高二文科数学竞赛试题.doc

高二文科数学竞赛试题
一．选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不成分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位长 B.向右平移个单位长
C.向左平移个单位长 D.向左平移个单位长
3.已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1（ ）
A.若确定，则 唯一确定 B.若确定，则 唯一确定
C.若确定，则 唯一确定 D.若确定，则 唯一确定
5.对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是（ ）
（A） （B） （C）（D）
6.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为（　　）
（A） （B） （C） （D）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
7.已知实数、、满足，，则的最大值为为_______.
8.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。
9.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为。
10. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于、，若满足，则双曲线的离心率是 .
三．解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11.（本小题满分9分）海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。
地区

数量
50
150
100
（Ⅰ）求这6件样品中来自各地区样品的数量；
（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率。

12.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别是。已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积。

13.（本小题满分12分）
在等差数列中，已知，是与等比中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设记，求.

14.（本小题满分13分）
设函数，其中为常数.
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性.

15（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.
（i）设直线的斜率分别为.证明存在常数使得，并求出的值；
（ii）求面积的最大值.