变质量完整系统的Herglotz型微分变分原理与守恒律.pdf

变质量完整系统的 Herglotz 型微分变分原理与守恒律蔡铭俣1袁 张毅2*渊1.苏州科技大学 数学科学学院袁江苏 苏州 215009曰2.苏州科技大学 土木工程学院袁江苏 苏州 215011冤摘要院 为了进一步探究变质量力学系统的 Herglotz 变分问题与其守恒律的关系袁论文基于 Herglotz 微分变分原理构建变质量完整系统的守恒律遥 给出变质量完整系统的 Herglotz 型广义变分原理袁导出变质量完整系统的 Herglotz型微分变分原理遥 引进空间和时间的生成元袁建立 Herglotz 型微分变分原理不变性条件的变换袁并基于该原理构建变质量完整系统的 Herglotz 型守恒量及其逆定理遥 最后袁给出两个算例以说明结果的应用遥关键词院 变质量完整系统曰微分变分原理曰守恒律曰Herglotz 变分问题中图分类号院 O316酝砸渊圆园1园冤 杂怎遭躁藻糟贼 悦造葬泽泽蚤枣蚤糟葬贼蚤燥灶院 70E30文献标志码院 粤文章编号院 2096原3289渊圆园23冤园4原园园31原园8众所周知袁如果一个动力学方程或一个微分方程存在变分描述袁那么它不仅仅在数学上有重要的意义袁而且具有深刻的物理意义遥 分析力学中经典的积分变分原理袁如 Hamilton 原理袁只适用于完整保守系统袁对于受非势力的完整系统或非完整系统袁由于不能表示为某个泛函的极值袁而不再是稳定作用量原理1遥 Her鄄glotz 提出的一类广义变分原理2为非保守耗散系统提供了一个变分描述遥 文献3-4利用 Herglotz 原理给出了粘性力作用下弦的振动尧声波在介质中的传播尧非线性 Schr觟dinger 方程等非保守经典和量子力学系统的变分描述袁这些系统从经典变分原理的角度都不存在变分描述遥 Georgieva 和 Guenther 基于接触 Lagrange 函数在单参数变换群下的不变性研究了 Herglotz 型 Noether 定理5遥 Santos 等将 Herglotz 变分问题推广到高阶微商情形6袁并给出相应的 Noether 定理遥 文献7-11给出了相空间尧分数阶动力学尧含时滞动力学尧时间尺度动力学的 Herglotz 变分原理及其 Noether 定理遥文献12综述了 Herglotz 变分原理及其 Noether 对称性的研究进展遥 守恒律不仅可通过对称性研究13-14袁也可通过微分变分原理来构建15-16遥 基于这个思想袁文献17-19通过 Herglotz 微分变分原理研究了完整非保守系统尧非完整系统的守恒定理遥比较文献7与20可以看出袁通过Herglotz 微分变分原理可以得到含有规范函数项的守恒量袁而通过 Noether 对称性给出的守恒量不含规范函数项袁因此袁由 Herglotz 微分变分原理有可能找到比利用对称性更多的守恒量遥 但是关于 Herglotz 微分变分原理的研究还仅限于常质量系统遥变质量力学系统主要研究质量变化物体的运动与作用在其上力之间的关系遥 杨来伍和梅凤翔21系统地介绍了变质量系统的分析力学遥 变质量系统在自然界和工程中有大量的应用22-27袁包括高速滑车试验尧桌面链条下坠问题尧火箭升空等遥因此袁研究变质量力学系统的守恒律具有重要意义遥国内外学者对变质量力学系统及其对称性进行了研究袁并取得一系列成果28-33遥 近期袁笔者34等将 Herglotz 变分原理推广到变质量力学系统遥与文献34不同袁该文将基于 Herglotz 微分变分原理进一步研究变质量完整系统的守恒律袁导出变质量完整系统的 Herglotz 型微分变分原理袁在此基础上建立 Herglotz 型守恒定理以及逆定理遥要要要要要要要要要要要要要要要要要要要眼收稿日期演 圆园23原03原09眼基金项目演 国家自然科学基金项目渊12272248曰11972241冤眼作者简介演 蔡铭俣渊1998要冤袁男袁江苏南通人袁硕士研究生袁研究方向院力学中的数学方法袁E-mail院遥*通信作者院张毅渊1964要冤袁男袁博士袁教授袁博士生导师袁E-mail院遥doi院10.12084/j.issn.2096-3289.2023.04.005第 40 卷第 4 期苏 州 科 技 大 学 学 报 渊自 然 科 学 版冤灾燥造援40 晕燥援4圆园23 年 12 月允燥怎则灶葬造 燥枣 杂怎扎澡燥怎 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠 燥枣 杂糟蚤藻灶糟藻 葬灶凿 栽藻糟澡灶燥造燥早赠 渊晕葬贼怎则葬造 杂糟蚤藻灶糟藻 Edition冤Dec援 圆园23圆园23 年苏州科技大学学报渊自然科学版冤1变质量完整系统的 Herglotz 型微分变分原理假设变质量力学系统由 N 个质点组成遥 在时刻 t袁第 i 个质点的质量为 mi渊i=1袁噎袁N冤曰在时刻 t+dt袁由质点分离渊或并入冤的微粒质量为 dmi遥 设位形由 n 个广义坐标 qs渊s=1袁2袁噎袁n冤确定袁设 mi越mi渊t袁qs袁q 觶s冤袁则 Her鄄glotz 意义下的 Lagrange 函数为L=L渊t袁qs渊t冤袁q 觶s渊t冤袁z渊t冤袁mi渊t袁qs袁q 觶s冤冤渊1冤变质量系统的 