c t s u m so f t e x t e n d i n gm o d u l e sJJ o u r n a lo fN a n c h a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e),():t e x t e n d i n g模的直和李煜彦,何东林(陇南师范高等专科学校数学与信息科学学院,甘肃 陇南 )摘要:提出了t 补子模的概念,它与t 闭子模是等价的.讨论了t e x t e n d i n g模的直和因子的内射性,研究了t e x t e n d i n g模的直和,证明了MiIMi(|I|)是t e x t e n d i n g模的等价条件有以下两个:()存在ijI,使得对M的任意t 闭子模K,若KMiZ(M)或KMjZ(M),则K是M的直和因子;()存在ijI,使得Mj或Mi在M中的任意t 补是t e x t e n d i n g模且是M的直和因子.关键词:t 本质子模;t 补子模;t e x t e n d i n g模;直和中图分类号:O 文献标志码:A文章编号:()D i r e c t s u m so f t e x t e n d i n gm o d u l e sL IY u y a n,HED o n g l i n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dI n f o r m a t i o nS c i e n c e s,L o n g n a nT e a c h e r sC o l l e g e,L o n g n a n ,C h i n a)A b s t r a c t:T h ec o n c e p to f t c o m p l e m e n t s u b m o d u l ew a s i n t r o d u c e d,a n di tw a se q u i v a l e n t t ot c l o s e ds u b m o d u l e T h e i n j e c t i v i t yo fd i r e c ts u mm a n do ft e x t e n d i n g m o d u l ew a sd i s c u s s e d,a n dt h ed i r e c ts u m so ft e x t e n d i n gm o d u l ew a ss t u d i e d I tw a sp r o v e dt h a t t h e r e a r e t w oe q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o n sw h i c hMiIMi(|I|)i s t e x t e n d i n gm o d u l e s:()T h e r e e x i s tiji nIs u c ht h a t e v e r yt c l o s e ds u b m o d u l eKo fMw i t hKMiZ(M)o rKMjZ(M)i sad i r e c t s u mm a n d;()T h e r ee x i s tiji nIs u c ht h a t e v e r yt c o m p l e m e n to fMio rMji nMi sa t e x t e n d i n gm o d u l ea n dad i r e c t s u mm a n do fMK e yW o r d s:t e s s e n t i a l s u b m o d u l e;t c o m p l e m e n t s u b m o d u l e;t e x t e n d i n gm o d u l e;d i r e c t s u m e x t e n d i n g模及其相关问题受到许多作者的关注.称M是e x t e n d i n g模,如果M的每个闭子模是M的直和因子.年,A s g a r i和H a g h a n y引入了t e x t e n d i n g模的概 念,它 是e x t e n d i n g模 的 一 个 推广,文中研究了t e x t e n d i n g模的性质及等价刻画.随后 至 年期间,A s g a r i等人 在t e x t e n d i n g模的基础上又相继研究了t 半单模,t 连续模和t 拟连续模,讨论了这些模类的性质,分别给出了它们的等价刻画.特别地,作者证明了M是t e x t e n d i n g模(t 半单模,t 连续模,t 拟连续模)当且仅当MZ(M)M,其中M是非奇异的e x t e n d i n g模(半单模,连续模,拟连续模).受此启发,本文提出了t 补子模的概念,研究了t e x t e n d i n g模的直和分解,证明了MiIMi(|I|)是t e x t e n d i n g模的两个等价条件.