浅谈逆矩阵的求法.doc

吉林师范大学
毕业论文（设计）

论文分类号：O151.21
密 级：无

浅谈逆矩阵的求法

学院、专业： 数学学院 数学与应用数学
学 生 姓 名： 赵殿钰
年 级 班： 2007级 3 班
指 导 教 师： 范钦杰(教授)

2011年 4月15 日
浅谈逆矩阵的求法
赵殿钰
(吉林师范大学数学学院2007级3班 吉林四平 136000)
指导教师：范钦杰（教授）

摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用Hamiton_Caley 定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证.
关键字：逆阵法；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵
中图分类号：O151.21

On the Inverse Matrix Method
Zhao Dian-yu
(Class 3 Grade 2007,Department of Mathematics,Jilin Normal University,Siping Jilin 136000)
Directive Teacher: Fan Qin-jie(professor)

Abstract: In order to more easily solve the inverse of a matrix, this matrix according to the different characteristics of the different introduced several simple inverse matrix method. the definition of law, with the matrix method, elementary transformation, block matrix method, solve equations by the use of Cramer's rule to solve the determinant method, identical deformation method, the use of Hamiton_Caley Theorem, splicing and other methods to find new matrix inverse, and part of a brief demonstration.
Keywords：the inverse of a matri；block matrix； elementary transformation；with the matrix
CLCNO:O151.21

1、逆矩阵的概念
定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.
2、矩阵可逆的条件
（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r（A）= n）；
（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；
（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；
（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；
（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB = E（或BA = E），则A可逆，且A-1 = B.
3、逆矩阵的性质
设A，B是n阶可逆矩阵，则
（1）（A-1）-1 = A；
（2）若k ≠ 0，则kA可逆，且（kA）-1 = A-1；
（3）AB可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1；
（4）AT可逆，且（AT）-1 = （A-1）T；
（5）Ak可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k；
（6）| A-1 | = | A |-1；
（7）如果A是m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）= r（PA）= r（AQ）= r（PAQ）.
4、求矩阵逆的方法
方法1 定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.
例1：设A为n阶矩阵，且满足，求A-1.
【解】

方法 2 伴随矩阵法：A-1 = A*.
定理n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，
记作A*，于是有A-1 = A*.
注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵，其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.
②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.
例2：已知，求A-1.
【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0
∴A可逆.由已知得

A-1 = A* =
方法3 初等变换法：
注 ①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.
②也可以利用求得A的逆矩阵.
③当矩阵A可逆时，可利用
求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换
即求出了A-1B或CA-1.
例3：:用初等行变换求矩阵的逆矩阵.
【解】

方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：

例4：已知，求A-1.
【解】 将A分块如下：

其中
可求得
从而
方法5 解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.
例5： 求的逆矩阵.
【解】 设,先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素,再求，最后求.设E为4阶单位矩阵, 比较
的两端对应元素,得到

于是,所求的逆矩阵为:
方法6 用克莱姆法则求解：若线性方程组的系数行列式，则此方程组有唯一的一组解.这里是将中的第i列换成得到的行列式.
定理1 　若ε1 = (1 , 0 , 0 , ⋯, 0),ε2 = (0 , 1 , 0 , ⋯, 0), ⋯,εn = (0 , 0 , ⋯, 1) 是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α= (a1 , a2 , ⋯, an )都可唯一地表示为:α=a1ε1 + a2ε2 + ⋯+ anεn的形式,这里ai∈F(i = 1 , 2 , ⋯, n).
定理2 　两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.
下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A = (aij),A的行向量分别为α1 , α2 , ⋯, αn , 其中αi = (αi1 ,αi2 , ⋯,αin),(i =1 , 2 , ⋯, n),由定理1 得:αi=Σaijεj(i = 1 , 2 , ⋯, n) .解以ε1 , ε2 , ⋯, εn 为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由克莱姆法则可得唯一解: εj=Dj/D= bj1α1 + bj2α2 + ⋯+ bjnαn(j = 1 , 2 , ⋯, n) .其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1 ,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法.
例6：求可逆矩阵的逆矩阵.
【解】 矩阵A的行向量为，由标准基表示为：

解以为未知量的方程组得：

该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:
由：
得：
令
是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对施行矩阵的行的初等变换得:

方法7 　用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆，且

为的初始单位向量组，即
例7：设，求A的逆矩阵.
【解】

方法8 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩
阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变
形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.
例8：已知，试求并证明,其中.
【解】 由 得到故,而A
又为正交矩阵, 从而
方法9 用Hamilton-Caley定理求逆矩阵：
Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵 为A的特征多项式，则：
于是
因此
例9：已知，求A-1.
【解】 A的特征多项式
由Hamilton-Caley定理知：

方法9 三角矩阵的一种求逆法：
定理：如果n阶矩阵可逆，
那么他的逆矩阵是
其中
例10：求上三角阵的逆矩阵.
【解】 由定理知：

方法10 拼接新矩阵：在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为零矩阵, 那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A-1.
例11：求矩阵的逆矩阵A-1.
【解】

构造矩阵有：

将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，
得 ：
将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行，
得 ：
再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，
得 ：
故：

参考文献 :
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