Herglotz 变分问题定义为院确定函数 qs渊t冤袁使满足方程z 觶渊t冤越L渊t袁qs渊t冤袁q 觶s渊t冤袁z渊t冤袁mi渊t袁qs袁q 觶s冤冤渊2冤的作用量 z渊t冤袁在给定端点条件qs渊t冤渣t=a=qsa袁 qs渊t冤渣t=b=qsb渊s=1袁2袁噎袁n冤渊3冤及初始条件z渊t冤渣t=a=za渊4冤下袁z渊b冤寅extr遥对式渊2冤取等时变分啄z 觶渊t冤越A+鄣L鄣z啄z渊5冤其中A=廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs蓸蔀啄qs+廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀啄q 觶s令廿廿t袁廿廿qs以及廿廿q 觶s分别表示把质量当做常数时对 t袁qs以及q 觶s的偏导数袁称为凝固偏导数遥对于变质量完整系统袁微分和变分运算是可交换的袁所以有ddt啄z=A+鄣L鄣z啄z渊6冤方程渊6冤是关于 啄z 的一阶微分方程袁可解得啄z渊t冤exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀-啄z渊a冤=ta乙exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀A蓘蓡d子渊7冤考虑到 z渊b冤寅extr 以及初始条件渊4冤袁得啄z渊a冤=啄z渊b冤=0渊8冤由于方程渊7冤对于 t沂a袁b都成立袁所以令 t=b袁得到ba乙exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀A蓘蓡d子=0渊9冤对式渊9冤中含 啄q 觶s的项进行分部积分袁并注意边界条件渊3冤袁有ba乙exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs-ddt廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀+鄣L鄣z廿L廿q 觶s+鄣L鄣z鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s嗓瑟啄qsdt=0渊10冤由于式渊10冤的积分区间适用于所有的a袁b袁所以有exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs-ddt廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀+鄣L鄣z廿L廿q 觶s+鄣L鄣z鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s嗓瑟啄qs=0渊11冤式渊11冤称为变质量完整系统的 Herglotz 型微分变分原理遥由于系统是完整的袁啄qs渊s=1袁2袁噎袁n冤相互独立袁所以有exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs-ddt廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀+鄣L鄣z廿L廿q 觶s+鄣L鄣z鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓘蓡=0渊12冤式渊12冤称为变质量完整系统的 Herglotz 型运动微分方程遥32第 4 期2Herglotz 型微分变分原理不变性条件等时变分 啄qs定义为啄qs=q 軈s渊t冤-qs渊t冤渊13冤非等时变分定义为驻qs越q 軈s渊t+驻t冤-qs渊t冤渊14冤因为 驻t 是关于时间 t 的一个足够小的量袁所以将q 軈s渊t+驻t冤展开袁保留一阶小量袁可得q 軈s渊t+驻t冤=q 軈s渊t冤+q 觶s驻t渊15冤所以有驻qs越啄qs+q 觶s驻t渊s=1袁2袁噎袁n冤渊16冤引进空间和时间的无限小生成函数 Fs袁f袁令驻t=着f渊t袁qk袁q 觶k冤袁 驻qs越着Fs渊t袁qk袁q 觶k冤渊17冤这里的 着 为无限小量遥 因此有啄qs=着Fs渊t袁qk袁q 觶k冤-q 觶sf渊t袁qk袁q 觶k冤渊18冤将式渊18冤代入式渊11冤袁整理得着exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀渊Fs-q 觶sf冤+廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀渊Fs-q 觶sf觶-q 咬sf冤-ddtexp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀渊Fs-q 觶sf冤=0渊19冤考虑到ddtL=廿L廿t+鄣L鄣mi鄣mi鄣t蓸蔀+廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs蓸蔀q 觶s+廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 咬s+鄣L鄣zL渊20冤在等式渊19冤的左边加上并减去 