预备知识本文中的环都是有单位元的结合环,模指酉右R模.设NM,称N是M的t 本质子模,是指对任意AM,若NAZ(M),则AZ(M),记为Nt e sM,此时也称M是N的t 本质扩张.如果N没有真t 本质扩张,则称N是M的t 闭子模,记为Nt cM.Z(M)mM|lR(m)eRRmM|LeRR,m L,称Z(M)为M的奇异子模,其中用NeM表示N是M的本质子模.若Z(M)M(或Z(M),则称M是奇异(或非奇异)的.用Z(M)表示M的第二奇异子模,其中Z(M)Z(M)Z(MZ(M).若f:MN是R同态映射,则f(Z(M)Z(N),故f(Z(M)Z(N).设AM,则Z(A)AZ(M),故Z第 卷第期 年月南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l N o A u g (A)AZ(M).对于R模族M,有Z(M)Z(M),故Z(M)Z(M).称模M是Z挠的,如果Z(M)M.称环R是Z挠的,如果Z(RR)R.M的子模N是Z挠的当且仅当NZ(M).众所周知,Z(MZ(M),Z挠模构成的类关于子模、商模、直和以及扩张是封闭的.下面给出本文所用到的一些基本结论.引理以下对模M等价:)M是t e x t e n d i n g模;)对任意AM,A是M的直和因子,其中AAZ(MA);)MZ(M)M,其中M是(非奇异)e x t e n d i n g模;)M的包含Z(M)的任意子模是其直和因子的本质子模;)对任意NM,存在M的直和因子K,使得Nt e sK;)对任意AM,存在直和分解MANANA,其中N是M的直和因子,Nt e sM.引理 M的任意子模都存在t 闭包.主要结果定义设K,NM,称K是N在M中的t补,如果K是LM|LNZ(M)中的极大元.称A是M的t 补子模,如果存在BM,使得A是B在M中的t 补.由,和引理易得如下结论.推论C是M的t 闭子模当且仅当C是M的t 补子模.推论M的任意子模都存在t 补.推论若M是非奇异模,则)C是M的t 本质子模当且仅当C是M的本质子模;)C是M的t 补子模当且仅当C是M的补子模.下面例子说明t 闭子模是闭子模,但反之未必.从而由推论知,t 补子模是补子模,但反之未必.例设MZZZZ,NZ(Z,Z).由 知,N不是M的本质子模,但Nt e sM;且N是M的闭子模,但N不是M的t 闭子模.由于内射模是e x t e n d i n g模,故内射模是t e x t e n d i n g模.下面讨论t e x t e n d i n g模的直和因子的内射性.性质设MMM,且M是满足(C)条件的t e x t e n d i n g模.若M是非奇异的,则M是M内射的.证明对任意NM以及任意R同态映射f:NM.令Wxf(x)|xN,则WM,且WM.由Z o r ns引理,存在M在M中的t 补L,使得WL,且LMZ(M).由于M是非奇异的,故LM是Z挠且非奇异的,从而LM.由M是t e x t e n d i n g模可知,L是M的直和因子.又M满足(C)条件,于是LM是M的直和因子.设存在HM,使得M(LM)HM(LH).令:MM是自然投射,则WK e r LH.于是对任意xN,易知下面等式成立:(x)(xf(x)f(x)(f(x)f(x).从而有如下交换图:fMM2N10M1|M3图交换图F即|M是f的扩张,所以M是M内射的.由性质,易得下面结论.推论若M是满足(C)条件的t e x t e n d i n g模.则存在M的直和因子N,使得MZ(M)N,且N是Z(M)内射的.证明因为M是t e x t e n d i n g模,由引理知,存在M的直和因子N,使得MZ(M)N,其中N是非奇异的e x t e n d i n g模.于是由性质知,N是Z(M)内射的.下面例子将说明t e x t e n d i n g模的直和未必仍是t e x t e n d i n g模.例设RZx.由 知,RR是e x t e n d i n g模,但(RR)R不是e x t e n d i n g模.由于R是右非奇异的,故RR是t e x t e n d i n g模,但(RR)R不是t e x t e n d i n g模.一个自然地问题是,什么情况下t e x t e n d i n g模第期李煜彦等:t e x t e n d i n g模的直和的直和扔是t e x t e n d i n g的?下面先给出两个模的直和是t e x t e n d i n g模的充分条件.性质设MMM.若M是非奇异的t e x t e n d i n g模,M是Z挠的,则M是t e x t e n d i n g模.证明设Nt cM,由 引理知,Z(M)Z(MM)N.因为M是非奇异的,M是Z挠的,所以Z(N)Z(M)Z(M)Z(M)M,从而NN(MM)N(MZ(N)Z(N)(NM)M(NM)设LM且NMt e sL,由 推论知,NM(NM)t e sML.因为Nt cM,所以NM(NM)ML.从而NML,即NM是M的t 闭子模,因此NM是M的直和因子.