Boltzmann统计教学教程电子教案.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6-2,Boltzmann,统计,一、定位体系的最概然分布,最概然分布：,热力学概率最大的分布或微观状态数最多的一种分布。,例,4,个不同粒子（可分辨）,在不同能级上分布，体系总能量,3,h,，,分布如下：,t,1,=,C,4,1,=4!/(1!3!),=4,t,2,=,C,4,3,=4!/(3!1!),=4,t,3,=,C,4,1,C,3,1,=4!/(2!1!1!),=12,就一种分布而言，分布的微态数,N,总粒子数,N,i,分布于各能级上的粒子数,体系总的微态数为,对于由大量粒子组成的体系,=,Boltzmann,认为，在所有求和项中，有一项最大，用,t,m,表示，,(,若只有一种分布时,t,m,=,）,则,n,求和项数,对于由大量粒子组成的体系,据摘取最大项原理,:,则,问题：,t,m,=,？,解决方法：,两边取对数：,对式,(1),t,是粒子数的函数，对,t,求全微分,(2),定位独立粒子体系，限制条件：,或者,(3),或者,(4),(3),+(4),+(2)=(5),(5),、,Lagrange,系数,据,Lagrange,乘因子法,选择,、,使公式中任两个括号中值为零，则余下所有括号中值也都为零：,(6),式中方程形式都相同，以第一个为例求解：,对,N,1,求偏导：,由,式,代入第一个方程,得到,类推得通式：,（,7,）,（,8,）,用数学方法可证明,:,k,Boltzmann,常数,(9),Boltzmann,最概然分布公式,Stirling,公式,由,由,(10),(11),二、,Boltzmann,公式的讨论,1.,简并度,量子力学中，每个能级可能由若干不同的量子态,称同一能级（能量相同）的不同量子态数目为简并度,用,g,表示。,比如气体分子的平动能,:,n,x,、,n,y,、,n,z,分别是,x,、,y,、,z,轴向的平动量子数,取值为,1,，,2,，,3,正整数,能级,n,x,n,y,n,z,可以取值：,(1,2,1)、(1,1,2)、(2,1,1),能量相同的三种取值,有三种不同的微观状态,则简并度,当能级有简并时定位体系的,Bolzmann,最概然分布的分布数：,能级,1,2,i,简并度,g,1,g,2,g,i,粒子数,N,1,N,2,N,i,假设：每个量子态上分布的粒子数不受限制,则简并度为,g,i,的,i,能级上,每个粒子都有,g,i,个状态可选，则,N,i,个粒子的总微态数为：,某种分布的微态数为,定位体系能级有简并度时，,某分布的微态数,则体系的总微态数,(12),求和的限制条件仍为：,仍采用最概然分布处理方法：,可以得到,能级有简并度时定位体系,Bolzmann,最概然分布公式,采用和上面相同的处理方法可得到,(14),(13),2.,非定位体系的,Bolzmann,最概然分布,粒子等同性的修正,对非定位体系，由于粒子不可分辨，当体系中粒子有一套确定的状态分布数即有一个确定的状态分布时，体系只有一种微观状态。,如前面讲过的一个例子：,(15),若,4,个相同的不可分辨的粒子在不同能级上分布，体系总能量为,3,h,可能的分布如下：,t,1,=1,t,2,=1,t,3,=1,当各能级皆非简并时，某分布,t,i,拥有的微观状态数,恒为,1,。,如上例,b),若能级是简并的，并当同一能级各量子态上,容纳的粒子数不受限制时，则,N,i,个粒子在,g,i,个量子态,上分布的方式数为,好比,N,i,个不记姓名的人（同类粒子）入住同一层上,g,i,个相连的房间中，各房间能容纳的人数不受限制，则居住方式数是由,N,i,个人与分隔,g,i,个房间的,(,g,i,-1),个隔墙一起进行排列的方式数,（,N,i,+,g,i,-1,）！,，,但由于,N,i,个人不可分辨，,g,i,-1,个隔墙互换不影响居住方式，所以能实现的居住方式数为,如,2,个人分派在某一层的,3,个房间中，相当于,N,i,=2,g,i,=3,则,:,某种分布,t,i,的微态数,(16),非定位体系某一分布的分布数,当,g,i,=1,即各能级均非简并时，由上式知,t,i,=1,；,若,N,i,g,i,则由,式化简可得,:,(17),大量粒子非定位体系某分布的分布数,由,(17),式与,(12),式对比,:,(12),(17),比较可知：,粒子数相同的定位体系与非定位体系，在同一套分布数与能级简并度条件下，定位体系因粒子可分辨而比非定位体系的微态数大,N,!,倍。,采用,Stirling,公式和,Lagrange,待定系数法同样可求知,(17),式,t,m,最大时的分布数：,(18),(18),式与,(13),式相同，即定位体系与非定位体系,Boltzmann,最概然分布的分布数形式完全相同。,同上述相同处理方法,可得：,(19),(20),3.,Boltzmann,公式的其它形式,(21),由,则,例如已知基态能级,0,简并度,g,0,分布数,N,0,则简并度为,g,i,能级,i,上分布的粒子数为,(22),若不考虑简并度时：,设基态能级,0,，,粒子数,N,0,，,则,i,能级上分布的粒子数,如粒子在重力场中的分布：,4,、截取最大项法原理,理解以下几个问题：,体系所有的分配方式中，有一种分配的微观状态,数最多，即热力学概率最大,-,最概然分布,最概然分布基本上可以代替总的微观状态数,即,最概然分布的数学概率很小，但偏离最概然分,布很小的那些分配方式的数学概率之和加上最,概然分布的数学概率近似为,1,。因此，最概然分,布可代表平衡分布。,宏观体系的热力学平衡态在微观上看就是体系处于最概然分布的状态。,例如讲熵的统计意义时的一个例子：,抽开板后气体向真空膨胀，,A,气体再集中到原来体积中的概率并不为零,只是由于其值非常小，宏观上觉察不到，宏观上看整个容器一直都充满红色。,