着ddtGexp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀蓘蓡项袁并整理成下式袁其中规范函数 G 为 G=G渊t袁qk袁q 觶k袁z冤着exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs蓸蔀Fs+廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀F觶s+L-廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 觶sf觶+廿L廿t+鄣L鄣mi鄣mi鄣t蓸蔀f-鄣L鄣zG+G觶-ddtexp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀(廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀Fs+渊L-廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 觶s冤f+G冤=0渊21冤式渊21冤为变质量完整系统的 Herglotz 型微分变分原理不变性条件的变换式遥3Herglotz 型守恒定理由 Herglotz 型微分变分原理不变性条件的变换式渊21冤袁可得到如下定理院定理 1对于变质量完整系统渊12冤袁如果空间和时间的无限小生成函数 Fs袁f袁以及规范函数 G 满足条件廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs蓸蔀Fs+廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀F觶s+L-廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 觶sf觶+廿L廿t+鄣L鄣mi鄣mi鄣t蓸蔀f-鄣L鄣zG+G觶=0 渊22冤则系统存在守恒量I=exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀Fs+L-廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 觶s蓘蓡f+G嗓瑟=const渊23冤如取 G以0袁那么定理 1 退化为院蔡铭俣袁等院变质量完整系统的 Herglotz 型微分变分原理与守恒律33圆园23 年苏州科技大学学报渊自然科学版冤定理 2对于变质量完整系统渊12冤袁如果空间和时间的无限小生成元 Fs袁f袁以及规范函数 G 满足条件廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs蓸蔀Fs+廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀F觶s+L-廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 觶sf觶+廿L廿t+鄣L鄣mi鄣mi鄣t蓸蔀f=0渊24冤则系统有守恒量I=exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀Fs+L-廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 觶s蓘蓡f嗓瑟=const渊25冤定理 2 与文献34中 Noether 定理给出的结果一致遥4Herglotz 型守恒定理的逆定理假设变质量完整系统渊12冤存在守恒量I=I渊t袁qs袁q 觶滓袁mi袁z冤=const渊26冤对等式渊26冤两边同时求导ddtI=廿I廿t+鄣I鄣mi鄣mi鄣t蓸蔀+廿I廿qs+鄣I鄣mi鄣mi鄣qs蓸蔀q 觶s+廿I廿q 觶s+鄣I鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 咬s+鄣I鄣zz 觶渊27冤将式渊18冤代入式渊11冤袁由于 着 是任意的袁得到exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿qs+鄣L鄣mi鄣mi鄣qs蓸蔀-ddt廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀+廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀鄣L鄣z渊F滓-q 觶滓f冤=0 渊28冤令式渊27冤袁渊28冤中q 咬s的系数相等袁有廿I廿q 觶s+鄣I鄣mi鄣mi鄣q 觶s+exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀-渊廿2L廿q 觶sq 觶l+廿L廿q 觶s鄣L鄣mj鄣mj鄣q 觶l+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s廿L廿q 觶l+鄣L鄣mj鄣mj鄣q 觶l鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s冤渊Fs-q 