设HM,使得MH(NM),则MH(NM)MHN.即N是M的直和因子,从而M是t e x t e n d i n g模.事实上,性质中的条件“M是非奇异的”是可以去掉的.于是有下面结论.推论设MMM.若M是t e x t e n d i n g模,M是Z挠的,则M是t e x t e n d i n g模.证明若M是Z挠的,则M是Z挠的,故M是t e x t e n d i n g模.若M不是Z挠的,则由引理知,存在MM,使得MZ(M)M.于是M(Z(M)M)MM(Z(M)M),其中M是非奇异e x t e n d i n g模,Z(M)M是Z挠的.因此由性质知,M是t e x t e n d i n g模.综上所述,M是t e x t e n d i n g模.引理 设MMM,其中Mi(i,)是e x t e n d i n g模.则M是e x t e n d i n g模当且仅当对M的任意闭子模K,若KM或KM,则K是M的直和因子.下面考虑t e x t e n d i n g模保持直和的问题.定理设MMM,其中Mi是t e x t e n d i n g模,且MiZ(Mi)Ni(i,).则M是t e x t e n d i n g模当且仅当对任意Kt cNN,若KN或KN,则K是M的直和因子.证明必要性,设M是t e x t e n d i n g模,Kt cNN.则MMM(Z(M)N)(Z(M)N)Z(MM)(NN),由 知,NN是t e x t e n d i n g模,所以K是NN的直和因子.从而K是M的直和因子.充分性,设对任意Kt cNN,若KN或KN,则K是M的直和因子.由于Mi(i,)是t e x t e n d i n g模,由引理()知,N和N都是e x t e n d i n g模.又因为K是NN的闭子模,所以由引理知,NN是e x t e n d i n g模,因此NN是t e x t e n d i n g模.由于MZ(MM)(NN),由推论知,M是t e x t e n d i n g模.定理设MiIMi(|I|).则以下等价)M是t e x t e n d i n g模;)存在ijI,使得对M的任意t 闭子模K,若KMiZ(M)或KMjZ(M),则K是M的直和因子;)存在ijI,使得Mj或Mi在M中的任意t 补是t e x t e n d i n g模且是M的直和因子.证明()()显然成立.()()设K是Mi在M中的t 补,则KMiZ(M).由()知,K是M的直和因子.设Lt cK,由 知,Lt cM.而LMiKMiZ(M),由()知,L是M的直和因子,故也是K的直和因子.从而K是t e x t e n d i n g模.()()设Nt cM,引理知,存在LN,使得L是NMi在N中的t 闭包.于是(NMi)Mjt e sLMj,LMjZ(L)Z(M).由推论,存在Mj在M中的t 补E,使得LE.由()知,E是t e x t e n d i n g模且是M的直和因子.易知Lt cM,由 性质知,Lt cE.所以L是E的直和因子,从而L是M的直和因子.设存在LM,使得MLL,则NL(NL).于是存在KN,使得K是NL在N中的t 闭包.易知KLZ(K)Z(M),且KKN(KL)(NL).下证KMiZ(M),从而可得K是Mi在M中的t 补.设mKMi,则mab,其中aKL,bNL.因为KLZ(M),所以存在It e sR,使得a I.于是m Ib I(NL)Mi.从而bZ(NL),即maZ(M).由()知,K(KL)(NL)是M的直和因子,故NL是M的直和因子.从而NL(NL)是M的直和因子.定理设MMM,其中Mi是t e x t e n d i n g模,且MiZ(Mi)Ni(i,).若以下两条分别成立,则M是t e x t e n d i n g模.南昌大学学报(理科版)年)Ni(i,)是相互内射的;)对任意LN,LN,都H o m(L,N)和H o m(N,L).证明)设Ni(i,)是相互内射的.由于MZ(MM)(NN),由推论知,只需证NN是t e x t e n d i n g模.设Kt cNN,且KN.由 引理知,存在LNN,使得NNNL,且KL,故NL.由 性质 知,N和N都是t e x t e n d i n g模,从而L是t e x t e n d i n g模.于是由 推论知,K是L的直和因子,从而K是NN的直和因子.即NN是t e x t e n d i n g模.类似地,若Kt cNN,且KN,则NN是t e x t e n d i n g模.)设Kt cM,且KMZ(M).由 知,Z(M)K.于是Z(M)MKMZ(M)Z(M),因此Z(M)MK.从而NKNZ(M).于是KK(Z(M)(NN)Z(M)(K(NN)Z(M)W,其中WK(NN).由于Kt cM,由 性质可得,WK(NN)t cNN.令i:NNNi(i,)是标准投射,则K e r(|W)(K e r)WNWNK.故|W:WN是单同态.因为|W(|W):(W)N,由假设H o m(W),N),所以(W),因此WK e r N.