2019中欧数学奥林匹克.pdf

中等 数学中欧数学奥林匹克中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引用格式：中欧数学奥林匹克中等数学，（）：个人赛求所有的函数：，使得对于任意的、，均有）（）（）设正整数多？称凸边形為木么的顶点為（襄）是“好的”当且仅当為关于中点的对称点仍在凸边形内求好顶点个数的最小值已知锐角仙满足，）为仙的外接圆点在的劣弧反上，使得狀 尸与交于点（？，点？在的劣弧元上，使得以（？是直线与仙中垂线的交点证明：（？、？、四点共圆求最小的正整数，使得任 意个连续正整数中都能选出若干个连续正整数，使其和为的倍数团队赛某班有身 高两 两 不同的名 男生和名女生，每人手中都有一张纸男生在纸上写比自己矮的女生人数减去比自己矮的 男生人数所得结果，女生在纸上写比自己高的男生人数减去比自己高的女生人数所得结果证明：所有男生在纸上写的数与所有女生在纸上写的数相同（不计顺序）证明：不大于的所有正整数可以由不超过个和若干运算符号表示，其中，运算符号包 括“”“，“（）”，但不包含乘方（）或直接连接（）等例如，（）在锐角中，的中垂线与交于点，为劣弧元上一点，满足，为的中点证明：已知为的外接圆，。，为劣弧兄的中点，尸为边仙上一点，已知、为非负实数，满足？求（；的最小值和最大值求所有的函数，使得对于任意的，均有（）：（）（）满足作儿，点、在上证明：、三点共线已知、为正整数，满足证明：（）（）设为正整数，满足的所有正因子的平方和为）证明：存在，使得，其中，丨丨为斐波那契数列年第期 参考答案个人赛在式中，令，则（）（）（）（）？令；，得（）（）（）（）？代入式得？（）（）令，得（）（）（）假设存在，使得（令，代入式得（）于是，（）假设存在，使得（）（）（）（），矛盾从而，为单射结合式知）综上，三或（）好顶点个数的最小值是称为“坏的”当且仅当為关于，的中点的对称点在凸边形外注意到，是坏的于是，为常函数从而，（）下面假设不恒为则只有（）这一个零点在式中，令，得（）（）假设存在：，使得（）则由式，知（）故（）（）（）在式中，令，得（）（）（）（）在式中，令；，得（）（）（）（）（）又（），于是，矛盾从而，（）矣（矣）？在式中，令，则（）（）？，；為為，為？事实上，如图，设為的中点 为，关于，的对称点为次？则为平行四边形故是坏的；图；，紗一个成立。丨；，；由此，是坏的？则為、至少有一个是坏的故相邻两顶点士、都是坏的？（）至多有三个点是坏的？反之，若、斗、均为坏点，称。力为的外角，则中等数学為的外角的外角，的外角的外角，又所有外角之和为，矛盾从而，好点个数至少为下面给出构造，如图图当时，作凸边 形使得為、均为锐角当时，作锐角為木為即可如图，联结、？、？垂直平分狀又，结合题意得，贝丨二五点共圆几先证明符合题意设个正整数为，？不妨设彡否则，按模考虑当彡彡 时，取、，；当 彡彡时，取、；当 彡 时，取、；当彡彡时，取、；当彡时，取、；当彡时，取再证明不符合题意考虑，若存在 彡彡及，则（；）（：）（：），）（）由友，知（左）？又彡 ，知：（），贝丨（，灸）（，）或（，）；（），则（，）（，）这两种情况均有吵）（幻，矛盾因此，所求正整数的最小值是团队赛？取：，贝！取：，？下面证明：注意到，年第期（、（）（）（）（）（）（）（）（）？）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）记尤于是，则二办）（）故衫（）：（，显然成立；（）（），显然也成立因此，式成立综上，的最小值是？，最大值是符合题意首先，为偶数否则，（）为奇数次多项式显然，不可能恒大于或等于假设时，结论成立？考虑时，显然，（）（，）（，）令（），则于是，（）从而，存在充分大或充分小的，使得）又由于为偶数，于是，（）（）若，令，则（？）（，）用数学归纳法证明：（）？）当时，显然成立假设时，结论成立考虑时，此时，（）？，（）则于是，（）从而，存在充分小的，使得（）又由于为偶数，于是，（）综上，对归纳记个人中，最高的 男生为，最高的？矛盾？女生为；若比高，记为记某人（）若或在纸上写下的数为）令，则？（）；当时，今：，则（）；若，则（）（）；令；，则（）若，则（）（）用数学归纳法证明：（）彡设不大于时，结论成立当，时，显然成立考虑时的情况中等数 学（）若，则将所有人的身高按从低到局顺序排成一列，记为？，去掉、，此时，（；）（），即飛），），（）设之前的男生写下的数字为，？，氕十？由归 纳假设，知之前的女生写下的数了少），？，尤丨，工，？，？加上、，在左侧的男生所写数不变（因为、都比他们 高），在左侧的女生所写数也不变（因为比她们 高的 男生、女生人数都恰加），所以，（），（），（）此时，所有男生和女生写下的数字均为，？，！，尤，？，尤一？从而，得证（）若，则将所有人的身高从低到高按顺序排成一列，记为去掉、，此时，（民卜（卜（卜，即（贫丨）（卜”，（虿）（卜），（）？设在之前的所有女生写下的数为，义，由归纳假设，知之前所有男生写下的数为：，（卜）加上、，得（）（）此时，所有男生写下的数为？（）？“，？则（），（，）！？）？此时，所有女生写下的数为；，从而，得证？引理不超过的偶数可用不超过：个及运算符号表示，不超过？的偶数可用不超过；个及运算符号表示证明对归纳当左时，设不大于：时，引理成立考虑：时的情况若偶 数是的倍数，设，则故所需的个数比多个若偶数不是的倍数，则（），故比（）多用了三个由归纳假设知结论成立引理得证由引理，知对不超过的偶数所需的个数不多于个，对不超过的偶数所需的个数不多于个于是，对不大于的偶数已成立下面考虑不大于的奇数若（），则（）于是至多用了个若（），则（）于是，至多用了个年第期 综上，命题得证？如图，过点、作外接圆的两条切线，交于点：，则）、尸三点共线设与仙外 接圆的第二个 交点为则四边形为调和四边形如图，过点作也：的垂线，与交于点芩、，与交于点（？下面证明：点与重合，点与重合由于丄：，结合题意得 只需证：从叫由射影定理得由響 下面证明：显然，以为原点、）所在 直线为轴 建立平面直角坐标系不妨设的半径为，点（，），（，力，其中，（，）？设点（）？由（）（）结合得（）（）（）（；）（）（）（）于是，式成立从而，点不与重合，点与重合因此，三点共线假设（）（）？贝（）（）（）？又（）（，于是，中等数学（）（）（）（）（注意到，（）（）（）（）？则，这与式矛盾因此，原命题得证？考虑正整数的正因数个数咖）若？（），设的一部分正因数为则？，不符合题意若（），贝为素数）？（），不符合题意若，贝！（为素数）故（），不符合题意若？（找），贝？（？为素数）故？（？），不符合题意于是，（），即）若，则（），显然不成立从而，网）接下来证明：满足（）的一切（，）为（，）及（匕，）？令（，）尤？若（，），下面证明：若（；，）（，），贝（，），贝（：）（）于是，（，）为 的一组正整数解若，则；故尤（）于是，中任一组解经过若干次（，）（，）的变换后均变为（，）从而，中一切解为（？，？），其中，？则匕？故（？，？）（？）？因此，丨？，（王如意提供）