觶sf冤=0渊l=1袁2袁噎袁n曰j=1袁2袁噎袁N冤渊29冤再令积分式渊26冤等于守恒量式渊23冤袁即I=exp-ta乙鄣L鄣zd兹蓸蔀廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀Fs+L-廿L廿q 觶s+鄣L鄣mi鄣mi鄣q 觶s蓸蔀q 觶s蓘蓡f+G嗓瑟渊30冤定理 3如果已知变质量完整系统渊12冤有一个守恒量式渊26冤袁那么通过式渊29冤袁渊30冤可找到时间和空间的生成函数 Fs袁f袁以及规范函数 G遥定理 3 可称为变质量完整系统的 Herglotz 型守恒量的逆定理遥5算例例 1一辆质量为 m 的洒水车在公路上作业袁洒水车初始的质量为 m0遥 假设水的出口相对速度 v渊v=const冤不依赖于车的速度遥 用 p 表示单位时间内速度为 1 时通过出水口水的质量袁假设洒水车受到的阻尼力与速度成正比袁比例系数为 c渊c=const冤遥 试研究该系统的守恒量遥设水平坐标为 q1袁出水口出水的质量为 m1遥 有dm1dt=pv渊31冤即m=m0-pvt渊32冤系统的 Herglotz 型 Lagrange 函数为L=12m渊t冤q 觶12+pvm渊t冤-cm渊t冤z渊33冤34第 4 期将式渊33冤代入方程渊12冤袁可得姿渊t冤-m渊t冤q 咬1-cq 觶1=0渊34冤其中姿渊t冤=渊m0-pvam渊t冤冤2渊35冤首先袁通过 Herglotz 微分变分原理寻找守恒量袁将式渊33冤代入式渊22冤袁有m渊t冤q 觶1F觶1-12m渊t冤q 觶12-pvm渊t冤-cm渊t冤zf觶+-12pvq 觶12+渊pvm渊t冤冤2z-渊pvcm渊t冤2冤zf-pvm渊t冤-cm渊t冤G+G觶=0 渊36冤方程渊36冤有如下解F1=1袁 f=0袁 G=0渊37冤F1=-12q1袁 f=0袁 G=z渊38冤将式渊37冤袁渊38冤分别代入式渊23冤袁可得I1=姿渊t冤m渊t冤q 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将式渊48冤代入式渊22冤袁有m渊t冤q 觶1F觶1+m渊t冤q 觶2F觶2+m渊t冤q 觶3F觶3-12m渊t冤q 觶12+q 觶22+q 觶32+m渊t冤gq3+km渊t冤+琢zf觶-m渊t冤gF3+-琢2m渊t冤q 觶12+q 觶22+q 觶32+琢m渊t冤gq3-琢km渊t冤zf+km渊t冤+琢G+G觶=0渊51冤方程渊51冤有如下解F1=员袁 F圆=员袁 F猿=园袁 f=0袁 G=0渊52冤F1=lnq 觶1+k琢m渊t冤袁 F圆=1袁 F猿=园袁 f=0袁 G=0渊53冤F1=e-姿渊t冤m渊t冤q 觶1袁 F圆=0袁 F猿=园袁 f=0袁 G=e-姿渊t冤渊lnq 觶1-km渊t冤-1冤渊54冤将式渊52冤袁渊53冤袁渊54冤分别代入式渊23冤袁可得I1=exp姿渊t冤m渊t冤q 觶1+m渊t冤q 觶2越const渊55冤I2越exp姿渊t冤m渊t冤q 觶1lnq 觶1+k琢q 觶1+m渊t冤q 觶2=const渊56冤I3越lnq 觶1-km渊t冤=const渊57冤式渊55冤袁渊56冤袁渊57冤分别是由式渊52冤袁渊53冤袁渊54冤导致的守恒量遥其次袁从 Noether 对称性寻找守恒量袁该系统的 Noether 等式33为m渊t冤q 觶1孜觶1+m渊t冤q 觶2孜觶2+m渊t冤q 觶3孜觶3-12m渊t冤q 觶12+q 觶22+q 觶32+m渊t冤gq3+km渊t冤+琢z孜觶0-m渊t冤g孜3+-琢2m渊t冤q 觶12+q 觶22+q 觶32+琢m渊t冤gq3-琢km渊t冤z孜0=0渊58冤方程渊58冤有解孜1=1袁 孜2=1袁 孜3=0袁 孜0=0渊59冤孜1=lnq 觶1+k琢m渊t冤袁 孜2=1袁 孜3=0袁 孜0=0渊60冤由式渊59冤袁渊60冤导致的守恒量为式渊55冤和渊56冤遥 但是作者未找到与守恒量式渊57冤相应的 Noether 对称性遥最后袁研究该系统的 Hergloz 型守恒量的逆问题遥 设系统有守恒量I1=exp姿渊t冤m渊t冤q 觶1+m渊t冤q 觶2渊61冤根据式渊29冤袁渊30冤可得m渊t冤越m渊t冤F1-q 觶1fm渊t冤越m渊t冤F2-q 觶2f0=m渊t冤F3-q 觶3f渊62冤m渊t冤渊q 觶1+q 觶2冤=m渊t冤渊q 觶1F1+q 觶2F2+q 觶3F3冤+G-12m渊t冤渊q 觶12+q 觶22+q 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and its inverse for variable mass holonomic system have beenconstructed.Finally袁two examples were given to illustrate the application.Key words院 variable mass holonomic system曰differential variational principle曰conservation law曰Herglotz varia鄄tional problem责任编辑院谢金春38