由引理知,N是e x t e n d i n g模,故W是N的直和因子,因此W是M的直和因子.从而KZ(M)W是M的直和因子.由定理知,M是t e x t e n d i n g模.参考文献:S M I TH PF,T E R C AN A G e n e r a l i z a t i o n so fC S m o d u l e sJC o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,():C AM I L L PV,I B R AH I M Y,YOU S I FM,e ta l S i m p l e d i r e c t i n j e c t i v e m o d u l e sJ J o u r n a lo f A l g e b r a,():E K E NS,A L KAN MS i n g u l a ra n dn o n s i n g u l a rm o d u l e sr e l a t i v e t oat o r s i o nt h e o r yJ C o mm u n i c a t i o n si nA l g e b r a,():AM I NI,I B R AH I M Y,YOU S I F M F C m o d u l e sJA l g e b r aC o l l o q u i u m,():D I NGNQ,I B R AH I M Y,Z HOUYQC m o d u l e sJC o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,():黄福生,杨俊燕,余安安p 内射半模J南昌大学学报(理科版),():D EHGHAN I N,A ZMY F E,R I Z V IS T O nt h eS c h r d e r B e r n s t e i np r o p e r t yf o rM o d u l e sJJ o u r n a l o fP u r ea n d A p p l i e dA l g e b r a,():HA RMAN C IA,S M I TH PF,T e r c a nA,e ta l D i r e c ts u m so fC S m o d u l e sJ H o u s t o nJ o u r n a lo f M a t h e m a t i c s,():A S G A R IS H,HA GHANY A t e x t e n d i n g m o d u l e sa n dt B a e r m o d u l e sJ C o mm u n i c a t i o n si n A l g e b r a,():A S G A R ISH,HAGHANYA,R E Z A E IAR M o d u l e sw h o s et c l o s e ds u b m o d u l e sh a v eas u mm a n da sac o m p l e m e n tJC o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,():A S G A R ISH,HAGHANY A,T O L OO E IYt S e m i s i m p l em o d u l e sa n dt s e m i s i m p l er i n g sJC o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,():A S G A R ISHt q u a s i c o n t i n u o u sm o d u l e sJ C o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,():A S GA R IS Ht c o n t i n u o u sm o d u l e sJ C o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,():E K E NS,A L KAN M U C m o d u l e sw i t hr e s p e c tt oat o r s i o n t h e o r yJ T u r k i s h J o u r n a lo f M a t h e m a t i c s,():D UN G N V,HUYNH D V,S M I TH PF,e t a l E x t e n d i n gM o d u l e sM P i t m a nR e s e a r c h N o t e si n M a t h e m a t i c sS e r i e s H a r l o w:L o n g m a nS c i e n t i f i f i cT e c h n i c a l,第期李煜彦等:t e x t e n d i n g模的直和