高二数学上学期期中测试题.doc

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高二数学期中测试题

三
题号 一 二 总分
15 16 17 18 19 20

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．如果 a、b 是满足不等式 ab<0 的实数，那么 （ ）
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b| C．|a－b|<||a|－|b|| D． |a－b|<|a|+|b|
2．已知 c<0,在下列不等式中成立的一个是 （ ）

A． c > 2 c


B． c > ( 1 ) c
2


C．


2c < ( 1 )c
2

D． 2 c < ( 1 ) c
2

3．下列各式中，最小值为 2 的是 （ ）

A． x + y B． x 2 + 3 C．tanx＋cotx D． 5 x + 5 - x
y x x2 + 2

4．不等式 3x -1 ³ 1 的解集是 （ ）
2- x

A． ì x

B． ì x | 3 £ x < 2 ü C． ì x | x > 2或 x £ 3 ü D．{x | x < 2}

í
| 3 £ x £ 2ü ý
í
ý
í

î
4
þ
î
4
þ
î
4ý þ

5．若直线(a+2)x+(a+3)y－5 =0 与直线 6x+(2a－1)y－7=0 互相垂直，则 a 的值为 （ ）

A．1 B． - 9 C．－1 或 - 9 D． - 9 或 1
2 2 2
6．当点(x ,y)在直线 x+3y=2 上移动时, z =3x +27y+3 的最小值是 （ ）

B． 8 B． 3 + 2 2 C．0 D．9
3
7．曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是 （ ）
A．y2=8-4x B．y2=4x-8 C．y2=16-4x D．y2=4x-16
8．A 点关于 8x+6y=25 的对称点恰为原点，则 A 点的坐标为 （ ）

A．(2, 3 )
2

B． ( 25 , 25)
86

C．(3, 4)

D．(4, 3)

9． 已知 x2+y 2 = 1 ,若 x + y －k ³0 对符合条件一切 x 、 都成立,则实数 k 的最大值为
y （ ）
A． 2 B．－ 2 C．0 D．1
10．已知 A(2,－3) 、B(－3,－2),直线 l 过 P(1,1)且与线段 AB 有交点，设直线 l 的斜率为 k,
则 k 的取值范围是 （ ）
3 3 3 1 3
A．k³ 或 k£－4 B．－4£k£ C．k³ 或 k£ - D． - £k£4
4 4 4 4 4
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）

11．不等式1 £ x - 2 < 5 的解集是____________________________.
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12．不论 m 为何实数，直线(m-1)x－y+2m+1=0 恒过定点_______________.
13．与直线 3x+4y－7=0 垂直，且与原点的距离为 6 的直线方程为 .
14．有下列命题：
（1）若两条直线平行，则其斜率必相等；
（2）若两条直线的斜率乘积为－1, 则其必互相垂直；

（3）过点（－1，1） ，且斜率为 2 的直线方程是
y -1 = 2
x +1


；

（4）同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行;(5) 若直线的倾斜角为 a ，则
0 £a £p .
其中为真命题的有_____________(填写序号).
三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分）

15．解关于 x 的不等式 x - a < 0(a Î R).（12 分）
x - a2

16．已知 P 是直线 l 上一点，将直线 l 绕 P 点逆时针方向旋转q （ 0 < q < p ）所得直线为 l 1 ： 2

3x - y - 22 = 0 .若继续绕 P 点逆时针方向旋转
p - q 角，得直线 l ： 2x + 3y -11 = 0 .求直

线 l 的方程． 12 分） （
2
2

17．已知1 < a < 2 ， x ³ 1， f (x) = a + a ， g(x) = 2 + 2 ；
x -x x -x
2 2
（1）比较 f (x) 与 g(x) 的大小；

（2）设 n Î N ， n ³ 1,求证： f (1) + f (2) + L + f (2n) < 4n - 1 ． 12 分） （
2n
18．过点 P（2，1）作直线 l 交 x、y 正半轴于 A、B 两点，当 PA × PB 取得最小值时，求直

线 l 的方程． 12 分） （
19．某段城际铁路线上依次有 A、B、C 三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，
规定列车 8 时整从 A 站发车，8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 C 站， 在实际运行中，假设列车从 A 站正点发车，在 B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度
vkm / h 匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为
列车在该站的运行误差．
（1）分别写出列车在 B、C 两站的运行误差；
（2）若要求列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 v 的取值范围． 14 分） （
20．在平面直角坐标系中，设矩形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为 O(0,0),P(1,t) Q(1－
2t,2+t),R(－2t,2)其中 tÎ (0,+¥),
（1）求矩形 OPQR 在第一象限部分的面积 S(t)；
（2）求 S(t)的最小值． 14 分） （
参考答案

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C D C D B A
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）

11． [3,7) È (-3,1] 12． (-2,3) 13． 4x - 3y ± 30 = 0 14． （2）

三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分）

15． 12 分）[解析]：原不等式 Û (x - a)(x - a 2 ) < 0 . 分情况讨论 （

（i）当 a＜0 或 a＞1 时，有 a＜a2，此时不等式的解集为 {x | a < x < a2} ；

（ii）当 0 <

a < 1时，有 a2＜a，此时不等式组的解集为{x | a2 < x < a};

（iii）当 a=0 或 a=1 时，原不等式无解．
综上，当 a＜0 或 a＞1 时时，原不等式的解集为；
当 0 < a < 1时，原不等式的解集为{x | a 2 < x < a};
当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为f.

16． 12 分）[解析]：由题意知点 P 是 l 1 与 l 2 的交点，且 l ^ l 2 ，则由 （

x=7
3x - y - 22 = 0
2x + 3y -11 = 0
3

Þ
，即 P（7，－1）
1 =3

y = -1
，又 kl = -
kl
2
，所以直线 l 的方程为： y + 1 = (x - 7)
2

2
即 3x - 2 y - 23 = 0 ．
17． 12 分） （

[解析]： (1) ．
f (x) - g(x) = a - a - 2 - 2 = (a - 2 )(2 a -1)

x
-x
x
-x
x
x
xx

2 2 2x+1 a x
即 f ( x) < g ( x) .
(2)由（1） f (1) + f (2) + f (3) + × × × + f (2n) < g(1) + g(2) + g(3) + × × × + g(2n)

= 1 (2 + 22 + × × × + 22n ) + 1 (1 + 1 + × × × + 1 ) = 4n - 1 (1 + 1 ) < 4n - n 1

2
2 2 22
2 2n
2
2 2n
2

\ f (1) + f (2) + L + f (2n) < 4n - 1 ． 得证． y
2n

18． 12 分） （

[解析]： 设 l ：


x + y = 1(a, b > 0), ÐBAO = q
ab


（如图）
B


P(2,1)

则 PA =
1 , PB = b -1 , 又 sin q =
b
,


o
q

sin q
又 P（2，1）在 l 上，
sin q
a2 + b2
A
x

设 a - 2 = t(t > 0) ， 则 PA × PB =

2t 2 + 2 = 2(t + 1) ³ 4,
1
等 号 当 其 仅 当 t = 即t = 1 时 成 立 ， 这 时

t t t
a=b=3.
\直线l的方程： x + y - 3 = 0 .
19． 14 分） （

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